Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  djhfval Structured version   Unicode version

Theorem djhfval 35047
Description: Subspace join for  DVecH vector space. (Contributed by NM, 19-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
djhval.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
djhval.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
djhval.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
djhval.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
djhval.j  |-  .\/  =  ( (joinH `  K ) `  W )
Assertion
Ref Expression
djhfval  |-  ( ( K  e.  X  /\  W  e.  H )  ->  .\/  =  ( x  e.  ~P V , 
y  e.  ~P V  |->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, K    x, V, y    x, W, y
Allowed substitution hints:    U( x, y)    H( x, y)    .\/ ( x, y)    ._|_ ( x, y)    X( x, y)

Proof of Theorem djhfval
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 djhval.j . . 3  |-  .\/  =  ( (joinH `  K ) `  W )
2 djhval.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
32djhffval 35046 . . . 4  |-  ( K  e.  X  ->  (joinH `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) ,  y  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) ) )
43fveq1d 5698 . . 3  |-  ( K  e.  X  ->  (
(joinH `  K ) `  W )  =  ( ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) ,  y  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) )  |->  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) ) `  W
) )
51, 4syl5eq 2487 . 2  |-  ( K  e.  X  ->  .\/  =  ( ( w  e.  H  |->  ( x  e. 
~P ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ,  y  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) )  |->  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) ) `  W
) )
6 fveq2 5696 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  (
( DVecH `  K ) `  w )  =  ( ( DVecH `  K ) `  W ) )
76fveq2d 5700 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) )  =  (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) )
8 djhval.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  U
)
9 djhval.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
109fveq2i 5699 . . . . . . 7  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) )
118, 10eqtri 2463 . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) )
127, 11syl6eqr 2493 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) )  =  V )
1312pweqd 3870 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  =  ~P V )
14 fveq2 5696 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (
( ocH `  K
) `  w )  =  ( ( ocH `  K ) `  W
) )
15 djhval.o . . . . . 6  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
1614, 15syl6eqr 2493 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  (
( ocH `  K
) `  w )  =  ._|_  )
1716fveq1d 5698 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  x )  =  ( 
._|_  `  x ) )
1816fveq1d 5698 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y )  =  ( 
._|_  `  y ) )
1917, 18ineq12d 3558 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  x )  i^i  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  y )
)  =  ( ( 
._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) )
2016, 19fveq12d 5702 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) )  =  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y
) ) ) )
2113, 13, 20mpt2eq123dv 6153 . . 3  |-  ( w  =  W  ->  (
x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) ,  y  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) )  =  ( x  e.  ~P V , 
y  e.  ~P V  |->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) ) )
22 eqid 2443 . . 3  |-  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ,  y  e. 
~P ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |->  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) )  =  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) ,  y  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) )
23 fvex 5706 . . . . . 6  |-  ( Base `  U )  e.  _V
248, 23eqeltri 2513 . . . . 5  |-  V  e. 
_V
2524pwex 4480 . . . 4  |-  ~P V  e.  _V
2625, 25mpt2ex 6655 . . 3  |-  ( x  e.  ~P V , 
y  e.  ~P V  |->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) )  e. 
_V
2721, 22, 26fvmpt 5779 . 2  |-  ( W  e.  H  ->  (
( w  e.  H  |->  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) ,  y  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) )  |->  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) ) `  W
)  =  ( x  e.  ~P V , 
y  e.  ~P V  |->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) ) )
285, 27sylan9eq 2495 1  |-  ( ( K  e.  X  /\  W  e.  H )  ->  .\/  =  ( x  e.  ~P V , 
y  e.  ~P V  |->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2977    i^i cin 3332   ~Pcpw 3865    e. cmpt 4355   ` cfv 5423    e. cmpt2 6098   Basecbs 14179   LHypclh 33633   DVecHcdvh 34728   ocHcoch 34997  joinHcdjh 35044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-djh 35045
This theorem is referenced by:  djhval  35048
  Copyright terms: Public domain W3C validator