MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divs1 Structured version   Unicode version

Theorem divs1 17322
Description: The multiplicative identity of the quotient ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
divsrng.u  |-  U  =  ( R  /.s  ( R ~QG  S
) )
divsrng.i  |-  I  =  (2Ideal `  R )
divs1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
divs1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  ( U  e.  Ring  /\  [  .1.  ] ( R ~QG  S )  =  ( 1r `  U ) ) )

Proof of Theorem divs1
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divsrng.u . . 3  |-  U  =  ( R  /.s  ( R ~QG  S
) )
21a1i 11 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  U  =  ( R  /.s  ( R ~QG  S ) ) )
3 eqid 2443 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
43a1i 11 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  R
) )
5 eqid 2443 . 2  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
6 eqid 2443 . 2  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
7 divs1.o . 2  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
8 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  (LIdeal `  R )  =  (LIdeal `  R )
9 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  (oppr `  R
)  =  (oppr `  R
)
10 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  (LIdeal `  (oppr `  R ) )  =  (LIdeal `  (oppr
`  R ) )
11 divsrng.i . . . . . . 7  |-  I  =  (2Ideal `  R )
128, 9, 10, 112idlval 17320 . . . . . 6  |-  I  =  ( (LIdeal `  R
)  i^i  (LIdeal `  (oppr `  R
) ) )
1312elin2 3546 . . . . 5  |-  ( S  e.  I  <->  ( S  e.  (LIdeal `  R )  /\  S  e.  (LIdeal `  (oppr
`  R ) ) ) )
1413simplbi 460 . . . 4  |-  ( S  e.  I  ->  S  e.  (LIdeal `  R )
)
158lidlsubg 17302 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  (LIdeal `  R )
)  ->  S  e.  (SubGrp `  R ) )
1614, 15sylan2 474 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  S  e.  (SubGrp `  R )
)
17 eqid 2443 . . . 4  |-  ( R ~QG  S )  =  ( R ~QG  S )
183, 17eqger 15736 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  R
)  ->  ( R ~QG  S
)  Er  ( Base `  R ) )
1916, 18syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  ( R ~QG  S )  Er  ( Base `  R ) )
20 rngabl 16679 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Abel )
2120adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  R  e.  Abel )
22 ablnsg 16334 . . . . 5  |-  ( R  e.  Abel  ->  (NrmSGrp `  R
)  =  (SubGrp `  R ) )
2321, 22syl 16 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  (NrmSGrp `  R )  =  (SubGrp `  R ) )
2416, 23eleqtrrd 2520 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  S  e.  (NrmSGrp `  R )
)
253, 17, 5eqgcpbl 15740 . . 3  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  R
)  ->  ( (
a ( R ~QG  S ) c  /\  b ( R ~QG  S ) d )  ->  ( a ( +g  `  R ) b ) ( R ~QG  S ) ( c ( +g  `  R ) d ) ) )
2624, 25syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  (
( a ( R ~QG  S ) c  /\  b
( R ~QG  S ) d )  ->  ( a ( +g  `  R ) b ) ( R ~QG  S ) ( c ( +g  `  R ) d ) ) )
273, 17, 11, 62idlcpbl 17321 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  (
( a ( R ~QG  S ) c  /\  b
( R ~QG  S ) d )  ->  ( a ( .r `  R ) b ) ( R ~QG  S ) ( c ( .r `  R ) d ) ) )
28 simpl 457 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  R  e.  Ring )
292, 4, 5, 6, 7, 19, 26, 27, 28divsrng2 16717 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  ( U  e.  Ring  /\  [  .1.  ] ( R ~QG  S )  =  ( 1r `  U ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4297   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    Er wer 7103   [cec 7104   Basecbs 14179   +g cplusg 14243   .rcmulr 14244    /.s cqus 14448  SubGrpcsubg 15680  NrmSGrpcnsg 15681   ~QG cqg 15682   Abelcabel 16283   1rcur 16608   Ringcrg 16650  opprcoppr 16719  LIdealclidl 17256  2Idealc2idl 17318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-tpos 6750  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-ec 7108  df-qs 7112  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-fz 11443  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-0g 14385  df-imas 14451  df-divs 14452  df-mnd 15420  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-sbg 15552  df-subg 15683  df-nsg 15684  df-eqg 15685  df-cmn 16284  df-abl 16285  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-oppr 16720  df-subrg 16868  df-lmod 16955  df-lss 17019  df-sra 17258  df-rgmod 17259  df-lidl 17260  df-2idl 17319
This theorem is referenced by:  divsrng  17323  divsrhm  17324
  Copyright terms: Public domain W3C validator