MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsqrsumo1 Structured version   Unicode version

Theorem divsqrsumo1 22479
Description: The sum  sum_ n  <_  x ( 1  /  sqr n ) has the asymptotic expansion  2 sqr x  +  L  +  O
( 1  /  sqr x ), for some  L. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
divsqrsum.2  |-  F  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  n ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )
divsqrsum2.1  |-  ( ph  ->  F  ~~> r  L )
Assertion
Ref Expression
divsqrsumo1  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR+  |->  ( ( ( F `
 y )  -  L )  x.  ( sqr `  y ) ) )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    x, y, n    y, F    y, L    y, n, ph
Allowed substitution hints:    ph( x)    F( x, n)    L( x, n)

Proof of Theorem divsqrsumo1
StepHypRef Expression
1 rpssre 11088 . . 3  |-  RR+  C_  RR
21a1i 11 . 2  |-  ( ph  -> 
RR+  C_  RR )
3 divsqrsum.2 . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  n ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )
43divsqrsumf 22476 . . . . . 6  |-  F : RR+
--> RR
54ffvelrni 5927 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( F `
 y )  e.  RR )
6 rpsup 11792 . . . . . . 7  |-  sup ( RR+ ,  RR* ,  <  )  = +oo
76a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  sup ( RR+ ,  RR* ,  <  )  = +oo )
84a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : RR+ --> RR )
98feqmptd 5829 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  RR+  |->  ( F `
 y ) ) )
10 divsqrsum2.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  ~~> r  L )
119, 10eqbrtrrd 4398 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR+  |->  ( F `  y ) )  ~~> r  L )
125adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
137, 11, 12rlimrecl 13146 . . . . 5  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
14 resubcl 9760 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( ( F `  y )  -  L
)  e.  RR )
155, 13, 14syl2anr 478 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( ( F `  y )  -  L )  e.  RR )
1615recnd 9499 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( ( F `  y )  -  L )  e.  CC )
17 rpsqrcl 12842 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( sqr `  y )  e.  RR+ )
1817adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  y )  e.  RR+ )
1918rpcnd 11116 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  y )  e.  CC )
2016, 19mulcld 9493 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( (
( F `  y
)  -  L )  x.  ( sqr `  y
) )  e.  CC )
21 1red 9488 . 2  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
2216, 19absmuld 13028 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( ( F `
 y )  -  L )  x.  ( sqr `  y ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( F `  y )  -  L ) )  x.  ( abs `  ( sqr `  y ) ) ) )
2318rprege0d 11121 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( ( sqr `  y )  e.  RR  /\  0  <_ 
( sqr `  y
) ) )
24 absid 12873 . . . . . . 7  |-  ( ( ( sqr `  y
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  y
) )  ->  ( abs `  ( sqr `  y
) )  =  ( sqr `  y ) )
2523, 24syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( sqr `  y
) )  =  ( sqr `  y ) )
2625oveq2d 6192 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 y )  -  L ) )  x.  ( abs `  ( sqr `  y ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( F `  y )  -  L ) )  x.  ( sqr `  y
) ) )
2722, 26eqtrd 2490 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( ( F `
 y )  -  L )  x.  ( sqr `  y ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( F `  y )  -  L ) )  x.  ( sqr `  y
) ) )
283, 10divsqrsum2 22478 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  L
) )  <_  (
1  /  ( sqr `  y ) ) )
2916abscld 13010 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  L
) )  e.  RR )
30 1red 9488 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  1  e.  RR )
3129, 30, 18lemuldivd 11159 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( (
( abs `  (
( F `  y
)  -  L ) )  x.  ( sqr `  y ) )  <_ 
1  <->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  L ) )  <_  ( 1  /  ( sqr `  y
) ) ) )
3228, 31mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 y )  -  L ) )  x.  ( sqr `  y
) )  <_  1
)
3327, 32eqbrtrd 4396 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( ( F `
 y )  -  L )  x.  ( sqr `  y ) ) )  <_  1 )
3433adantrr 716 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  1  <_ 
y ) )  -> 
( abs `  (
( ( F `  y )  -  L
)  x.  ( sqr `  y ) ) )  <_  1 )
352, 20, 21, 21, 34elo1d 13102 1  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR+  |->  ( ( ( F `
 y )  -  L )  x.  ( sqr `  y ) ) )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1757    C_ wss 3412   class class class wbr 4376    |-> cmpt 4434   -->wf 5498   ` cfv 5502  (class class class)co 6176   supcsup 7777   RRcr 9368   0cc0 9369   1c1 9370    x. cmul 9374   +oocpnf 9502   RR*cxr 9504    < clt 9505    <_ cle 9506    - cmin 9682    / cdiv 10080   2c2 10458   RR+crp 11078   ...cfz 11524   |_cfl 11727   sqrcsqr 12810   abscabs 12811    ~~> r crli 13051   O(1)co1 13052   sum_csu 13251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-inf2 7934  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446  ax-pre-sup 9447  ax-addf 9448  ax-mulf 9449
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-iin 4258  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-se 4764  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-isom 5511  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-of 6406  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-supp 6777  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-2o 7007  df-oadd 7010  df-er 7187  df-map 7302  df-pm 7303  df-ixp 7350  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-fsupp 7708  df-fi 7748  df-sup 7778  df-oi 7811  df-card 8196  df-cda 8424  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-div 10081  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-4 10469  df-5 10470  df-6 10471  df-7 10472  df-8 10473  df-9 10474  df-10 10475  df-n0 10667  df-z 10734  df-dec 10843  df-uz 10949  df-q 11041  df-rp 11079  df-xneg 11176  df-xadd 11177  df-xmul 11178  df-ioo 11391  df-ioc 11392  df-ico 11393  df-icc 11394  df-fz 11525  df-fzo 11636  df-fl 11729  df-mod 11796  df-seq 11894  df-exp 11953  df-fac 12139  df-bc 12166  df-hash 12191  df-shft 12644  df-cj 12676  df-re 12677  df-im 12678  df-sqr 12812  df-abs 12813  df-limsup 13037  df-clim 13054  df-rlim 13055  df-o1 13056  df-lo1 13057  df-sum 13252  df-ef 13441  df-sin 13443  df-cos 13444  df-pi 13446  df-struct 14264  df-ndx 14265  df-slot 14266  df-base 14267  df-sets 14268  df-ress 14269  df-plusg 14339  df-mulr 14340  df-starv 14341  df-sca 14342  df-vsca 14343  df-ip 14344  df-tset 14345  df-ple 14346  df-ds 14348  df-unif 14349  df-hom 14350  df-cco 14351  df-rest 14449  df-topn 14450  df-0g 14468  df-gsum 14469  df-topgen 14470  df-pt 14471  df-prds 14474  df-xrs 14528  df-qtop 14533  df-imas 14534  df-xps 14536  df-mre 14612  df-mrc 14613  df-acs 14615  df-mnd 15503  df-submnd 15553  df-mulg 15636  df-cntz 15923  df-cmn 16369  df-psmet 17904  df-xmet 17905  df-met 17906  df-bl 17907  df-mopn 17908  df-fbas 17909  df-fg 17910  df-cnfld 17914  df-top 18605  df-bases 18607  df-topon 18608  df-topsp 18609  df-cld 18725  df-ntr 18726  df-cls 18727  df-nei 18804  df-lp 18842  df-perf 18843  df-cn 18933  df-cnp 18934  df-haus 19021  df-cmp 19092  df-tx 19237  df-hmeo 19430  df-fil 19521  df-fm 19613  df-flim 19614  df-flf 19615  df-xms 19997  df-ms 19998  df-tms 19999  df-cncf 20556  df-limc 21443  df-dv 21444  df-log 22110  df-cxp 22111
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator