Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  djhval Structured version   Unicode version

Theorem djhval 34399
Description: Subspace join for  DVecH vector space. (Contributed by NM, 19-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
djhval.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
djhval.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
djhval.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
djhval.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
djhval.j  |-  .\/  =  ( (joinH `  K ) `  W )
Assertion
Ref Expression
djhval  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  V  /\  Y  C_  V
) )  ->  ( X  .\/  Y )  =  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )

Proof of Theorem djhval
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 djhval.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 djhval.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 djhval.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 djhval.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
5 djhval.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( (joinH `  K ) `  W )
61, 2, 3, 4, 5djhfval 34398 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  .\/  =  ( x  e.  ~P V , 
y  e.  ~P V  |->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) ) )
76adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  V  /\  Y  C_  V
) )  ->  .\/  =  ( x  e.  ~P V ,  y  e.  ~P V  |->  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  x
)  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) ) )
87oveqd 6251 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  V  /\  Y  C_  V
) )  ->  ( X  .\/  Y )  =  ( X ( x  e.  ~P V , 
y  e.  ~P V  |->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) ) Y ) )
9 fvex 5815 . . . . . . 7  |-  ( Base `  U )  e.  _V
103, 9eqeltri 2486 . . . . . 6  |-  V  e. 
_V
1110elpw2 4557 . . . . 5  |-  ( X  e.  ~P V  <->  X  C_  V
)
1211biimpri 206 . . . 4  |-  ( X 
C_  V  ->  X  e.  ~P V )
1312ad2antrl 726 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  V  /\  Y  C_  V
) )  ->  X  e.  ~P V )
1410elpw2 4557 . . . . 5  |-  ( Y  e.  ~P V  <->  Y  C_  V
)
1514biimpri 206 . . . 4  |-  ( Y 
C_  V  ->  Y  e.  ~P V )
1615ad2antll 727 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  V  /\  Y  C_  V
) )  ->  Y  e.  ~P V )
17 fvex 5815 . . . 4  |-  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )  e.  _V
1817a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  V  /\  Y  C_  V
) )  ->  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )  e.  _V )
19 fveq2 5805 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (  ._|_  `  x )  =  (  ._|_  `  X ) )
2019ineq1d 3639 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
(  ._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y
) )  =  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  y
) ) )
2120fveq2d 5809 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) )  =  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) )
22 fveq2 5805 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  (  ._|_  `  y )  =  (  ._|_  `  Y ) )
2322ineq2d 3640 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  y
) )  =  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) )
2423fveq2d 5809 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) )  =  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
25 eqid 2402 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P V , 
y  e.  ~P V  |->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) )  =  ( x  e.  ~P V ,  y  e.  ~P V  |->  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  x
)  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) )
2621, 24, 25ovmpt2g 6374 . . 3  |-  ( ( X  e.  ~P V  /\  Y  e.  ~P V  /\  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) )  e. 
_V )  ->  ( X ( x  e. 
~P V ,  y  e.  ~P V  |->  ( 
._|_  `  ( (  ._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) ) Y )  =  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) ) )
2713, 16, 18, 26syl3anc 1230 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  V  /\  Y  C_  V
) )  ->  ( X ( x  e. 
~P V ,  y  e.  ~P V  |->  ( 
._|_  `  ( (  ._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) ) Y )  =  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) ) )
288, 27eqtrd 2443 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  V  /\  Y  C_  V
) )  ->  ( X  .\/  Y )  =  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3058    i^i cin 3412    C_ wss 3413   ~Pcpw 3954   ` cfv 5525  (class class class)co 6234    |-> cmpt2 6236   Basecbs 14733   HLchlt 32349   LHypclh 32982   DVecHcdvh 34079   ocHcoch 34348  joinHcdjh 34395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-djh 34396
This theorem is referenced by:  djhval2  34400  djhcl  34401  djhlj  34402  djhexmid  34412
  Copyright terms: Public domain W3C validator