MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsqrsumlem Structured version   Unicode version

Theorem divsqrsumlem 22509
Description: Lemma for divsqrsum 22511 and divsqrsum2 22512. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
divsqrsum.2  |-  F  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  n ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
divsqrsumlem  |-  ( F : RR+ --> RR  /\  F  e.  dom  ~~> r  /\  (
( F  ~~> r  L  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( F `  A
)  -  L ) )  <_  ( 1  /  ( sqr `  A
) ) ) )
Distinct variable group:    x, n, A
Allowed substitution hints:    F( x, n)    L( x, n)

Proof of Theorem divsqrsumlem
StepHypRef Expression
1 ioorp 11487 . . . . . 6  |-  ( 0 (,) +oo )  = 
RR+
21eqcomi 2467 . . . . 5  |-  RR+  =  ( 0 (,) +oo )
3 nnuz 11010 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
4 1zzd 10791 . . . . 5  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
5 0red 9501 . . . . 5  |-  ( T. 
->  0  e.  RR )
6 1re 9499 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
7 0nn0 10708 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
86, 7nn0addge2i 10743 . . . . . 6  |-  1  <_  ( 0  +  1 )
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  1  <_  ( 0  +  1 ) )
10 2re 10505 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
11 rpsqrcl 12875 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sqr `  x )  e.  RR+ )
1211adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR+ )
1312rpred 11141 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR )
14 remulcl 9481 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( sqr `  x )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( sqr `  x ) )  e.  RR )
1510, 13, 14sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( sqr `  x
) )  e.  RR )
1612rprecred 11152 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  ( sqr `  x
) )  e.  RR )
17 nnrp 11114 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR+ )
1817, 16sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  NN )  ->  (
1  /  ( sqr `  x ) )  e.  RR )
19 reelprrecn 9488 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
2019a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  RR  e.  { RR ,  CC } )
2112rpcnd 11143 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  x )  e.  CC )
22 2rp 11110 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR+
23 rpmulcl 11126 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  ( sqr `  x )  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( sqr `  x
) )  e.  RR+ )
2422, 12, 23sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( sqr `  x
) )  e.  RR+ )
2524rpreccld 11151 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) )  e.  RR+ )
26 dvsqr 22318 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  RR+  |->  ( sqr `  x
) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  x ) ) ) )
2726a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  ( sqr `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  / 
( 2  x.  ( sqr `  x ) ) ) ) )
28 2cnd 10508 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  2  e.  CC )
2920, 21, 25, 27, 28dvmptcmul 21574 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  x ) ) ) ) ) )
30 2cnd 10508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  2  e.  CC )
31 1cnd 9516 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  CC )
3224rpcnne0d 11150 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  ( sqr `  x ) )  e.  CC  /\  ( 2  x.  ( sqr `  x
) )  =/=  0
) )
33 divass 10126 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
( 2  x.  ( sqr `  x ) )  e.  CC  /\  (
2  x.  ( sqr `  x ) )  =/=  0 ) )  -> 
( ( 2  x.  1 )  /  (
2  x.  ( sqr `  x ) ) )  =  ( 2  x.  ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  x ) ) ) ) )
3430, 31, 32, 33syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  1 )  /  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) )  =  ( 2  x.  (
1  /  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) ) )
3512rpcnne0d 11150 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( sqr `  x )  e.  CC  /\  ( sqr `  x )  =/=  0 ) )
36 rpcnne0 11122 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
3722, 36mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
38 divcan5 10147 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( sqr `  x
)  e.  CC  /\  ( sqr `  x )  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( (
2  x.  1 )  /  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) )
3931, 35, 37, 38syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  1 )  /  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) )
4034, 39eqtr3d 2497 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( 1  / 
( 2  x.  ( sqr `  x ) ) ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) )
4140mpteq2dva 4489 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  (
1  /  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  ( sqr `  x
) ) ) )
4229, 41eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  / 
( sqr `  x
) ) ) )
43 fveq2 5802 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  ( sqr `  x )  =  ( sqr `  n
) )
4443oveq2d 6219 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
1  /  ( sqr `  x ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  n ) ) )
45 simp3r 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  x  <_  n
)
46 simp2l 1014 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  x  e.  RR+ )
4746rprege0d 11148 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
48 simp2r 1015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  n  e.  RR+ )
4948rprege0d 11148 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  ( n  e.  RR  /\  0  <_  n ) )
50 sqrle 12871 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  ( n  e.  RR  /\  0  <_  n )
)  ->  ( x  <_  n  <->  ( sqr `  x
)  <_  ( sqr `  n ) ) )
5147, 49, 50syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  ( x  <_  n 
<->  ( sqr `  x
)  <_  ( sqr `  n ) ) )
5245, 51mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  ( sqr `  x
)  <_  ( sqr `  n ) )
5346rpsqrcld 13019 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  ( sqr `  x
)  e.  RR+ )
5448rpsqrcld 13019 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  ( sqr `  n
)  e.  RR+ )
5553, 54lerecd 11160 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  ( ( sqr `  x )  <_  ( sqr `  n )  <->  ( 1  /  ( sqr `  n
) )  <_  (
1  /  ( sqr `  x ) ) ) )
5652, 55mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  ( 1  / 
( sqr `  n
) )  <_  (
1  /  ( sqr `  x ) ) )
57 divsqrsum.2 . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  n ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )
58 sqrlim 22502 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  ( sqr `  x
) ) )  ~~> r  0
5958a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) )  ~~> r  0 )
60 fveq2 5802 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( sqr `  x )  =  ( sqr `  A
) )
6160oveq2d 6219 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
1  /  ( sqr `  x ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  A ) ) )
622, 3, 4, 5, 9, 5, 15, 16, 18, 42, 44, 56, 57, 59, 61dvfsumrlim3 21641 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( F : RR+ --> RR 
/\  F  e.  dom  ~~> r  /\  ( ( F  ~~> r  L  /\  A  e.  RR+  /\  0  <_  A )  ->  ( abs `  ( ( F `
 A )  -  L ) )  <_ 
( 1  /  ( sqr `  A ) ) ) ) )
6362simp1d 1000 . . 3  |-  ( T. 
->  F : RR+ --> RR )
6463trud 1379 . 2  |-  F : RR+
--> RR
6562simp2d 1001 . . 3  |-  ( T. 
->  F  e.  dom  ~~> r  )
6665trud 1379 . 2  |-  F  e. 
dom 
~~> r
67 rpge0 11117 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  0  <_  A )
6867adantl 466 . . 3  |-  ( ( F  ~~> r  L  /\  A  e.  RR+ )  -> 
0  <_  A )
6962simp3d 1002 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( ( F  ~~> r  L  /\  A  e.  RR+  /\  0  <_  A )  ->  ( abs `  ( ( F `
 A )  -  L ) )  <_ 
( 1  /  ( sqr `  A ) ) ) )
7069trud 1379 . . 3  |-  ( ( F  ~~> r  L  /\  A  e.  RR+  /\  0  <_  A )  ->  ( abs `  ( ( F `
 A )  -  L ) )  <_ 
( 1  /  ( sqr `  A ) ) )
7168, 70mpd3an3 1316 . 2  |-  ( ( F  ~~> r  L  /\  A  e.  RR+ )  -> 
( abs `  (
( F `  A
)  -  L ) )  <_  ( 1  /  ( sqr `  A
) ) )
7264, 66, 713pm3.2i 1166 1  |-  ( F : RR+ --> RR  /\  F  e.  dom  ~~> r  /\  (
( F  ~~> r  L  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( F `  A
)  -  L ) )  <_  ( 1  /  ( sqr `  A
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370   T. wtru 1371    e. wcel 1758    =/= wne 2648   {cpr 3990   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461   dom cdm 4951   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   CCcc 9394   RRcr 9395   0cc0 9396   1c1 9397    + caddc 9399    x. cmul 9401   +oocpnf 9529    <_ cle 9533    - cmin 9709    / cdiv 10107   NNcn 10436   2c2 10485   RR+crp 11105   (,)cioo 11414   ...cfz 11557   |_cfl 11760   sqrcsqr 12843   abscabs 12844    ~~> r crli 13084   sum_csu 13284    _D cdv 21474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474  ax-addf 9475  ax-mulf 9476
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-fi 7775  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-q 11068  df-rp 11106  df-xneg 11203  df-xadd 11204  df-xmul 11205  df-ioo 11418  df-ioc 11419  df-ico 11420  df-icc 11421  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-fl 11762  df-mod 11829  df-seq 11927  df-exp 11986  df-fac 12172  df-bc 12199  df-hash 12224  df-shft 12677  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-limsup 13070  df-clim 13087  df-rlim 13088  df-sum 13285  df-ef 13474  df-sin 13476  df-cos 13477  df-pi 13479  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-starv 14375  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-unif 14383  df-hom 14384  df-cco 14385  df-rest 14483  df-topn 14484  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-topgen 14504  df-pt 14505  df-prds 14508  df-xrs 14562  df-qtop 14567  df-imas 14568  df-xps 14570  df-mre 14646  df-mrc 14647  df-acs 14649  df-mnd 15537  df-submnd 15587  df-mulg 15670  df-cntz 15957  df-cmn 16403  df-psmet 17937  df-xmet 17938  df-met 17939  df-bl 17940  df-mopn 17941  df-fbas 17942  df-fg 17943  df-cnfld 17947  df-top 18638  df-bases 18640  df-topon 18641  df-topsp 18642  df-cld 18758  df-ntr 18759  df-cls 18760  df-nei 18837  df-lp 18875  df-perf 18876  df-cn 18966  df-cnp 18967  df-haus 19054  df-cmp 19125  df-tx 19270  df-hmeo 19463  df-fil 19554  df-fm 19646  df-flim 19647  df-flf 19648  df-xms 20030  df-ms 20031  df-tms 20032  df-cncf 20589  df-limc 21477  df-dv 21478  df-log 22144  df-cxp 22145
This theorem is referenced by:  divsqrsumf  22510  divsqrsum  22511  divsqrsum2  22512
  Copyright terms: Public domain W3C validator