MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsubdird Structured version   Unicode version

Theorem divsubdird 10133
Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divmuld.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
divassd.4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divsubdird  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  -  ( B  /  C ) ) )

Proof of Theorem divsubdird
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divmuld.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 divassd.4 . 2  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
5 divsubdir 10014 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )  -> 
( ( A  -  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  -  ( B  /  C ) ) )
61, 2, 3, 4, 5syl112anc 1215 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  -  ( B  /  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596  (class class class)co 6080   CCcc 9267   0cc0 9269    - cmin 9582    / cdiv 9980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981
This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  11417  discr  11984  crre  12586  reccn2  13057  iseralt  13145  trireciplem  13306  geolim  13312  geolim2  13313  georeclim  13314  bitsinv1lem  13619  fldivp1  13941  mul4sqlem  13996  lebnumii  20379  dyadovol  20914  mbfi1fseqlem6  21039  dveflem  21292  dvsincos  21294  dvlip  21306  ulmdvlem1  21749  efeq1  21869  tanarg  21952  logcnlem4  21974  ang180lem1  22089  angpieqvdlem  22107  chordthmlem2  22112  chordthmlem4  22114  dcubic1lem  22122  dcubic2  22123  mcubic  22126  cubic2  22127  dquartlem1  22130  dquartlem2  22131  dquart  22132  2efiatan  22197  tanatan  22198  atantan  22202  dvatan  22214  atantayl  22216  atantayl2  22217  birthdaylem2  22230  jensenlem2  22265  logdiflbnd  22272  emcllem2  22274  basellem8  22309  lgseisenlem1  22572  lgsquadlem2  22578  vmalogdivsum2  22671  vmalogdivsum  22672  2vmadivsumlem  22673  selberg3lem1  22690  selberg4lem1  22693  selberg4  22694  pntrmax  22697  pntrsumo1  22698  selberg3r  22702  selberg4r  22703  selberg34r  22704  pntrlog2bndlem4  22713  pntpbnd2  22720  pntibndlem2  22724  pntlemo  22740  pntlem3  22742  brbtwn2  22973  axsegconlem9  22993  axsegconlem10  22994  axpaschlem  23008  axcontlem8  23039  dya2icoseg  26545  lgamgulmlem2  26863  bpolydiflem  28043  itg2addnclem  28284  pellexlem2  29013  pellexlem6  29017  areaquad  29434  stirlinglem1  29712  stirlinglem6  29717
  Copyright terms: Public domain W3C validator