MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsqrtsumlem Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem divsqrtsumlem 23917
Description: Lemma for divsqrsum 23919 and divsqrtsum2 23920. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
divsqrtsum.2  |-  F  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  n ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
divsqrtsumlem  |-  ( F : RR+ --> RR  /\  F  e.  dom  ~~> r  /\  (
( F  ~~> r  L  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( F `  A
)  -  L ) )  <_  ( 1  /  ( sqr `  A
) ) ) )
Distinct variable group:    x, n, A
Allowed substitution hints:    F( x, n)    L( x, n)

Proof of Theorem divsqrtsumlem
StepHypRef Expression
1 ioorp 11719 . . . . . 6  |-  ( 0 (,) +oo )  = 
RR+
21eqcomi 2462 . . . . 5  |-  RR+  =  ( 0 (,) +oo )
3 nnuz 11201 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
4 1zzd 10975 . . . . 5  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
5 0red 9649 . . . . 5  |-  ( T. 
->  0  e.  RR )
6 1re 9647 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
7 0nn0 10891 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
86, 7nn0addge2i 10926 . . . . . 6  |-  1  <_  ( 0  +  1 )
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  1  <_  ( 0  +  1 ) )
10 2re 10686 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
11 rpsqrtcl 13340 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sqr `  x )  e.  RR+ )
1211adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR+ )
1312rpred 11348 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR )
14 remulcl 9629 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( sqr `  x )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( sqr `  x ) )  e.  RR )
1510, 13, 14sylancr 670 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( sqr `  x
) )  e.  RR )
1612rprecred 11359 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  ( sqr `  x
) )  e.  RR )
17 nnrp 11318 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR+ )
1817, 16sylan2 477 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  NN )  ->  (
1  /  ( sqr `  x ) )  e.  RR )
19 reelprrecn 9636 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
2019a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  RR  e.  { RR ,  CC } )
2112rpcnd 11350 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  x )  e.  CC )
22 2rp 11314 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR+
23 rpmulcl 11331 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  ( sqr `  x )  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( sqr `  x
) )  e.  RR+ )
2422, 12, 23sylancr 670 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( sqr `  x
) )  e.  RR+ )
2524rpreccld 11358 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) )  e.  RR+ )
26 dvsqrt 23694 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  RR+  |->  ( sqr `  x
) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  x ) ) ) )
2726a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  ( sqr `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  / 
( 2  x.  ( sqr `  x ) ) ) ) )
28 2cnd 10689 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  2  e.  CC )
2920, 21, 25, 27, 28dvmptcmul 22930 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  x ) ) ) ) ) )
30 2cnd 10689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  2  e.  CC )
31 1cnd 9664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  CC )
3224rpcnne0d 11357 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  ( sqr `  x ) )  e.  CC  /\  ( 2  x.  ( sqr `  x
) )  =/=  0
) )
33 divass 10295 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
( 2  x.  ( sqr `  x ) )  e.  CC  /\  (
2  x.  ( sqr `  x ) )  =/=  0 ) )  -> 
( ( 2  x.  1 )  /  (
2  x.  ( sqr `  x ) ) )  =  ( 2  x.  ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  x ) ) ) ) )
3430, 31, 32, 33syl3anc 1269 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  1 )  /  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) )  =  ( 2  x.  (
1  /  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) ) )
3512rpcnne0d 11357 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( sqr `  x )  e.  CC  /\  ( sqr `  x )  =/=  0 ) )
36 rpcnne0 11326 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
3722, 36mp1i 13 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
38 divcan5 10316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( sqr `  x
)  e.  CC  /\  ( sqr `  x )  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( (
2  x.  1 )  /  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) )
3931, 35, 37, 38syl3anc 1269 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  1 )  /  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) )
4034, 39eqtr3d 2489 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( 1  / 
( 2  x.  ( sqr `  x ) ) ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) )
4140mpteq2dva 4492 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  (
1  /  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  ( sqr `  x
) ) ) )
4229, 41eqtrd 2487 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  / 
( sqr `  x
) ) ) )
43 fveq2 5870 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  ( sqr `  x )  =  ( sqr `  n
) )
4443oveq2d 6311 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
1  /  ( sqr `  x ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  n ) ) )
45 simp3r 1038 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  x  <_  n
)
46 simp2l 1035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  x  e.  RR+ )
4746rprege0d 11355 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
48 simp2r 1036 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  n  e.  RR+ )
4948rprege0d 11355 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  ( n  e.  RR  /\  0  <_  n ) )
50 sqrtle 13336 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  ( n  e.  RR  /\  0  <_  n )
)  ->  ( x  <_  n  <->  ( sqr `  x
)  <_  ( sqr `  n ) ) )
5147, 49, 50syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  ( x  <_  n 
<->  ( sqr `  x
)  <_  ( sqr `  n ) ) )
5245, 51mpbid 214 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  ( sqr `  x
)  <_  ( sqr `  n ) )
5346rpsqrtcld 13485 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  ( sqr `  x
)  e.  RR+ )
5448rpsqrtcld 13485 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  ( sqr `  n
)  e.  RR+ )
5553, 54lerecd 11367 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  ( ( sqr `  x )  <_  ( sqr `  n )  <->  ( 1  /  ( sqr `  n
) )  <_  (
1  /  ( sqr `  x ) ) ) )
5652, 55mpbid 214 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  ( 1  / 
( sqr `  n
) )  <_  (
1  /  ( sqr `  x ) ) )
57 divsqrtsum.2 . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  n ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )
58 sqrtlim 23910 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  ( sqr `  x
) ) )  ~~> r  0
5958a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) )  ~~> r  0 )
60 fveq2 5870 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( sqr `  x )  =  ( sqr `  A
) )
6160oveq2d 6311 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
1  /  ( sqr `  x ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  A ) ) )
622, 3, 4, 5, 9, 5, 15, 16, 18, 42, 44, 56, 57, 59, 61dvfsumrlim3 22997 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( F : RR+ --> RR 
/\  F  e.  dom  ~~> r  /\  ( ( F  ~~> r  L  /\  A  e.  RR+  /\  0  <_  A )  ->  ( abs `  ( ( F `
 A )  -  L ) )  <_ 
( 1  /  ( sqr `  A ) ) ) ) )
6362simp1d 1021 . . 3  |-  ( T. 
->  F : RR+ --> RR )
6463trud 1455 . 2  |-  F : RR+
--> RR
6562simp2d 1022 . . 3  |-  ( T. 
->  F  e.  dom  ~~> r  )
6665trud 1455 . 2  |-  F  e. 
dom 
~~> r
67 rpge0 11321 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  0  <_  A )
6867adantl 468 . . 3  |-  ( ( F  ~~> r  L  /\  A  e.  RR+ )  -> 
0  <_  A )
6962simp3d 1023 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( ( F  ~~> r  L  /\  A  e.  RR+  /\  0  <_  A )  ->  ( abs `  ( ( F `
 A )  -  L ) )  <_ 
( 1  /  ( sqr `  A ) ) ) )
7069trud 1455 . . 3  |-  ( ( F  ~~> r  L  /\  A  e.  RR+  /\  0  <_  A )  ->  ( abs `  ( ( F `
 A )  -  L ) )  <_ 
( 1  /  ( sqr `  A ) ) )
7168, 70mpd3an3 1367 . 2  |-  ( ( F  ~~> r  L  /\  A  e.  RR+ )  -> 
( abs `  (
( F `  A
)  -  L ) )  <_  ( 1  /  ( sqr `  A
) ) )
7264, 66, 713pm3.2i 1187 1  |-  ( F : RR+ --> RR  /\  F  e.  dom  ~~> r  /\  (
( F  ~~> r  L  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( F `  A
)  -  L ) )  <_  ( 1  /  ( sqr `  A
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446   T. wtru 1447    e. wcel 1889    =/= wne 2624   {cpr 3972   class class class wbr 4405    |-> cmpt 4464   dom cdm 4837   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   CCcc 9542   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545    + caddc 9547    x. cmul 9549   +oocpnf 9677    <_ cle 9681    - cmin 9865    / cdiv 10276   NNcn 10616   2c2 10666   RR+crp 11309   (,)cioo 11642   ...cfz 11791   |_cfl 12033   sqrcsqrt 13308   abscabs 13309    ~~> r crli 13561   sum_csu 13764    _D cdv 22830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-mod 12104  df-seq 12221  df-exp 12280  df-fac 12467  df-bc 12495  df-hash 12523  df-shft 13142  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-limsup 13538  df-clim 13564  df-rlim 13565  df-sum 13765  df-ef 14133  df-sin 14135  df-cos 14136  df-pi 14138  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-rest 15333  df-topn 15334  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-topgen 15354  df-pt 15355  df-prds 15358  df-xrs 15412  df-qtop 15418  df-imas 15419  df-xps 15422  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-mulg 16688  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-fbas 18979  df-fg 18980  df-cnfld 18983  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-nei 20126  df-lp 20164  df-perf 20165  df-cn 20255  df-cnp 20256  df-haus 20343  df-cmp 20414  df-tx 20589  df-hmeo 20782  df-fil 20873  df-fm 20965  df-flim 20966  df-flf 20967  df-xms 21347  df-ms 21348  df-tms 21349  df-cncf 21922  df-limc 22833  df-dv 22834  df-log 23518  df-cxp 23519
This theorem is referenced by:  divsqrsumf  23918  divsqrsum  23919  divsqrtsum2  23920
  Copyright terms: Public domain W3C validator