Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  djhfval Structured version   Unicode version

Theorem djhfval 36212
Description: Subspace join for  DVecH vector space. (Contributed by NM, 19-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
djhval.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
djhval.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
djhval.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
djhval.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
djhval.j  |-  .\/  =  ( (joinH `  K ) `  W )
Assertion
Ref Expression
djhfval  |-  ( ( K  e.  X  /\  W  e.  H )  ->  .\/  =  ( x  e.  ~P V , 
y  e.  ~P V  |->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, K    x, V, y    x, W, y
Allowed substitution hints:    U( x, y)    H( x, y)    .\/ ( x, y)    ._|_ ( x, y)    X( x, y)

Proof of Theorem djhfval
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 djhval.j . . 3  |-  .\/  =  ( (joinH `  K ) `  W )
2 djhval.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
32djhffval 36211 . . . 4  |-  ( K  e.  X  ->  (joinH `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) ,  y  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) ) )
43fveq1d 5868 . . 3  |-  ( K  e.  X  ->  (
(joinH `  K ) `  W )  =  ( ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) ,  y  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) )  |->  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) ) `  W
) )
51, 4syl5eq 2520 . 2  |-  ( K  e.  X  ->  .\/  =  ( ( w  e.  H  |->  ( x  e. 
~P ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ,  y  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) )  |->  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) ) `  W
) )
6 fveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  (
( DVecH `  K ) `  w )  =  ( ( DVecH `  K ) `  W ) )
76fveq2d 5870 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) )  =  (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) )
8 djhval.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  U
)
9 djhval.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
109fveq2i 5869 . . . . . . 7  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) )
118, 10eqtri 2496 . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) )
127, 11syl6eqr 2526 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) )  =  V )
1312pweqd 4015 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  =  ~P V )
14 fveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (
( ocH `  K
) `  w )  =  ( ( ocH `  K ) `  W
) )
15 djhval.o . . . . . 6  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
1614, 15syl6eqr 2526 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  (
( ocH `  K
) `  w )  =  ._|_  )
1716fveq1d 5868 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  x )  =  ( 
._|_  `  x ) )
1816fveq1d 5868 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y )  =  ( 
._|_  `  y ) )
1917, 18ineq12d 3701 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  x )  i^i  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  y )
)  =  ( ( 
._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) )
2016, 19fveq12d 5872 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) )  =  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y
) ) ) )
2113, 13, 20mpt2eq123dv 6343 . . 3  |-  ( w  =  W  ->  (
x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) ,  y  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) )  =  ( x  e.  ~P V , 
y  e.  ~P V  |->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) ) )
22 eqid 2467 . . 3  |-  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ,  y  e. 
~P ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |->  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) )  =  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) ,  y  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) )
23 fvex 5876 . . . . . 6  |-  ( Base `  U )  e.  _V
248, 23eqeltri 2551 . . . . 5  |-  V  e. 
_V
2524pwex 4630 . . . 4  |-  ~P V  e.  _V
2625, 25mpt2ex 6860 . . 3  |-  ( x  e.  ~P V , 
y  e.  ~P V  |->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) )  e. 
_V
2721, 22, 26fvmpt 5950 . 2  |-  ( W  e.  H  ->  (
( w  e.  H  |->  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) ,  y  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) )  |->  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) ) `  W
)  =  ( x  e.  ~P V , 
y  e.  ~P V  |->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) ) )
285, 27sylan9eq 2528 1  |-  ( ( K  e.  X  /\  W  e.  H )  ->  .\/  =  ( x  e.  ~P V , 
y  e.  ~P V  |->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    i^i cin 3475   ~Pcpw 4010    |-> cmpt 4505   ` cfv 5588    |-> cmpt2 6286   Basecbs 14490   LHypclh 34798   DVecHcdvh 35893   ocHcoch 36162  joinHcdjh 36209
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-djh 36210
This theorem is referenced by:  djhval  36213
  Copyright terms: Public domain W3C validator