Theorem divsqrtsumo1 23530

Description: The sum sum_ n <_ x ( 1 / sqr n ) has the asymptotic expansion 2 sqr x + L + O ( 1 / sqr x ), for some L. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
divsqrtsum.2	|- F = ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` n ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) )
divsqrsum2.1	|- ( ph -> F ~~> r L )

Assertion

Ref	Expression
divsqrtsumo1	|- ( ph -> ( y e. RR+ |-> ( ( ( F ` y ) - L ) x. ( sqr ` y ) ) ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   x, y, n   y, F   y, L   y, n, ph

Allowed substitution hints:   ph( x)   F( x, n)   L( x, n)

Proof of Theorem divsqrtsumo1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 11255	. . 3 |- RR+ C_ RR
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ph -> RR+ C_ RR )
3		divsqrtsum.2	. . . . . . 7 |- F = ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` n ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) )
4	3	divsqrsumf 23527	. . . . . 6 |- F : RR+ --> RR
5	4	ffvelrni 6031	. . . . 5 |- ( y e. RR+ -> ( F ` y ) e. RR )
6		rpsup 11996	. . . . . . 7 |- sup ( RR+ , RR* , < ) = +oo
7	6	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> sup ( RR+ , RR* , < ) = +oo )
8	4	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : RR+ --> RR )
9	8	feqmptd 5926	. . . . . . 7 |- ( ph -> F = ( y e. RR+ |-> ( F ` y ) ) )
10		divsqrsum2.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> F ~~> r L )
11	9, 10	eqbrtrrd 4478	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. RR+ |-> ( F ` y ) ) ~~> r L )
12	5	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( F ` y ) e. RR )
13	7, 11, 12	rlimrecl 13506	. . . . 5 |- ( ph -> L e. RR )
14		resubcl 9902	. . . . 5 |- ( ( ( F ` y ) e. RR /\ L e. RR ) -> ( ( F ` y ) - L ) e. RR )
15	5, 13, 14	syl2anr 478	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( ( F ` y ) - L ) e. RR )
16	15	recnd 9639	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( ( F ` y ) - L ) e. CC )
17		rpsqrtcl 13201	. . . . 5 |- ( y e. RR+ -> ( sqr ` y ) e. RR+ )
18	17	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( sqr ` y ) e. RR+ )
19	18	rpcnd 11283	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( sqr ` y ) e. CC )
20	16, 19	mulcld 9633	. 2 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( ( ( F ` y ) - L ) x. ( sqr ` y ) ) e. CC )
21		1red 9628	. 2 |- ( ph -> 1 e. RR )
22	16, 19	absmuld 13388	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( ( F ` y ) - L ) x. ( sqr ` y ) ) ) = ( ( abs ` ( ( F ` y ) - L ) ) x. ( abs ` ( sqr ` y ) ) ) )
23	18	rprege0d 11288	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( ( sqr ` y ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` y ) ) )
24		absid 13232	. . . . . . 7 |- ( ( ( sqr ` y ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` y ) ) -> ( abs ` ( sqr ` y ) ) = ( sqr ` y ) )
25	23, 24	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( abs ` ( sqr ` y ) ) = ( sqr ` y ) )
26	25	oveq2d 6312	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( ( abs ` ( ( F ` y ) - L ) ) x. ( abs ` ( sqr ` y ) ) ) = ( ( abs ` ( ( F ` y ) - L ) ) x. ( sqr ` y ) ) )
27	22, 26	eqtrd 2498	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( ( F ` y ) - L ) x. ( sqr ` y ) ) ) = ( ( abs ` ( ( F ` y ) - L ) ) x. ( sqr ` y ) ) )
28	3, 10	divsqrtsum2 23529	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) - L ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` y ) ) )
29	16	abscld 13370	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) - L ) ) e. RR )
30		1red 9628	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> 1 e. RR )
31	29, 30, 18	lemuldivd 11326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` y ) - L ) ) x. ( sqr ` y ) ) <_ 1 <-> ( abs ` ( ( F ` y ) - L ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` y ) ) ) )
32	28, 31	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( ( abs ` ( ( F ` y ) - L ) ) x. ( sqr ` y ) ) <_ 1 )
33	27, 32	eqbrtrd 4476	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( ( F ` y ) - L ) x. ( sqr ` y ) ) ) <_ 1 )
34	33	adantrr 716	. 2 |- ( ( ph /\ ( y e. RR+ /\ 1 <_ y ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` y ) - L ) x. ( sqr ` y ) ) ) <_ 1 )
35	2, 20, 21, 21, 34	elo1d 13462	1 |- ( ph -> ( y e. RR+ |-> ( ( ( F ` y ) - L ) x. ( sqr ` y ) ) ) e. O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   C_ wss 3471   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   supcsup 7918   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   x. cmul 9514   +oocpnf 9642   RR*cxr 9644   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   / cdiv 10227   2c2 10606   RR+crp 11245   ...cfz 11697   |_cfl 11930   sqrcsqrt 13169   abscabs 13170   ~~> r crli 13411   O(1)co1 13412   sum_csu 13611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 13003  df-cj 13035  df-re 13036  df-im 13037  df-sqrt 13171  df-abs 13172  df-limsup 13397  df-clim 13414  df-rlim 13415  df-o1 13416  df-lo1 13417  df-sum 13612  df-ef 13906  df-sin 13908  df-cos 13909  df-pi 13911  df-struct 14737  df-ndx 14738  df-slot 14739  df-base 14740  df-sets 14741  df-ress 14742  df-plusg 14816  df-mulr 14817  df-starv 14818  df-sca 14819  df-vsca 14820  df-ip 14821  df-tset 14822  df-ple 14823  df-ds 14825  df-unif 14826  df-hom 14827  df-cco 14828  df-rest 14931  df-topn 14932  df-0g 14950  df-gsum 14951  df-topgen 14952  df-pt 14953  df-prds 14956  df-xrs 15010  df-qtop 15015  df-imas 15016  df-xps 15018  df-mre 15094  df-mrc 15095  df-acs 15097  df-mgm 16090  df-sgrp 16129  df-mnd 16139  df-submnd 16185  df-mulg 16278  df-cntz 16573  df-cmn 17018  df-psmet 18629  df-xmet 18630  df-met 18631  df-bl 18632  df-mopn 18633  df-fbas 18634  df-fg 18635  df-cnfld 18639  df-top 19617  df-bases 19619  df-topon 19620  df-topsp 19621  df-cld 19738  df-ntr 19739  df-cls 19740  df-nei 19817  df-lp 19855  df-perf 19856  df-cn 19946  df-cnp 19947  df-haus 20034  df-cmp 20105  df-tx 20280  df-hmeo 20473  df-fil 20564  df-fm 20656  df-flim 20657  df-flf 20658  df-xms 21040  df-ms 21041  df-tms 21042  df-cncf 21599  df-limc 22487  df-dv 22488  df-log 23161  df-cxp 23162

This theorem is referenced by: (None)