MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsqrtsumo1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem divsqrtsumo1 23921
Description: The sum  sum_ n  <_  x ( 1  /  sqr n ) has the asymptotic expansion  2 sqr x  +  L  +  O
( 1  /  sqr x ), for some  L. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
divsqrtsum.2  |-  F  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  n ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )
divsqrsum2.1  |-  ( ph  ->  F  ~~> r  L )
Assertion
Ref Expression
divsqrtsumo1  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR+  |->  ( ( ( F `
 y )  -  L )  x.  ( sqr `  y ) ) )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    x, y, n    y, F    y, L    y, n, ph
Allowed substitution hints:    ph( x)    F( x, n)    L( x, n)

Proof of Theorem divsqrtsumo1
StepHypRef Expression
1 rpssre 11319 . . 3  |-  RR+  C_  RR
21a1i 11 . 2  |-  ( ph  -> 
RR+  C_  RR )
3 divsqrtsum.2 . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  n ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )
43divsqrsumf 23918 . . . . . 6  |-  F : RR+
--> RR
54ffvelrni 6026 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( F `
 y )  e.  RR )
6 rpsup 12100 . . . . . . 7  |-  sup ( RR+ ,  RR* ,  <  )  = +oo
76a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  sup ( RR+ ,  RR* ,  <  )  = +oo )
84a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : RR+ --> RR )
98feqmptd 5923 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  RR+  |->  ( F `
 y ) ) )
10 divsqrsum2.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  ~~> r  L )
119, 10eqbrtrrd 4428 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR+  |->  ( F `  y ) )  ~~> r  L )
125adantl 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
137, 11, 12rlimrecl 13656 . . . . 5  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
14 resubcl 9943 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( ( F `  y )  -  L
)  e.  RR )
155, 13, 14syl2anr 481 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( ( F `  y )  -  L )  e.  RR )
1615recnd 9674 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( ( F `  y )  -  L )  e.  CC )
17 rpsqrtcl 13340 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( sqr `  y )  e.  RR+ )
1817adantl 468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  y )  e.  RR+ )
1918rpcnd 11350 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  y )  e.  CC )
2016, 19mulcld 9668 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( (
( F `  y
)  -  L )  x.  ( sqr `  y
) )  e.  CC )
21 1red 9663 . 2  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
2216, 19absmuld 13528 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( ( F `
 y )  -  L )  x.  ( sqr `  y ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( F `  y )  -  L ) )  x.  ( abs `  ( sqr `  y ) ) ) )
2318rprege0d 11355 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( ( sqr `  y )  e.  RR  /\  0  <_ 
( sqr `  y
) ) )
24 absid 13371 . . . . . . 7  |-  ( ( ( sqr `  y
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  y
) )  ->  ( abs `  ( sqr `  y
) )  =  ( sqr `  y ) )
2523, 24syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( sqr `  y
) )  =  ( sqr `  y ) )
2625oveq2d 6311 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 y )  -  L ) )  x.  ( abs `  ( sqr `  y ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( F `  y )  -  L ) )  x.  ( sqr `  y
) ) )
2722, 26eqtrd 2487 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( ( F `
 y )  -  L )  x.  ( sqr `  y ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( F `  y )  -  L ) )  x.  ( sqr `  y
) ) )
283, 10divsqrtsum2 23920 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  L
) )  <_  (
1  /  ( sqr `  y ) ) )
2916abscld 13510 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  L
) )  e.  RR )
30 1red 9663 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  1  e.  RR )
3129, 30, 18lemuldivd 11394 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( (
( abs `  (
( F `  y
)  -  L ) )  x.  ( sqr `  y ) )  <_ 
1  <->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  L ) )  <_  ( 1  /  ( sqr `  y
) ) ) )
3228, 31mpbird 236 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 y )  -  L ) )  x.  ( sqr `  y
) )  <_  1
)
3327, 32eqbrtrd 4426 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( ( F `
 y )  -  L )  x.  ( sqr `  y ) ) )  <_  1 )
3433adantrr 724 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  1  <_ 
y ) )  -> 
( abs `  (
( ( F `  y )  -  L
)  x.  ( sqr `  y ) ) )  <_  1 )
352, 20, 21, 21, 34elo1d 13612 1  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR+  |->  ( ( ( F `
 y )  -  L )  x.  ( sqr `  y ) ) )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889    C_ wss 3406   class class class wbr 4405    |-> cmpt 4464   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   supcsup 7959   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545    x. cmul 9549   +oocpnf 9677   RR*cxr 9679    < clt 9680    <_ cle 9681    - cmin 9865    / cdiv 10276   2c2 10666   RR+crp 11309   ...cfz 11791   |_cfl 12033   sqrcsqrt 13308   abscabs 13309    ~~> r crli 13561   O(1)co1 13562   sum_csu 13764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-mod 12104  df-seq 12221  df-exp 12280  df-fac 12467  df-bc 12495  df-hash 12523  df-shft 13142  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-limsup 13538  df-clim 13564  df-rlim 13565  df-o1 13566  df-lo1 13567  df-sum 13765  df-ef 14133  df-sin 14135  df-cos 14136  df-pi 14138  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-rest 15333  df-topn 15334  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-topgen 15354  df-pt 15355  df-prds 15358  df-xrs 15412  df-qtop 15418  df-imas 15419  df-xps 15422  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-mulg 16688  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-fbas 18979  df-fg 18980  df-cnfld 18983  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-nei 20126  df-lp 20164  df-perf 20165  df-cn 20255  df-cnp 20256  df-haus 20343  df-cmp 20414  df-tx 20589  df-hmeo 20782  df-fil 20873  df-fm 20965  df-flim 20966  df-flf 20967  df-xms 21347  df-ms 21348  df-tms 21349  df-cncf 21922  df-limc 22833  df-dv 22834  df-log 23518  df-cxp 23519
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator