MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsaddf Structured version   Unicode version

Theorem divsaddf 14610
Description: The base set of an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
divsaddf.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( R 
/.s  .~  ) )
divsaddf.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
divsaddf.r  |-  ( ph  ->  .~  Er  V )
divsaddf.z  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
divsaddf.e  |-  ( ph  ->  ( ( a  .~  p  /\  b  .~  q
)  ->  ( a  .x.  b )  .~  (
p  .x.  q )
) )
divsaddf.c  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( p  .x.  q
)  e.  V )
divsaddf.p  |-  .x.  =  ( +g  `  R )
divsaddf.a  |-  .xb  =  ( +g  `  U )
Assertion
Ref Expression
divsaddf  |-  ( ph  -> 
.xb  : ( ( V /.  .~  )  X.  ( V /.  .~  ) ) --> ( V /.  .~  ) )
Distinct variable groups:    a, b, p, q,  .~    ph, a,
b, p, q    V, a, b, p, q    R, p, q    .x. , p, q    .xb , a, b, p, q
Allowed substitution hints:    R( a, b)    .x. ( a, b)    U( q, p, a, b)    Z( q, p, a, b)

Proof of Theorem divsaddf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divsaddf.u . 2  |-  ( ph  ->  U  =  ( R 
/.s  .~  ) )
2 divsaddf.v . 2  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
3 divsaddf.r . 2  |-  ( ph  ->  .~  Er  V )
4 divsaddf.z . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
5 divsaddf.e . 2  |-  ( ph  ->  ( ( a  .~  p  /\  b  .~  q
)  ->  ( a  .x.  b )  .~  (
p  .x.  q )
) )
6 divsaddf.c . 2  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( p  .x.  q
)  e.  V )
7 eqid 2454 . 2  |-  ( x  e.  V  |->  [ x ]  .~  )  =  ( x  e.  V  |->  [ x ]  .~  )
8 fvex 5808 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  e.  _V
92, 8syl6eqel 2550 . . . . 5  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
10 erex 7234 . . . . 5  |-  (  .~  Er  V  ->  ( V  e.  _V  ->  .~  e.  _V ) )
113, 9, 10sylc 60 . . . 4  |-  ( ph  ->  .~  e.  _V )
121, 2, 7, 11, 4divsval 14598 . . 3  |-  ( ph  ->  U  =  ( ( x  e.  V  |->  [ x ]  .~  )  "s  R ) )
131, 2, 7, 11, 4divslem 14599 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  V  |->  [ x ]  .~  ) : V -onto-> ( V /.  .~  ) )
14 divsaddf.p . . 3  |-  .x.  =  ( +g  `  R )
15 divsaddf.a . . 3  |-  .xb  =  ( +g  `  U )
1612, 2, 13, 4, 14, 15imasplusg 14573 . 2  |-  ( ph  -> 
.xb  =  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. (
( x  e.  V  |->  [ x ]  .~  ) `  p ) ,  ( ( x  e.  V  |->  [ x ]  .~  ) `  q
) >. ,  ( ( x  e.  V  |->  [ x ]  .~  ) `  ( p  .x.  q
) ) >. } )
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 16divsaddflem 14608 1  |-  ( ph  -> 
.xb  : ( ( V /.  .~  )  X.  ( V /.  .~  ) ) --> ( V /.  .~  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3076   class class class wbr 4399    |-> cmpt 4457    X. cxp 4945   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6199    Er wer 7207   [cec 7208   /.cqs 7209   Basecbs 14291   +g cplusg 14356    /.s cqus 14561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-ec 7212  df-qs 7216  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-sup 7801  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-10 10498  df-n0 10690  df-z 10757  df-dec 10866  df-uz 10972  df-fz 11554  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-sca 14372  df-vsca 14373  df-ip 14374  df-tset 14375  df-ple 14376  df-ds 14378  df-imas 14564  df-divs 14565
This theorem is referenced by:  pi1addf  20750
  Copyright terms: Public domain W3C validator