MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsubdird Structured version   Unicode version

Theorem divsubdird 10138
Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divmuld.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
divassd.4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divsubdird  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  -  ( B  /  C ) ) )

Proof of Theorem divsubdird
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divmuld.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 divassd.4 . 2  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
5 divsubdir 10019 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )  -> 
( ( A  -  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  -  ( B  /  C ) ) )
61, 2, 3, 4, 5syl112anc 1222 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  -  ( B  /  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601  (class class class)co 6086   CCcc 9272   0cc0 9274    - cmin 9587    / cdiv 9985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986
This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  11423  discr  11993  crre  12595  reccn2  13066  iseralt  13154  trireciplem  13316  geolim  13322  geolim2  13323  georeclim  13324  bitsinv1lem  13629  fldivp1  13951  mul4sqlem  14006  lebnumii  20513  dyadovol  21048  mbfi1fseqlem6  21173  dveflem  21426  dvsincos  21428  dvlip  21440  ulmdvlem1  21840  efeq1  21960  tanarg  22043  logcnlem4  22065  ang180lem1  22180  angpieqvdlem  22198  chordthmlem2  22203  chordthmlem4  22205  dcubic1lem  22213  dcubic2  22214  mcubic  22217  cubic2  22218  dquartlem1  22221  dquartlem2  22222  dquart  22223  2efiatan  22288  tanatan  22289  atantan  22293  dvatan  22305  atantayl  22307  atantayl2  22308  birthdaylem2  22321  jensenlem2  22356  logdiflbnd  22363  emcllem2  22365  basellem8  22400  lgseisenlem1  22663  lgsquadlem2  22669  vmalogdivsum2  22762  vmalogdivsum  22763  2vmadivsumlem  22764  selberg3lem1  22781  selberg4lem1  22784  selberg4  22785  pntrmax  22788  pntrsumo1  22789  selberg3r  22793  selberg4r  22794  selberg34r  22795  pntrlog2bndlem4  22804  pntpbnd2  22811  pntibndlem2  22815  pntlemo  22831  pntlem3  22833  brbtwn2  23102  axsegconlem9  23122  axsegconlem10  23123  axpaschlem  23137  axcontlem8  23168  dya2icoseg  26644  lgamgulmlem2  26968  bpolydiflem  28148  itg2addnclem  28396  pellexlem2  29124  pellexlem6  29128  areaquad  29545  stirlinglem1  29822  stirlinglem6  29827
  Copyright terms: Public domain W3C validator