MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsaddval Structured version   Unicode version

Theorem divsaddval 14602
Description: The base set of an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
divsaddf.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( R 
/.s  .~  ) )
divsaddf.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
divsaddf.r  |-  ( ph  ->  .~  Er  V )
divsaddf.z  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
divsaddf.e  |-  ( ph  ->  ( ( a  .~  p  /\  b  .~  q
)  ->  ( a  .x.  b )  .~  (
p  .x.  q )
) )
divsaddf.c  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( p  .x.  q
)  e.  V )
divsaddf.p  |-  .x.  =  ( +g  `  R )
divsaddf.a  |-  .xb  =  ( +g  `  U )
Assertion
Ref Expression
divsaddval  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V
)  ->  ( [ X ]  .~  .xb  [ Y ]  .~  )  =  [
( X  .x.  Y
) ]  .~  )
Distinct variable groups:    a, b, p, q,  .~    ph, a,
b, p, q    V, a, b, p, q    R, p, q    .x. , p, q    X, p, q    .xb , a,
b, p, q    Y, p, q
Allowed substitution hints:    R( a, b)    .x. ( a, b)    U( q, p, a, b)    X( a, b)    Y( a, b)    Z( q, p, a, b)

Proof of Theorem divsaddval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divsaddf.u . 2  |-  ( ph  ->  U  =  ( R 
/.s  .~  ) )
2 divsaddf.v . 2  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
3 divsaddf.r . 2  |-  ( ph  ->  .~  Er  V )
4 divsaddf.z . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
5 divsaddf.e . 2  |-  ( ph  ->  ( ( a  .~  p  /\  b  .~  q
)  ->  ( a  .x.  b )  .~  (
p  .x.  q )
) )
6 divsaddf.c . 2  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( p  .x.  q
)  e.  V )
7 eqid 2451 . 2  |-  ( x  e.  V  |->  [ x ]  .~  )  =  ( x  e.  V  |->  [ x ]  .~  )
8 fvex 5802 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  e.  _V
92, 8syl6eqel 2547 . . . . 5  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
10 erex 7228 . . . . 5  |-  (  .~  Er  V  ->  ( V  e.  _V  ->  .~  e.  _V ) )
113, 9, 10sylc 60 . . . 4  |-  ( ph  ->  .~  e.  _V )
121, 2, 7, 11, 4divsval 14591 . . 3  |-  ( ph  ->  U  =  ( ( x  e.  V  |->  [ x ]  .~  )  "s  R ) )
131, 2, 7, 11, 4divslem 14592 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  V  |->  [ x ]  .~  ) : V -onto-> ( V /.  .~  ) )
14 divsaddf.p . . 3  |-  .x.  =  ( +g  `  R )
15 divsaddf.a . . 3  |-  .xb  =  ( +g  `  U )
1612, 2, 13, 4, 14, 15imasplusg 14566 . 2  |-  ( ph  -> 
.xb  =  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. (
( x  e.  V  |->  [ x ]  .~  ) `  p ) ,  ( ( x  e.  V  |->  [ x ]  .~  ) `  q
) >. ,  ( ( x  e.  V  |->  [ x ]  .~  ) `  ( p  .x.  q
) ) >. } )
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 16divsaddvallem 14600 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V
)  ->  ( [ X ]  .~  .xb  [ Y ]  .~  )  =  [
( X  .x.  Y
) ]  .~  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3071   class class class wbr 4393    |-> cmpt 4451   ` cfv 5519  (class class class)co 6193    Er wer 7201   [cec 7202   /.cqs 7203   Basecbs 14285   +g cplusg 14349    /.s cqus 14554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-ec 7206  df-qs 7210  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-sup 7795  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-fz 11548  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-imas 14557  df-divs 14558
This theorem is referenced by:  divsadd  15849  frgpadd  16373  pi1addval  20745
  Copyright terms: Public domain W3C validator