Theorem divsqrtsumo1 23921

Description: The sum sum_ n <_ x ( 1 / sqr n ) has the asymptotic expansion 2 sqr x + L + O ( 1 / sqr x ), for some L. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
divsqrtsum.2	|- F = ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` n ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) )
divsqrsum2.1	|- ( ph -> F ~~> r L )

Assertion

Ref	Expression
divsqrtsumo1	|- ( ph -> ( y e. RR+ |-> ( ( ( F ` y ) - L ) x. ( sqr ` y ) ) ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   x, y, n   y, F   y, L   y, n, ph

Allowed substitution hints:   ph( x)   F( x, n)   L( x, n)

Proof of Theorem divsqrtsumo1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 11319	. . 3 |- RR+ C_ RR
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ph -> RR+ C_ RR )
3		divsqrtsum.2	. . . . . . 7 |- F = ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` n ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) )
4	3	divsqrsumf 23918	. . . . . 6 |- F : RR+ --> RR
5	4	ffvelrni 6026	. . . . 5 |- ( y e. RR+ -> ( F ` y ) e. RR )
6		rpsup 12100	. . . . . . 7 |- sup ( RR+ , RR* , < ) = +oo
7	6	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> sup ( RR+ , RR* , < ) = +oo )
8	4	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : RR+ --> RR )
9	8	feqmptd 5923	. . . . . . 7 |- ( ph -> F = ( y e. RR+ |-> ( F ` y ) ) )
10		divsqrsum2.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> F ~~> r L )
11	9, 10	eqbrtrrd 4428	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. RR+ |-> ( F ` y ) ) ~~> r L )
12	5	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( F ` y ) e. RR )
13	7, 11, 12	rlimrecl 13656	. . . . 5 |- ( ph -> L e. RR )
14		resubcl 9943	. . . . 5 |- ( ( ( F ` y ) e. RR /\ L e. RR ) -> ( ( F ` y ) - L ) e. RR )
15	5, 13, 14	syl2anr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( ( F ` y ) - L ) e. RR )
16	15	recnd 9674	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( ( F ` y ) - L ) e. CC )
17		rpsqrtcl 13340	. . . . 5 |- ( y e. RR+ -> ( sqr ` y ) e. RR+ )
18	17	adantl 468	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( sqr ` y ) e. RR+ )
19	18	rpcnd 11350	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( sqr ` y ) e. CC )
20	16, 19	mulcld 9668	. 2 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( ( ( F ` y ) - L ) x. ( sqr ` y ) ) e. CC )
21		1red 9663	. 2 |- ( ph -> 1 e. RR )
22	16, 19	absmuld 13528	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( ( F ` y ) - L ) x. ( sqr ` y ) ) ) = ( ( abs ` ( ( F ` y ) - L ) ) x. ( abs ` ( sqr ` y ) ) ) )
23	18	rprege0d 11355	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( ( sqr ` y ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` y ) ) )
24		absid 13371	. . . . . . 7 |- ( ( ( sqr ` y ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` y ) ) -> ( abs ` ( sqr ` y ) ) = ( sqr ` y ) )
25	23, 24	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( abs ` ( sqr ` y ) ) = ( sqr ` y ) )
26	25	oveq2d 6311	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( ( abs ` ( ( F ` y ) - L ) ) x. ( abs ` ( sqr ` y ) ) ) = ( ( abs ` ( ( F ` y ) - L ) ) x. ( sqr ` y ) ) )
27	22, 26	eqtrd 2487	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( ( F ` y ) - L ) x. ( sqr ` y ) ) ) = ( ( abs ` ( ( F ` y ) - L ) ) x. ( sqr ` y ) ) )
28	3, 10	divsqrtsum2 23920	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) - L ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` y ) ) )
29	16	abscld 13510	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) - L ) ) e. RR )
30		1red 9663	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> 1 e. RR )
31	29, 30, 18	lemuldivd 11394	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` y ) - L ) ) x. ( sqr ` y ) ) <_ 1 <-> ( abs ` ( ( F ` y ) - L ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` y ) ) ) )
32	28, 31	mpbird 236	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( ( abs ` ( ( F ` y ) - L ) ) x. ( sqr ` y ) ) <_ 1 )
33	27, 32	eqbrtrd 4426	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( ( F ` y ) - L ) x. ( sqr ` y ) ) ) <_ 1 )
34	33	adantrr 724	. 2 |- ( ( ph /\ ( y e. RR+ /\ 1 <_ y ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` y ) - L ) x. ( sqr ` y ) ) ) <_ 1 )
35	2, 20, 21, 21, 34	elo1d 13612	1 |- ( ph -> ( y e. RR+ |-> ( ( ( F ` y ) - L ) x. ( sqr ` y ) ) ) e. O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   C_ wss 3406   class class class wbr 4405   |-> cmpt 4464   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   supcsup 7959   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545   x. cmul 9549   +oocpnf 9677   RR*cxr 9679   < clt 9680   <_ cle 9681   - cmin 9865   / cdiv 10276   2c2 10666   RR+crp 11309   ...cfz 11791   |_cfl 12033   sqrcsqrt 13308   abscabs 13309   ~~> r crli 13561   O(1)co1 13562   sum_csu 13764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-mod 12104  df-seq 12221  df-exp 12280  df-fac 12467  df-bc 12495  df-hash 12523  df-shft 13142  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-limsup 13538  df-clim 13564  df-rlim 13565  df-o1 13566  df-lo1 13567  df-sum 13765  df-ef 14133  df-sin 14135  df-cos 14136  df-pi 14138  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-rest 15333  df-topn 15334  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-topgen 15354  df-pt 15355  df-prds 15358  df-xrs 15412  df-qtop 15418  df-imas 15419  df-xps 15422  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-mulg 16688  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-fbas 18979  df-fg 18980  df-cnfld 18983  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-nei 20126  df-lp 20164  df-perf 20165  df-cn 20255  df-cnp 20256  df-haus 20343  df-cmp 20414  df-tx 20589  df-hmeo 20782  df-fil 20873  df-fm 20965  df-flim 20966  df-flf 20967  df-xms 21347  df-ms 21348  df-tms 21349  df-cncf 21922  df-limc 22833  df-dv 22834  df-log 23518  df-cxp 23519

This theorem is referenced by: (None)