MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsubdird Structured version   Unicode version

Theorem divsubdird 10400
Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divmuld.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
divassd.4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divsubdird  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  -  ( B  /  C ) ) )

Proof of Theorem divsubdird
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divmuld.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 divassd.4 . 2  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
5 divsubdir 10281 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )  -> 
( ( A  -  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  -  ( B  /  C ) ) )
61, 2, 3, 4, 5syl112anc 1234 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  -  ( B  /  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598  (class class class)co 6278   CCcc 9520   0cc0 9522    - cmin 9841    / cdiv 10247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248
This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  11720  discr  12347  crre  13096  reccn2  13568  iseralt  13656  trireciplem  13825  geolim  13831  geolim2  13832  georeclim  13833  bpolydiflem  13999  bitsinv1lem  14300  fldivp1  14625  mul4sqlem  14680  lebnumii  21758  dyadovol  22294  mbfi1fseqlem6  22419  dveflem  22672  dvsincos  22674  dvlip  22686  ulmdvlem1  23087  efeq1  23208  tanarg  23298  logcnlem4  23320  ang180lem1  23468  angpieqvdlem  23484  chordthmlem2  23489  chordthmlem4  23491  dcubic1lem  23499  dcubic2  23500  mcubic  23503  cubic2  23504  dquartlem1  23507  dquartlem2  23508  dquart  23509  2efiatan  23574  tanatan  23575  atantan  23579  dvatan  23591  atantayl  23593  atantayl2  23594  birthdaylem2  23608  jensenlem2  23643  logdiflbnd  23650  emcllem2  23652  lgamgulmlem2  23685  basellem8  23742  lgseisenlem1  24005  lgsquadlem2  24011  vmalogdivsum2  24104  vmalogdivsum  24105  2vmadivsumlem  24106  selberg3lem1  24123  selberg4lem1  24126  selberg4  24127  pntrmax  24130  pntrsumo1  24131  selberg3r  24135  selberg4r  24136  selberg34r  24137  pntrlog2bndlem4  24146  pntpbnd2  24153  pntibndlem2  24157  pntlemo  24173  pntlem3  24175  brbtwn2  24625  axsegconlem9  24645  axsegconlem10  24646  axpaschlem  24660  axcontlem8  24691  dya2icoseg  28725  itg2addnclem  31439  pellexlem2  35127  pellexlem6  35131  areaquad  35548  hashnzfzclim  36075  binomcxplemrat  36103  oddfl  36833  sumnnodd  37004  dvmptdiv  37082  itgcoscmulx  37136  itgsincmulx  37141  stirlinglem1  37224  stirlinglem6  37229  dirkercncflem1  37253  fourierdlem26  37283  fourierdlem30  37287  fourierdlem65  37322
  Copyright terms: Public domain W3C validator