Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  djavalN Structured version   Unicode version

Theorem djavalN 35119
Description: Subspace join for  DVecA partial vector space. (Contributed by NM, 6-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
djaval.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
djaval.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
djaval.i  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
djaval.n  |-  ._|_  =  ( ( ocA `  K
) `  W )
djaval.j  |-  J  =  ( ( vA `  K ) `  W
)
Assertion
Ref Expression
djavalN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  T  /\  Y  C_  T
) )  ->  ( X J Y )  =  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )

Proof of Theorem djavalN
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 djaval.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 djaval.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 djaval.i . . . . 5  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
4 djaval.n . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ( ocA `  K
) `  W )
5 djaval.j . . . . 5  |-  J  =  ( ( vA `  K ) `  W
)
61, 2, 3, 4, 5djafvalN 35118 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  J  =  ( x  e.  ~P T , 
y  e.  ~P T  |->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) ) )
76adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  T  /\  Y  C_  T
) )  ->  J  =  ( x  e. 
~P T ,  y  e.  ~P T  |->  ( 
._|_  `  ( (  ._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) ) )
87oveqd 6218 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  T  /\  Y  C_  T
) )  ->  ( X J Y )  =  ( X ( x  e.  ~P T , 
y  e.  ~P T  |->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) ) Y ) )
9 fvex 5810 . . . . . . 7  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  e.  _V
102, 9eqeltri 2538 . . . . . 6  |-  T  e. 
_V
1110elpw2 4565 . . . . 5  |-  ( X  e.  ~P T  <->  X  C_  T
)
1211biimpri 206 . . . 4  |-  ( X 
C_  T  ->  X  e.  ~P T )
1312ad2antrl 727 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  T  /\  Y  C_  T
) )  ->  X  e.  ~P T )
1410elpw2 4565 . . . . 5  |-  ( Y  e.  ~P T  <->  Y  C_  T
)
1514biimpri 206 . . . 4  |-  ( Y 
C_  T  ->  Y  e.  ~P T )
1615ad2antll 728 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  T  /\  Y  C_  T
) )  ->  Y  e.  ~P T )
17 fvex 5810 . . . 4  |-  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )  e.  _V
1817a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  T  /\  Y  C_  T
) )  ->  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )  e.  _V )
19 fveq2 5800 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (  ._|_  `  x )  =  (  ._|_  `  X ) )
2019ineq1d 3660 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
(  ._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y
) )  =  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  y
) ) )
2120fveq2d 5804 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) )  =  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) )
22 fveq2 5800 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  (  ._|_  `  y )  =  (  ._|_  `  Y ) )
2322ineq2d 3661 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  y
) )  =  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) )
2423fveq2d 5804 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) )  =  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
25 eqid 2454 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P T , 
y  e.  ~P T  |->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) )  =  ( x  e.  ~P T ,  y  e.  ~P T  |->  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  x
)  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) )
2621, 24, 25ovmpt2g 6336 . . 3  |-  ( ( X  e.  ~P T  /\  Y  e.  ~P T  /\  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) )  e. 
_V )  ->  ( X ( x  e. 
~P T ,  y  e.  ~P T  |->  ( 
._|_  `  ( (  ._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) ) Y )  =  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) ) )
2713, 16, 18, 26syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  T  /\  Y  C_  T
) )  ->  ( X ( x  e. 
~P T ,  y  e.  ~P T  |->  ( 
._|_  `  ( (  ._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) ) Y )  =  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) ) )
288, 27eqtrd 2495 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  T  /\  Y  C_  T
) )  ->  ( X J Y )  =  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078    i^i cin 3436    C_ wss 3437   ~Pcpw 3969   ` cfv 5527  (class class class)co 6201    |-> cmpt2 6203   HLchlt 33334   LHypclh 33967   LTrncltrn 34084   DIsoAcdia 35012   ocAcocaN 35103   vAcdjaN 35115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-djaN 35116
This theorem is referenced by:  djaclN  35120  djajN  35121
  Copyright terms: Public domain W3C validator