Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  djhffval Structured version   Unicode version

Theorem djhffval 34429
Description: Subspace join for  DVecH vector space. (Contributed by NM, 19-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
djhval.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
djhffval  |-  ( K  e.  X  ->  (joinH `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) ,  y  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    w, H    x, w, y, K
Allowed substitution hints:    H( x, y)    X( x, y, w)

Proof of Theorem djhffval
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3070 . 2  |-  ( K  e.  X  ->  K  e.  _V )
2 fveq2 5851 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  ( LHyp `  k )  =  ( LHyp `  K
) )
3 djhval.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
42, 3syl6eqr 2463 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  ( LHyp `  k )  =  H )
5 fveq2 5851 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  ( DVecH `  k )  =  ( DVecH `  K )
)
65fveq1d 5853 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
( DVecH `  k ) `  w )  =  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )
76fveq2d 5855 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( Base `  ( ( DVecH `  k ) `  w
) )  =  (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) )
87pweqd 3962 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) )  =  ~P ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) )
9 fveq2 5851 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( ocH `  k )  =  ( ocH `  K
) )
109fveq1d 5853 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (
( ocH `  k
) `  w )  =  ( ( ocH `  K ) `  w
) )
1110fveq1d 5853 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  x )  =  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  x ) )
1210fveq1d 5853 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  y )  =  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) )
1311, 12ineq12d 3644 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  x )  i^i  ( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  y )
)  =  ( ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) )
1410, 13fveq12d 5857 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  ( ( ( ( ocH `  k ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  y ) ) )  =  ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) )
158, 8, 14mpt2eq123dv 6342 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  (
x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  k ) `  w
) ) ,  y  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  |->  ( ( ( ocH `  k ) `
 w ) `  ( ( ( ( ocH `  k ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  y ) ) ) )  =  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ,  y  e. 
~P ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |->  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) )
164, 15mpteq12dv 4475 . . 3  |-  ( k  =  K  ->  (
w  e.  ( LHyp `  k )  |->  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) ,  y  e. 
~P ( Base `  (
( DVecH `  k ) `  w ) )  |->  ( ( ( ocH `  k
) `  w ) `  ( ( ( ( ocH `  k ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  y ) ) ) ) )  =  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) ,  y  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) ) )
17 df-djh 34428 . . 3  |- joinH  =  ( k  e.  _V  |->  ( w  e.  ( LHyp `  k )  |->  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) ,  y  e. 
~P ( Base `  (
( DVecH `  k ) `  w ) )  |->  ( ( ( ocH `  k
) `  w ) `  ( ( ( ( ocH `  k ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  y ) ) ) ) ) )
18 fvex 5861 . . . . 5  |-  ( LHyp `  K )  e.  _V
193, 18eqeltri 2488 . . . 4  |-  H  e. 
_V
2019mptex 6126 . . 3  |-  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ,  y  e. 
~P ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |->  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) )  e.  _V
2116, 17, 20fvmpt 5934 . 2  |-  ( K  e.  _V  ->  (joinH `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) ,  y  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) ) )
221, 21syl 17 1  |-  ( K  e.  X  ->  (joinH `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) ,  y  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1407    e. wcel 1844   _Vcvv 3061    i^i cin 3415   ~Pcpw 3957    |-> cmpt 4455   ` cfv 5571    |-> cmpt2 6282   Basecbs 14843   LHypclh 33014   DVecHcdvh 34111   ocHcoch 34380  joinHcdjh 34427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pr 4632
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-djh 34428
This theorem is referenced by:  djhfval  34430
  Copyright terms: Public domain W3C validator