Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  djhlsmcl Structured version   Unicode version

Theorem djhlsmcl 37263
Description: A closed subspace sum equals subspace join. (shjshseli 26538 analog.) (Contributed by NM, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
djhlsmcl.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
djhlsmcl.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
djhlsmcl.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
djhlsmcl.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
djhlsmcl.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
djhlsmcl.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
djhlsmcl.j  |-  .\/  =  ( (joinH `  K ) `  W )
djhlsmcl.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
djhlsmcl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
djhlsmcl.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
Assertion
Ref Expression
djhlsmcl  |-  ( ph  ->  ( ( X  .(+)  Y )  e.  ran  I  <->  ( X  .(+)  Y )  =  ( X  .\/  Y ) ) )

Proof of Theorem djhlsmcl
StepHypRef Expression
1 djhlsmcl.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
21adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  .(+) 
Y )  e.  ran  I )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3 djhlsmcl.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
4 djhlsmcl.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 djhlsmcl.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
64, 5lssss 17710 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  S  ->  X  C_  V )
73, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  C_  V )
87adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  .(+) 
Y )  e.  ran  I )  ->  X  C_  V )
9 djhlsmcl.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
104, 5lssss 17710 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  S  ->  Y  C_  V )
119, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  C_  V )
1211adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  .(+) 
Y )  e.  ran  I )  ->  Y  C_  V )
13 djhlsmcl.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
14 djhlsmcl.u . . . . . 6  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
15 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( ( ocH `  K ) `
 W )  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
16 djhlsmcl.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( (joinH `  K ) `  W )
1713, 14, 4, 15, 16djhval2 37248 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( X  .\/  Y )  =  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( X  u.  Y ) ) ) )
182, 8, 12, 17syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  .(+) 
Y )  e.  ran  I )  ->  ( X  .\/  Y )  =  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  ( X  u.  Y
) ) ) )
1913, 14, 1dvhlmod 36959 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
2019adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  .(+) 
Y )  e.  ran  I )  ->  U  e.  LMod )
213adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  .(+) 
Y )  e.  ran  I )  ->  X  e.  S )
229adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  .(+) 
Y )  e.  ran  I )  ->  Y  e.  S )
23 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( LSpan `  U )  =  (
LSpan `  U )
24 djhlsmcl.p . . . . . . . . 9  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
255, 23, 24lsmsp 17859 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  .(+)  Y )  =  ( ( LSpan `  U
) `  ( X  u.  Y ) ) )
2620, 21, 22, 25syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  .(+) 
Y )  e.  ran  I )  ->  ( X  .(+)  Y )  =  ( ( LSpan `  U
) `  ( X  u.  Y ) ) )
2726fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  .(+) 
Y )  e.  ran  I )  ->  (
( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( X  .(+)  Y ) )  =  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( LSpan `  U
) `  ( X  u.  Y ) ) ) )
287, 11unssd 3676 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  u.  Y
)  C_  V )
2928adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  .(+) 
Y )  e.  ran  I )  ->  ( X  u.  Y )  C_  V )
3013, 14, 15, 4, 23, 2, 29dochocsp 37228 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  .(+) 
Y )  e.  ran  I )  ->  (
( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( LSpan `  U
) `  ( X  u.  Y ) ) )  =  ( ( ( ocH `  K ) `
 W ) `  ( X  u.  Y
) ) )
3127, 30eqtrd 2498 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  .(+) 
Y )  e.  ran  I )  ->  (
( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( X  .(+)  Y ) )  =  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( X  u.  Y
) ) )
3231fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  .(+) 
Y )  e.  ran  I )  ->  (
( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( X  .(+) 
Y ) ) )  =  ( ( ( ocH `  K ) `
 W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( X  u.  Y ) ) ) )
33 djhlsmcl.i . . . . . 6  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
3413, 33, 15dochoc 37216 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  .(+)  Y )  e.  ran  I
)  ->  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( X  .(+) 
Y ) ) )  =  ( X  .(+)  Y ) )
351, 34sylan 471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  .(+) 
Y )  e.  ran  I )  ->  (
( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( X  .(+) 
Y ) ) )  =  ( X  .(+)  Y ) )
3618, 32, 353eqtr2rd 2505 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  .(+) 
Y )  e.  ran  I )  ->  ( X  .(+)  Y )  =  ( X  .\/  Y
) )
3736ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .(+)  Y )  e.  ran  I  ->  ( X  .(+)  Y )  =  ( X  .\/  Y ) ) )
3813, 33, 14, 4, 16djhcl 37249 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  V  /\  Y  C_  V
) )  ->  ( X  .\/  Y )  e. 
ran  I )
391, 7, 11, 38syl12anc 1226 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  ran  I
)
40 eleq1a 2540 . . 3  |-  ( ( X  .\/  Y )  e.  ran  I  -> 
( ( X  .(+)  Y )  =  ( X 
.\/  Y )  -> 
( X  .(+)  Y )  e.  ran  I ) )
4139, 40syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .(+)  Y )  =  ( X 
.\/  Y )  -> 
( X  .(+)  Y )  e.  ran  I ) )
4237, 41impbid 191 1  |-  ( ph  ->  ( ( X  .(+)  Y )  e.  ran  I  <->  ( X  .(+)  Y )  =  ( X  .\/  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    u. cun 3469    C_ wss 3471   ran crn 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14644   LSSumclsm 16781   LModclmod 17639   LSubSpclss 17705   LSpanclspn 17744   HLchlt 35197   LHypclh 35830   DVecHcdvh 36927   DIsoHcdih 37077   ocHcoch 37196  joinHcdjh 37243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-riotaBAD 34806
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-undef 7020  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-0g 14859  df-preset 15684  df-poset 15702  df-plt 15715  df-lub 15731  df-glb 15732  df-join 15733  df-meet 15734  df-p0 15796  df-p1 15797  df-lat 15803  df-clat 15865  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-subg 16325  df-cntz 16482  df-lsm 16783  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-dvr 17459  df-drng 17525  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-lvec 17876  df-lsatoms 34823  df-oposet 35023  df-ol 35025  df-oml 35026  df-covers 35113  df-ats 35114  df-atl 35145  df-cvlat 35169  df-hlat 35198  df-llines 35344  df-lplanes 35345  df-lvols 35346  df-lines 35347  df-psubsp 35349  df-pmap 35350  df-padd 35642  df-lhyp 35834  df-laut 35835  df-ldil 35950  df-ltrn 35951  df-trl 36006  df-tendo 36603  df-edring 36605  df-disoa 36878  df-dvech 36928  df-dib 36988  df-dic 37022  df-dih 37078  df-doch 37197  df-djh 37244
This theorem is referenced by:  djhlsmat  37276  dihsmatrn  37285  lclkrslem2  37387
  Copyright terms: Public domain W3C validator