Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  djhffval Structured version   Unicode version

Theorem djhffval 34881
Description: Subspace join for  DVecH vector space. (Contributed by NM, 19-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
djhval.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
djhffval  |-  ( K  e.  X  ->  (joinH `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) ,  y  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    w, H    x, w, y, K
Allowed substitution hints:    H( x, y)    X( x, y, w)

Proof of Theorem djhffval
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2976 . 2  |-  ( K  e.  X  ->  K  e.  _V )
2 fveq2 5686 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  ( LHyp `  k )  =  ( LHyp `  K
) )
3 djhval.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
42, 3syl6eqr 2488 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  ( LHyp `  k )  =  H )
5 fveq2 5686 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  ( DVecH `  k )  =  ( DVecH `  K )
)
65fveq1d 5688 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
( DVecH `  k ) `  w )  =  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )
76fveq2d 5690 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( Base `  ( ( DVecH `  k ) `  w
) )  =  (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) )
87pweqd 3860 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) )  =  ~P ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) )
9 fveq2 5686 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( ocH `  k )  =  ( ocH `  K
) )
109fveq1d 5688 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (
( ocH `  k
) `  w )  =  ( ( ocH `  K ) `  w
) )
1110fveq1d 5688 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  x )  =  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  x ) )
1210fveq1d 5688 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  y )  =  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) )
1311, 12ineq12d 3548 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  x )  i^i  ( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  y )
)  =  ( ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) )
1410, 13fveq12d 5692 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  ( ( ( ( ocH `  k ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  y ) ) )  =  ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) )
158, 8, 14mpt2eq123dv 6143 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  (
x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  k ) `  w
) ) ,  y  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  |->  ( ( ( ocH `  k ) `
 w ) `  ( ( ( ( ocH `  k ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  y ) ) ) )  =  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ,  y  e. 
~P ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |->  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) )
164, 15mpteq12dv 4365 . . 3  |-  ( k  =  K  ->  (
w  e.  ( LHyp `  k )  |->  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) ,  y  e. 
~P ( Base `  (
( DVecH `  k ) `  w ) )  |->  ( ( ( ocH `  k
) `  w ) `  ( ( ( ( ocH `  k ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  y ) ) ) ) )  =  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) ,  y  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) ) )
17 df-djh 34880 . . 3  |- joinH  =  ( k  e.  _V  |->  ( w  e.  ( LHyp `  k )  |->  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) ,  y  e. 
~P ( Base `  (
( DVecH `  k ) `  w ) )  |->  ( ( ( ocH `  k
) `  w ) `  ( ( ( ( ocH `  k ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  y ) ) ) ) ) )
18 fvex 5696 . . . . 5  |-  ( LHyp `  K )  e.  _V
193, 18eqeltri 2508 . . . 4  |-  H  e. 
_V
2019mptex 5943 . . 3  |-  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ,  y  e. 
~P ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |->  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) )  e.  _V
2116, 17, 20fvmpt 5769 . 2  |-  ( K  e.  _V  ->  (joinH `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) ,  y  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) ) )
221, 21syl 16 1  |-  ( K  e.  X  ->  (joinH `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) ,  y  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2967    i^i cin 3322   ~Pcpw 3855    e. cmpt 4345   ` cfv 5413    e. cmpt2 6088   Basecbs 14166   LHypclh 33468   DVecHcdvh 34563   ocHcoch 34832  joinHcdjh 34879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pr 4526
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-djh 34880
This theorem is referenced by:  djhfval  34882
  Copyright terms: Public domain W3C validator