Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divstgphaus Structured version   Unicode version

Theorem divstgphaus 20351
 Description: The quotient of a topological group by a closed normal subgroup is a Hausdorff topological group. In particular, the quotient by the closure of the identity is a Hausdorff group, isomorphic to both the Kolmogorov quotient and the Hausdorff quotient operations on topological spaces (because T0 and Hausdorff coincide for topological groups). (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
divstgp.h s ~QG
divstgphaus.j
divstgphaus.k
Assertion
Ref Expression
divstgphaus NrmSGrp

Proof of Theorem divstgphaus
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divstgp.h . . . . . . . 8 s ~QG
2 eqid 2462 . . . . . . . 8
31, 2divs0 16049 . . . . . . 7 NrmSGrp ~QG
433ad2ant2 1013 . . . . . 6 NrmSGrp ~QG
5 tgpgrp 20307 . . . . . . . . 9
653ad2ant1 1012 . . . . . . . 8 NrmSGrp
7 eqid 2462 . . . . . . . . 9
87, 2grpidcl 15874 . . . . . . . 8
96, 8syl 16 . . . . . . 7 NrmSGrp
10 ovex 6302 . . . . . . . 8 ~QG
1110ecelqsi 7359 . . . . . . 7 ~QG ~QG
129, 11syl 16 . . . . . 6 NrmSGrp ~QG ~QG
134, 12eqeltrrd 2551 . . . . 5 NrmSGrp ~QG
1413snssd 4167 . . . 4 NrmSGrp ~QG
15 eqid 2462 . . . . . . 7 ~QG ~QG
1615mptpreima 5493 . . . . . 6 ~QG ~QG
17 nsgsubg 16023 . . . . . . . . . . 11 NrmSGrp SubGrp
18173ad2ant2 1013 . . . . . . . . . 10 NrmSGrp SubGrp
19 eqid 2462 . . . . . . . . . . 11 ~QG ~QG
207, 19, 2eqgid 16043 . . . . . . . . . 10 SubGrp ~QG
2118, 20syl 16 . . . . . . . . 9 NrmSGrp ~QG
227subgss 15992 . . . . . . . . . 10 SubGrp
2318, 22syl 16 . . . . . . . . 9 NrmSGrp
2421, 23eqsstrd 3533 . . . . . . . 8 NrmSGrp ~QG
25 dfss1 3698 . . . . . . . 8 ~QG ~QG ~QG
2624, 25sylib 196 . . . . . . 7 NrmSGrp ~QG ~QG
277, 19eqger 16041 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp ~QG
2818, 27syl 16 . . . . . . . . . . . 12 NrmSGrp ~QG
2928, 9erth 7348 . . . . . . . . . . 11 NrmSGrp ~QG ~QG ~QG
3029adantr 465 . . . . . . . . . 10 NrmSGrp ~QG ~QG ~QG
314adantr 465 . . . . . . . . . . 11 NrmSGrp ~QG
3231eqeq1d 2464 . . . . . . . . . 10 NrmSGrp ~QG ~QG ~QG
3330, 32bitrd 253 . . . . . . . . 9 NrmSGrp ~QG ~QG
34 vex 3111 . . . . . . . . . 10
35 fvex 5869 . . . . . . . . . 10
3634, 35elec 7343 . . . . . . . . 9 ~QG ~QG
37 fvex 5869 . . . . . . . . . . 11
3837elsnc2 4053 . . . . . . . . . 10 ~QG ~QG
39 eqcom 2471 . . . . . . . . . 10 ~QG ~QG
4038, 39bitri 249 . . . . . . . . 9 ~QG ~QG
4133, 36, 403bitr4g 288 . . . . . . . 8 NrmSGrp ~QG ~QG
4241rabbi2dva 3701 . . . . . . 7 NrmSGrp ~QG ~QG
4326, 42, 213eqtr3d 2511 . . . . . 6 NrmSGrp ~QG
4416, 43syl5eq 2515 . . . . 5 NrmSGrp ~QG
45 simp3 993 . . . . 5 NrmSGrp
4644, 45eqeltrd 2550 . . . 4 NrmSGrp ~QG
47 divstgphaus.j . . . . . . 7
4847, 7tgptopon 20311 . . . . . 6 TopOn
49483ad2ant1 1012 . . . . 5 NrmSGrp TopOn
501a1i 11 . . . . . 6 NrmSGrp s ~QG
51 eqidd 2463 . . . . . 6 NrmSGrp
5210a1i 11 . . . . . 6 NrmSGrp ~QG
53 simp1 991 . . . . . 6 NrmSGrp
5450, 51, 15, 52, 53divslem 14789 . . . . 5 NrmSGrp ~QG ~QG
55 qtopcld 19944 . . . . 5 TopOn ~QG ~QG qTop ~QG ~QG ~QG
5649, 54, 55syl2anc 661 . . . 4 NrmSGrp qTop ~QG ~QG ~QG
5714, 46, 56mpbir2and 915 . . 3 NrmSGrp qTop ~QG
5850, 51, 15, 52, 53divsval 14788 . . . . 5 NrmSGrp ~QG s
59 divstgphaus.k . . . . 5
6058, 51, 54, 53, 47, 59imastopn 19951 . . . 4 NrmSGrp qTop ~QG
6160fveq2d 5863 . . 3 NrmSGrp qTop ~QG
6257, 61eleqtrrd 2553 . 2 NrmSGrp
631divstgp 20350 . . . 4 NrmSGrp
64633adant3 1011 . . 3 NrmSGrp
65 eqid 2462 . . . 4
6665, 59tgphaus 20345 . . 3
6764, 66syl 16 . 2 NrmSGrp
6862, 67mpbird 232 1 NrmSGrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 968   wceq 1374   wcel 1762  crab 2813  cvv 3108   cin 3470   wss 3471  csn 4022   class class class wbr 4442   cmpt 4500  ccnv 4993  cima 4997  wfo 5579  cfv 5581  (class class class)co 6277   wer 7300  cec 7301  cqs 7302  cbs 14481  ctopn 14668  c0g 14686   qTop cqtop 14749   s cqus 14751  cgrp 15718  SubGrpcsubg 15985  NrmSGrpcnsg 15986   ~QG cqg 15987  TopOnctopon 19157  ccld 19278  cha 19570  ctgp 20300 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-ec 7305  df-qs 7309  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-sup 7892  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-fz 11664  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-rest 14669  df-topn 14670  df-0g 14688  df-topgen 14690  df-qtop 14753  df-imas 14754  df-divs 14755  df-mnd 15723  df-plusf 15724  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-sbg 15855  df-subg 15988  df-nsg 15989  df-eqg 15990  df-oppg 16171  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-topsp 19165  df-cld 19281  df-cn 19489  df-cnp 19490  df-t1 19576  df-haus 19577  df-tx 19793  df-hmeo 19986  df-tmd 20301  df-tgp 20302 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator