MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsubdird Structured version   Unicode version

Theorem divsubdird 10355
Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divmuld.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
divassd.4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divsubdird  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  -  ( B  /  C ) ) )

Proof of Theorem divsubdird
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divmuld.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 divassd.4 . 2  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
5 divsubdir 10236 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )  -> 
( ( A  -  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  -  ( B  /  C ) ) )
61, 2, 3, 4, 5syl112anc 1232 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  -  ( B  /  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662  (class class class)co 6282   CCcc 9486   0cc0 9488    - cmin 9801    / cdiv 10202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203
This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  11662  discr  12267  crre  12906  reccn2  13378  iseralt  13466  trireciplem  13632  geolim  13638  geolim2  13639  georeclim  13640  bitsinv1lem  13946  fldivp1  14271  mul4sqlem  14326  lebnumii  21201  dyadovol  21737  mbfi1fseqlem6  21862  dveflem  22115  dvsincos  22117  dvlip  22129  ulmdvlem1  22529  efeq1  22649  tanarg  22732  logcnlem4  22754  ang180lem1  22869  angpieqvdlem  22887  chordthmlem2  22892  chordthmlem4  22894  dcubic1lem  22902  dcubic2  22903  mcubic  22906  cubic2  22907  dquartlem1  22910  dquartlem2  22911  dquart  22912  2efiatan  22977  tanatan  22978  atantan  22982  dvatan  22994  atantayl  22996  atantayl2  22997  birthdaylem2  23010  jensenlem2  23045  logdiflbnd  23052  emcllem2  23054  basellem8  23089  lgseisenlem1  23352  lgsquadlem2  23358  vmalogdivsum2  23451  vmalogdivsum  23452  2vmadivsumlem  23453  selberg3lem1  23470  selberg4lem1  23473  selberg4  23474  pntrmax  23477  pntrsumo1  23478  selberg3r  23482  selberg4r  23483  selberg34r  23484  pntrlog2bndlem4  23493  pntpbnd2  23500  pntibndlem2  23504  pntlemo  23520  pntlem3  23522  brbtwn2  23884  axsegconlem9  23904  axsegconlem10  23905  axpaschlem  23919  axcontlem8  23950  dya2icoseg  27888  lgamgulmlem2  28212  bpolydiflem  29393  itg2addnclem  29643  pellexlem2  30370  pellexlem6  30374  areaquad  30789  hashnzfzclim  30827  oddfl  31036  sumnnodd  31172  dvmptdiv  31247  itgcoscmulx  31287  itgsincmulx  31292  stirlinglem1  31374  stirlinglem6  31379  dirkercncflem1  31403  fourierdlem26  31433  fourierdlem30  31437  fourierdlem65  31472
  Copyright terms: Public domain W3C validator