MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsubdird Structured version   Unicode version

Theorem divsubdird 10250
Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divmuld.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
divassd.4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divsubdird  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  -  ( B  /  C ) ) )

Proof of Theorem divsubdird
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divmuld.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 divassd.4 . 2  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
5 divsubdir 10131 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )  -> 
( ( A  -  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  -  ( B  /  C ) ) )
61, 2, 3, 4, 5syl112anc 1223 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  -  ( B  /  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644  (class class class)co 6193   CCcc 9384   0cc0 9386    - cmin 9699    / cdiv 10097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098
This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  11541  discr  12111  crre  12714  reccn2  13185  iseralt  13273  trireciplem  13435  geolim  13441  geolim2  13442  georeclim  13443  bitsinv1lem  13748  fldivp1  14070  mul4sqlem  14125  lebnumii  20663  dyadovol  21199  mbfi1fseqlem6  21324  dveflem  21577  dvsincos  21579  dvlip  21591  ulmdvlem1  21991  efeq1  22111  tanarg  22194  logcnlem4  22216  ang180lem1  22331  angpieqvdlem  22349  chordthmlem2  22354  chordthmlem4  22356  dcubic1lem  22364  dcubic2  22365  mcubic  22368  cubic2  22369  dquartlem1  22372  dquartlem2  22373  dquart  22374  2efiatan  22439  tanatan  22440  atantan  22444  dvatan  22456  atantayl  22458  atantayl2  22459  birthdaylem2  22472  jensenlem2  22507  logdiflbnd  22514  emcllem2  22516  basellem8  22551  lgseisenlem1  22814  lgsquadlem2  22820  vmalogdivsum2  22913  vmalogdivsum  22914  2vmadivsumlem  22915  selberg3lem1  22932  selberg4lem1  22935  selberg4  22936  pntrmax  22939  pntrsumo1  22940  selberg3r  22944  selberg4r  22945  selberg34r  22946  pntrlog2bndlem4  22955  pntpbnd2  22962  pntibndlem2  22966  pntlemo  22982  pntlem3  22984  brbtwn2  23296  axsegconlem9  23316  axsegconlem10  23317  axpaschlem  23331  axcontlem8  23362  dya2icoseg  26829  lgamgulmlem2  27153  bpolydiflem  28334  itg2addnclem  28584  pellexlem2  29312  pellexlem6  29316  areaquad  29733  stirlinglem1  30010  stirlinglem6  30015
  Copyright terms: Public domain W3C validator