MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsqrtsumlem Structured version   Unicode version

Theorem divsqrtsumlem 23526
Description: Lemma for divsqrsum 23528 and divsqrtsum2 23529. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
divsqrtsum.2  |-  F  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  n ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
divsqrtsumlem  |-  ( F : RR+ --> RR  /\  F  e.  dom  ~~> r  /\  (
( F  ~~> r  L  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( F `  A
)  -  L ) )  <_  ( 1  /  ( sqr `  A
) ) ) )
Distinct variable group:    x, n, A
Allowed substitution hints:    F( x, n)    L( x, n)

Proof of Theorem divsqrtsumlem
StepHypRef Expression
1 ioorp 11627 . . . . . 6  |-  ( 0 (,) +oo )  = 
RR+
21eqcomi 2470 . . . . 5  |-  RR+  =  ( 0 (,) +oo )
3 nnuz 11141 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
4 1zzd 10916 . . . . 5  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
5 0red 9614 . . . . 5  |-  ( T. 
->  0  e.  RR )
6 1re 9612 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
7 0nn0 10831 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
86, 7nn0addge2i 10866 . . . . . 6  |-  1  <_  ( 0  +  1 )
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  1  <_  ( 0  +  1 ) )
10 2re 10626 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
11 rpsqrtcl 13201 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sqr `  x )  e.  RR+ )
1211adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR+ )
1312rpred 11281 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR )
14 remulcl 9594 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( sqr `  x )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( sqr `  x ) )  e.  RR )
1510, 13, 14sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( sqr `  x
) )  e.  RR )
1612rprecred 11292 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  ( sqr `  x
) )  e.  RR )
17 nnrp 11254 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR+ )
1817, 16sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  NN )  ->  (
1  /  ( sqr `  x ) )  e.  RR )
19 reelprrecn 9601 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
2019a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  RR  e.  { RR ,  CC } )
2112rpcnd 11283 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  x )  e.  CC )
22 2rp 11250 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR+
23 rpmulcl 11266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  ( sqr `  x )  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( sqr `  x
) )  e.  RR+ )
2422, 12, 23sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( sqr `  x
) )  e.  RR+ )
2524rpreccld 11291 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) )  e.  RR+ )
26 dvsqrt 23335 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  RR+  |->  ( sqr `  x
) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  x ) ) ) )
2726a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  ( sqr `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  / 
( 2  x.  ( sqr `  x ) ) ) ) )
28 2cnd 10629 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  2  e.  CC )
2920, 21, 25, 27, 28dvmptcmul 22584 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  x ) ) ) ) ) )
30 2cnd 10629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  2  e.  CC )
31 1cnd 9629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  CC )
3224rpcnne0d 11290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  ( sqr `  x ) )  e.  CC  /\  ( 2  x.  ( sqr `  x
) )  =/=  0
) )
33 divass 10246 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
( 2  x.  ( sqr `  x ) )  e.  CC  /\  (
2  x.  ( sqr `  x ) )  =/=  0 ) )  -> 
( ( 2  x.  1 )  /  (
2  x.  ( sqr `  x ) ) )  =  ( 2  x.  ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  x ) ) ) ) )
3430, 31, 32, 33syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  1 )  /  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) )  =  ( 2  x.  (
1  /  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) ) )
3512rpcnne0d 11290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( sqr `  x )  e.  CC  /\  ( sqr `  x )  =/=  0 ) )
36 rpcnne0 11262 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
3722, 36mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
38 divcan5 10267 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( sqr `  x
)  e.  CC  /\  ( sqr `  x )  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( (
2  x.  1 )  /  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) )
3931, 35, 37, 38syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  1 )  /  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) )
4034, 39eqtr3d 2500 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( 1  / 
( 2  x.  ( sqr `  x ) ) ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) )
4140mpteq2dva 4543 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  (
1  /  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  ( sqr `  x
) ) ) )
4229, 41eqtrd 2498 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  / 
( sqr `  x
) ) ) )
43 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  ( sqr `  x )  =  ( sqr `  n
) )
4443oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
1  /  ( sqr `  x ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  n ) ) )
45 simp3r 1025 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  x  <_  n
)
46 simp2l 1022 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  x  e.  RR+ )
4746rprege0d 11288 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
48 simp2r 1023 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  n  e.  RR+ )
4948rprege0d 11288 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  ( n  e.  RR  /\  0  <_  n ) )
50 sqrtle 13197 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  ( n  e.  RR  /\  0  <_  n )
)  ->  ( x  <_  n  <->  ( sqr `  x
)  <_  ( sqr `  n ) ) )
5147, 49, 50syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  ( x  <_  n 
<->  ( sqr `  x
)  <_  ( sqr `  n ) ) )
5245, 51mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  ( sqr `  x
)  <_  ( sqr `  n ) )
5346rpsqrtcld 13346 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  ( sqr `  x
)  e.  RR+ )
5448rpsqrtcld 13346 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  ( sqr `  n
)  e.  RR+ )
5553, 54lerecd 11300 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  ( ( sqr `  x )  <_  ( sqr `  n )  <->  ( 1  /  ( sqr `  n
) )  <_  (
1  /  ( sqr `  x ) ) ) )
5652, 55mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  ( 1  / 
( sqr `  n
) )  <_  (
1  /  ( sqr `  x ) ) )
57 divsqrtsum.2 . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  n ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )
58 sqrtlim 23519 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  ( sqr `  x
) ) )  ~~> r  0
5958a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) )  ~~> r  0 )
60 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( sqr `  x )  =  ( sqr `  A
) )
6160oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
1  /  ( sqr `  x ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  A ) ) )
622, 3, 4, 5, 9, 5, 15, 16, 18, 42, 44, 56, 57, 59, 61dvfsumrlim3 22651 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( F : RR+ --> RR 
/\  F  e.  dom  ~~> r  /\  ( ( F  ~~> r  L  /\  A  e.  RR+  /\  0  <_  A )  ->  ( abs `  ( ( F `
 A )  -  L ) )  <_ 
( 1  /  ( sqr `  A ) ) ) ) )
6362simp1d 1008 . . 3  |-  ( T. 
->  F : RR+ --> RR )
6463trud 1404 . 2  |-  F : RR+
--> RR
6562simp2d 1009 . . 3  |-  ( T. 
->  F  e.  dom  ~~> r  )
6665trud 1404 . 2  |-  F  e. 
dom 
~~> r
67 rpge0 11257 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  0  <_  A )
6867adantl 466 . . 3  |-  ( ( F  ~~> r  L  /\  A  e.  RR+ )  -> 
0  <_  A )
6962simp3d 1010 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( ( F  ~~> r  L  /\  A  e.  RR+  /\  0  <_  A )  ->  ( abs `  ( ( F `
 A )  -  L ) )  <_ 
( 1  /  ( sqr `  A ) ) ) )
7069trud 1404 . . 3  |-  ( ( F  ~~> r  L  /\  A  e.  RR+  /\  0  <_  A )  ->  ( abs `  ( ( F `
 A )  -  L ) )  <_ 
( 1  /  ( sqr `  A ) ) )
7168, 70mpd3an3 1325 . 2  |-  ( ( F  ~~> r  L  /\  A  e.  RR+ )  -> 
( abs `  (
( F `  A
)  -  L ) )  <_  ( 1  /  ( sqr `  A
) ) )
7264, 66, 713pm3.2i 1174 1  |-  ( F : RR+ --> RR  /\  F  e.  dom  ~~> r  /\  (
( F  ~~> r  L  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( F `  A
)  -  L ) )  <_  ( 1  /  ( sqr `  A
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   T. wtru 1396    e. wcel 1819    =/= wne 2652   {cpr 4034   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514   +oocpnf 9642    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   RR+crp 11245   (,)cioo 11554   ...cfz 11697   |_cfl 11930   sqrcsqrt 13169   abscabs 13170    ~~> r crli 13411   sum_csu 13611    _D cdv 22484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 13003  df-cj 13035  df-re 13036  df-im 13037  df-sqrt 13171  df-abs 13172  df-limsup 13397  df-clim 13414  df-rlim 13415  df-sum 13612  df-ef 13906  df-sin 13908  df-cos 13909  df-pi 13911  df-struct 14737  df-ndx 14738  df-slot 14739  df-base 14740  df-sets 14741  df-ress 14742  df-plusg 14816  df-mulr 14817  df-starv 14818  df-sca 14819  df-vsca 14820  df-ip 14821  df-tset 14822  df-ple 14823  df-ds 14825  df-unif 14826  df-hom 14827  df-cco 14828  df-rest 14931  df-topn 14932  df-0g 14950  df-gsum 14951  df-topgen 14952  df-pt 14953  df-prds 14956  df-xrs 15010  df-qtop 15015  df-imas 15016  df-xps 15018  df-mre 15094  df-mrc 15095  df-acs 15097  df-mgm 16090  df-sgrp 16129  df-mnd 16139  df-submnd 16185  df-mulg 16278  df-cntz 16573  df-cmn 17018  df-psmet 18629  df-xmet 18630  df-met 18631  df-bl 18632  df-mopn 18633  df-fbas 18634  df-fg 18635  df-cnfld 18639  df-top 19617  df-bases 19619  df-topon 19620  df-topsp 19621  df-cld 19738  df-ntr 19739  df-cls 19740  df-nei 19817  df-lp 19855  df-perf 19856  df-cn 19946  df-cnp 19947  df-haus 20034  df-cmp 20105  df-tx 20280  df-hmeo 20473  df-fil 20564  df-fm 20656  df-flim 20657  df-flf 20658  df-xms 21040  df-ms 21041  df-tms 21042  df-cncf 21599  df-limc 22487  df-dv 22488  df-log 23161  df-cxp 23162
This theorem is referenced by:  divsqrsumf  23527  divsqrsum  23528  divsqrtsum2  23529
  Copyright terms: Public domain W3C validator