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Theorem divstgpopn 19649
Description: A quotient map in a topological group is an open map. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
divstgp.h  |-  H  =  ( G  /.s  ( G ~QG  Y
) )
divstgpopn.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
divstgpopn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
divstgpopn.k  |-  K  =  ( TopOpen `  H )
divstgpopn.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  [ x ] ( G ~QG  Y ) )
Assertion
Ref Expression
divstgpopn  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( F " S )  e.  K
)
Distinct variable groups:    x, G    x, J    x, S    x, X    x, H    x, K    x, Y
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem divstgpopn
Dummy variables  a  u  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 5177 . . . 4  |-  ( F
" S )  C_  ran  F
2 divstgp.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( G  /.s  ( G ~QG  Y
) )
32a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  H  =  ( G  /.s  ( G ~QG  Y ) ) )
4 divstgpopn.x . . . . . . 7  |-  X  =  ( Base `  G
)
54a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  X  =  ( Base `  G )
)
6 divstgpopn.f . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  [ x ] ( G ~QG  Y ) )
7 ovex 6115 . . . . . . 7  |-  ( G ~QG  Y )  e.  _V
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( G ~QG  Y
)  e.  _V )
9 simp1 983 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  G  e.  TopGrp )
103, 5, 6, 8, 9divslem 14477 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  F : X -onto-> ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )
11 forn 5620 . . . . 5  |-  ( F : X -onto-> ( X /. ( G ~QG  Y ) )  ->  ran  F  =  ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )
1210, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ran  F  =  ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )
131, 12syl5sseq 3401 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( F " S )  C_  ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )
14 eceq1 7133 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  [ x ] ( G ~QG  Y )  =  [ y ] ( G ~QG  Y ) )
1514cbvmptv 4380 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  |->  [ x ] ( G ~QG  Y ) )  =  ( y  e.  X  |->  [ y ] ( G ~QG  Y ) )
166, 15eqtri 2461 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( y  e.  X  |->  [ y ] ( G ~QG  Y ) )
1716mptpreima 5328 . . . . . . 7  |-  ( `' F " ( F
" S ) )  =  { y  e.  X  |  [ y ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F " S ) }
1817rabeq2i 2967 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( `' F " ( F " S
) )  <->  ( y  e.  X  /\  [ y ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F " S ) ) )
196funmpt2 5452 . . . . . . . . 9  |-  Fun  F
20 fvelima 5740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  F  /\  [
y ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F
" S ) )  ->  E. z  e.  S  ( F `  z )  =  [ y ] ( G ~QG  Y ) )
2119, 20mpan 665 . . . . . . . 8  |-  ( [ y ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F
" S )  ->  E. z  e.  S  ( F `  z )  =  [ y ] ( G ~QG  Y ) )
22 divstgpopn.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
2322, 4tgptopon 19612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
249, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
25 simp3 985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  S  e.  J )
26 toponss 18493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  J )  ->  S  C_  X )
2724, 25, 26syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  S  C_  X
)
2827adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  ->  S  C_  X )
2928sselda 3353 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  X )
30 eceq1 7133 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  [ x ] ( G ~QG  Y )  =  [ z ] ( G ~QG  Y ) )
31 ecexg 7101 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G ~QG  Y )  e.  _V  ->  [ z ] ( G ~QG  Y )  e.  _V )
327, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [ z ] ( G ~QG  Y )  e.  _V
3330, 6, 32fvmpt 5771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  X  ->  ( F `  z )  =  [ z ] ( G ~QG  Y ) )
3429, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  ( F `  z )  =  [ z ] ( G ~QG  Y ) )
3534eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  z
)  =  [ y ] ( G ~QG  Y )  <->  [ z ] ( G ~QG  Y )  =  [
y ] ( G ~QG  Y ) ) )
36 eqcom 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [ z ] ( G ~QG  Y )  =  [ y ] ( G ~QG  Y )  <->  [ y ] ( G ~QG  Y )  =  [
z ] ( G ~QG  Y ) )
3735, 36syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  z
)  =  [ y ] ( G ~QG  Y )  <->  [ y ] ( G ~QG  Y )  =  [
z ] ( G ~QG  Y ) ) )
38 nsgsubg 15706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  Y  e.  (SubGrp `  G ) )
39383ad2ant2 1005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  Y  e.  (SubGrp `  G ) )
4039ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  Y  e.  (SubGrp `  G )
)
41 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G ~QG  Y )  =  ( G ~QG  Y )
424, 41eqger 15724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( G ~QG  Y
)  Er  X )
4340, 42syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  ( G ~QG  Y )  Er  X
)
44 simplr 749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  y  e.  X )
4543, 44erth 7141 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  (
y ( G ~QG  Y ) z  <->  [ y ] ( G ~QG  Y )  =  [
z ] ( G ~QG  Y ) ) )
469ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  G  e.  TopGrp )
474subgss 15675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  Y  C_  X
)
4840, 47syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  Y  C_  X )
49 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
50 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
514, 49, 50, 41eqgval 15723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  C_  X )  ->  (
y ( G ~QG  Y ) z  <->  ( y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y ) ) )
5246, 48, 51syl2anc 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  (
y ( G ~QG  Y ) z  <->  ( y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y ) ) )
5337, 45, 523bitr2d 281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  z
)  =  [ y ] ( G ~QG  Y )  <-> 
( y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  Y
) ) )
54 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (oppg `  G
)  =  (oppg `  G
)
55 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( +g  `  (oppg
`  G ) )  =  ( +g  `  (oppg `  G
) )
5650, 54, 55oppgplus 15857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ( +g  `  (oppg `  G
) ) a )  =  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )
5756mpteq2i 4372 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  X  |->  ( ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ( +g  `  (oppg `  G
) ) a ) )  =  ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
5846adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  G  e.  TopGrp )
5954oppgtgp 19628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  (oppg
`  G )  e. 
TopGrp )
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (oppg `  G
)  e.  TopGrp )
6148sselda 3353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  X )
62 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  X  |->  ( ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ( +g  `  (oppg `  G
) ) a ) )  =  ( a  e.  X  |->  ( ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ( +g  `  (oppg `  G
) ) a ) )
6354, 4oppgbas 15859 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  X  =  ( Base `  (oppg `  G
) )
6454, 22oppgtopn 15861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  J  =  ( TopOpen `  (oppg
`  G ) )
6562, 63, 55, 64tgplacthmeo 19633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (oppg
`  G )  e. 
TopGrp  /\  ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z )  e.  X
)  ->  ( a  e.  X  |->  ( ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ( +g  `  (oppg `  G
) ) a ) )  e.  ( J
Homeo J ) )
6660, 61, 65syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
a  e.  X  |->  ( ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ( +g  `  (oppg
`  G ) ) a ) )  e.  ( J Homeo J ) )
6757, 66syl5eqelr 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )  e.  ( J Homeo J ) )
68 hmeocn 19292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )  e.  ( J Homeo J )  ->  ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
7025ad3antrrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  S  e.  J )
71 cnima 18828 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )  e.  ( J  Cn  J )  /\  S  e.  J )  ->  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  e.  J )
7269, 70, 71syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  e.  J )
7344adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  y  e.  X )
74 tgpgrp 19608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
7558, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  G  e.  Grp )
76 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
774, 50, 76, 49grprinv 15578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( y ( +g  `  G ) ( ( invg `  G
) `  y )
)  =  ( 0g
`  G ) )
7875, 73, 77syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
y ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 y ) )  =  ( 0g `  G ) )
7978oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
( y ( +g  `  G ) ( ( invg `  G
) `  y )
) ( +g  `  G
) z )  =  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) z ) )
804, 49grpinvcl 15576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  X )
8175, 73, 80syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  X )
8229adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  z  e.  X )
834, 50grpass 15545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  X  /\  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( (
y ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  G
) z )  =  ( y ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )
8475, 73, 81, 82, 83syl13anc 1215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
( y ( +g  `  G ) ( ( invg `  G
) `  y )
) ( +g  `  G
) z )  =  ( y ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )
854, 50, 76grplid 15561 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) z )  =  z )
8675, 82, 85syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
( 0g `  G
) ( +g  `  G
) z )  =  z )
8779, 84, 863eqtr3d 2481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
y ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  =  z )
88 simplr 749 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  z  e.  S )
8987, 88eqeltrd 2515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
y ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  e.  S )
90 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  y  ->  (
a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  =  ( y ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )
9190eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  y  ->  (
( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  e.  S  <->  ( y
( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  e.  S ) )
92 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )  =  ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )
9392mptpreima 5328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) ) " S )  =  { a  e.  X  |  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  e.  S }
9491, 93elrab2 3116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  <->  ( y  e.  X  /\  (
y ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  e.  S ) )
9573, 89, 94sylanbrc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  y  e.  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S ) )
96 ecexg 7101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G ~QG  Y )  e.  _V  ->  [ x ] ( G ~QG  Y )  e.  _V )
977, 96ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  [ x ] ( G ~QG  Y )  e.  _V
9897, 6fnmpti 5536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F  Fn  X
9928ad3antrrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  S  C_  X )
100 fnfvima 5952 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  Fn  X  /\  S  C_  X  /\  (
a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  e.  S )  ->  ( F `  ( a
( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )  e.  ( F " S ) )
1011003expia 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  Fn  X  /\  S  C_  X )  -> 
( ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  e.  S  ->  ( F `  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )  e.  ( F
" S ) ) )
10298, 99, 101sylancr 658 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  e.  S  ->  ( F `  ( a
( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )  e.  ( F " S ) ) )
10375adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  G  e.  Grp )
104 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  a  e.  X )
10561adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  X )
1064, 50grpcl 15544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  a  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  X
)  ->  ( a
( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  e.  X )
107103, 104, 105, 106syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  e.  X )
108 eceq1 7133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  ->  [ x ] ( G ~QG  Y )  =  [
( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) ] ( G ~QG  Y ) )
109108, 6, 97fvmpt3i 5775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  e.  X  ->  ( F `  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )  =  [ ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) ] ( G ~QG  Y ) )
110107, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  ( F `  ( a
( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )  =  [ ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) ] ( G ~QG  Y ) )
11143ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  ( G ~QG  Y )  Er  X
)
1124, 50, 76, 49grplinv 15577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  a  e.  X )  ->  ( ( ( invg `  G ) `
 a ) ( +g  `  G ) a )  =  ( 0g `  G ) )
113103, 104, 112syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( ( invg `  G ) `  a
) ( +g  `  G
) a )  =  ( 0g `  G
) )
114113oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( ( ( invg `  G ) `
 a ) ( +g  `  G ) a ) ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( 0g
`  G ) ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )
1154, 49grpinvcl 15576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  a  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  a
)  e.  X )
116103, 104, 115syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( invg `  G ) `  a
)  e.  X )
1174, 50grpass 15545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 a )  e.  X  /\  a  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( invg `  G
) `  a )
( +g  `  G ) a ) ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  a )
( +g  `  G ) ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) ) )
118103, 116, 104, 105, 117syl13anc 1215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( ( ( invg `  G ) `
 a ) ( +g  `  G ) a ) ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  a )
( +g  `  G ) ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) ) )
1194, 50, 76grplid 15561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  X
)  ->  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )
120103, 105, 119syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( 0g `  G
) ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )
121114, 118, 1203eqtr3d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( ( invg `  G ) `  a
) ( +g  `  G
) ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )
122 simplr 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )
123121, 122eqeltrd 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( ( invg `  G ) `  a
) ( +g  `  G
) ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )  e.  Y )
12448ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  Y  C_  X )
1254, 49, 50, 41eqgval 15723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( a ( G ~QG  Y ) ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  <->  ( a  e.  X  /\  (
a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `  a
) ( +g  `  G
) ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )  e.  Y ) ) )
126103, 124, 125syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
a ( G ~QG  Y ) ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  <-> 
( a  e.  X  /\  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  e.  X  /\  (
( ( invg `  G ) `  a
) ( +g  `  G
) ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )  e.  Y ) ) )
127104, 107, 123, 126mpbir3and 1166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  a
( G ~QG  Y ) ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
128111, 127erthi 7143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  [ a ] ( G ~QG  Y )  =  [ ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) ] ( G ~QG  Y ) )
129110, 128eqtr4d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  ( F `  ( a
( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )  =  [ a ] ( G ~QG  Y ) )
130129eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( F `  (
a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )  e.  ( F " S )  <->  [ a ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F " S ) ) )
131102, 130sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  e.  S  ->  [ a ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F " S ) ) )
132131ss2rabdv 3430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  { a  e.  X  |  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  e.  S }  C_  { a  e.  X  |  [
a ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F
" S ) } )
133 eceq1 7133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  [ x ] ( G ~QG  Y )  =  [ a ] ( G ~QG  Y ) )
134133cbvmptv 4380 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  X  |->  [ x ] ( G ~QG  Y ) )  =  ( a  e.  X  |->  [ a ] ( G ~QG  Y ) )
1356, 134eqtri 2461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F  =  ( a  e.  X  |->  [ a ] ( G ~QG  Y ) )
136135mptpreima 5328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' F " ( F
" S ) )  =  { a  e.  X  |  [ a ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F " S ) }
137132, 93, 1363sstr4g 3394 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) )
138 eleq2 2502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  -> 
( y  e.  u  <->  y  e.  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S ) ) )
139 sseq1 3374 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  -> 
( u  C_  ( `' F " ( F
" S ) )  <-> 
( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) ) )
140138, 139anbi12d 705 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  -> 
( ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) )  <->  ( y  e.  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  /\  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) ) ) )
141140rspcev 3070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  e.  J  /\  ( y  e.  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  /\  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) ) )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
( F " S
) ) ) )
14272, 95, 137, 141syl12anc 1211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
( F " S
) ) ) )
1431423ad2antr3 1150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  Y
) )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
( F " S
) ) ) )
144143ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  Y
)  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
( F " S
) ) ) ) )
14553, 144sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  z
)  =  [ y ] ( G ~QG  Y )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) ) ) )
146145rexlimdva 2839 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  ->  ( E. z  e.  S  ( F `  z )  =  [ y ] ( G ~QG  Y )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
( F " S
) ) ) ) )
14721, 146syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  ->  ( [ y ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F " S )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) ) ) )
148147expimpd 600 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( (
y  e.  X  /\  [ y ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F
" S ) )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) ) ) )
14918, 148syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( y  e.  ( `' F "
( F " S
) )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
( F " S
) ) ) ) )
150149ralrimiv 2796 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  A. y  e.  ( `' F "
( F " S
) ) E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
( F " S
) ) ) )
151 topontop 18490 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
152 eltop2 18539 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( `' F "
( F " S
) )  e.  J  <->  A. y  e.  ( `' F " ( F
" S ) ) E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) ) ) )
15324, 151, 1523syl 20 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( ( `' F " ( F
" S ) )  e.  J  <->  A. y  e.  ( `' F "
( F " S
) ) E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
( F " S
) ) ) ) )
154150, 153mpbird 232 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( `' F " ( F " S ) )  e.  J )
155 elqtop3 19235 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )  ->  ( ( F
" S )  e.  ( J qTop  F )  <-> 
( ( F " S )  C_  ( X /. ( G ~QG  Y ) )  /\  ( `' F " ( F
" S ) )  e.  J ) ) )
15624, 10, 155syl2anc 656 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( ( F " S )  e.  ( J qTop  F )  <-> 
( ( F " S )  C_  ( X /. ( G ~QG  Y ) )  /\  ( `' F " ( F
" S ) )  e.  J ) ) )
15713, 154, 156mpbir2and 908 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( F " S )  e.  ( J qTop  F ) )
1583, 5, 6, 8, 9divsval 14476 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  H  =  ( F  "s  G ) )
159 divstgpopn.k . . 3  |-  K  =  ( TopOpen `  H )
160158, 5, 10, 9, 22, 159imastopn 19252 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  K  =  ( J qTop  F )
)
161157, 160eleqtrrd 2518 1  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( F " S )  e.  K
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717   _Vcvv 2970    C_ wss 3325   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   `'ccnv 4835   ran crn 4837   "cima 4839   Fun wfun 5409    Fn wfn 5410   -onto->wfo 5413   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    Er wer 7094   [cec 7095   /.cqs 7096   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   TopOpenctopn 14356   0gc0g 14374   qTop cqtop 14437    /.s cqus 14439   Grpcgrp 15406   invgcminusg 15407  SubGrpcsubg 15668  NrmSGrpcnsg 15669   ~QG cqg 15670  oppgcoppg 15853   Topctop 18457  TopOnctopon 18458    Cn ccn 18787   Homeochmeo 19285   TopGrpctgp 19601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-tpos 6744  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-ec 7099  df-qs 7103  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-fz 11434  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-topgen 14378  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-divs 14443  df-mnd 15411  df-plusf 15412  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-subg 15671  df-nsg 15672  df-eqg 15673  df-oppg 15854  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-tmd 19602  df-tgp 19603
This theorem is referenced by:  divstgplem  19650
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