Theorem divrngidlemNEW 17165

Description: Lemma for divrngidNEW 17166.

Hypotheses

Ref	Expression
divrngid.1NEW	|- B = (base` R)
divrngid.3NEW	|- T = (.r` R)
divrngid.4NEW	|- Z = (0g` R)
divrngid.5NEW	|- U = (1rNEW` R)
divrngid.6NEW	|- G = {<.1, (B \ {Z})>., <.2, T>.}

Assertion

Ref	Expression
divrngidlemNEW	|- (R e. DivRingNEW -> U =/= Z)

Proof of Theorem divrngidlemNEW

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divrngid.1NEW	. . . . . 6 |- B = (base` R)
2		divrngid.3NEW	. . . . . 6 |- T = (.r` R)
3		divrngid.4NEW	. . . . . 6 |- Z = (0g` R)
4		divrngid.6NEW	. . . . . 6 |- G = {<.1, (B \ {Z})>., <.2, T>.}
5	1, 2, 3, 4	isdivrngNEW 17160	. . . . 5 |- (R e. DivRingNEW <-> (R e. RingNEW /\ G e. GrpNEW))
6		simpr 350	. . . . 5 |- ((R e. RingNEW /\ G e. GrpNEW) -> G e. GrpNEW)
7	5, 6	sylbi 216	. . . 4 |- (R e. DivRingNEW -> G e. GrpNEW)
8		fvex 4689	. . . . . . . 8 |- (base` R) e. _V
9	1, 8	eqeltri 1967	. . . . . . 7 |- B e. _V
10		difexg 3458	. . . . . . 7 |- (B e. _V -> (B \ {Z}) e. _V)
11	9, 10	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (B \ {Z}) e. _V
12		fvex 4689	. . . . . . 7 |- (.r` R) e. _V
13	2, 12	eqeltri 1967	. . . . . 6 |- T e. _V
14	11, 13, 4	grpbasex 17101	. . . . 5 |- (B \ {Z}) = (base` G)
15		eqid 1884	. . . . 5 |- (0g` G) = (0g` G)
16	14, 15	grpidclNEW 17118	. . . 4 |- (G e. GrpNEW -> (0g` G) e. (B \ {Z}))
17	7, 16	syl 12	. . 3 |- (R e. DivRingNEW -> (0g` G) e. (B \ {Z}))
18		eldifsn 3123	. . . 4 |- ((0g` G) e. (B \ {Z}) <-> ((0g` G) e. B /\ (0g` G) =/= Z))
19		simpr 350	. . . 4 |- (((0g` G) e. B /\ (0g` G) =/= Z) -> (0g` G) =/= Z)
20	18, 19	sylbi 216	. . 3 |- ((0g` G) e. (B \ {Z}) -> (0g` G) =/= Z)
21	17, 20	syl 12	. 2 |- (R e. DivRingNEW -> (0g` G) =/= Z)
22		divrngring 17161	. . . . . . 7 |- (R e. DivRingNEW -> R e. RingNEW)
23	1, 2, 3, 4	divrngmgrpNEW 17163	. . . . . . . 8 |- (R e. DivRingNEW -> G e. GrpNEW)
24		eldifi 2730	. . . . . . . 8 |- ((0g` G) e. (B \ {Z}) -> (0g` G) e. B)
25	23, 16, 24	3syl 24	. . . . . . 7 |- (R e. DivRingNEW -> (0g` G) e. B)
26		divrngid.5NEW	. . . . . . . 8 |- U = (1rNEW` R)
27	1, 2, 26	ringlidmNEW 17154	. . . . . . 7 |- ((R e. RingNEW /\ (0g` G) e. B) -> (UT(0g` G)) = (0g` G))
28	22, 25, 27	syl11anc 524	. . . . . 6 |- (R e. DivRingNEW -> (UT(0g` G)) = (0g` G))
29		opreq1 4889	. . . . . 6 |- (U = Z -> (UT(0g` G)) = (ZT(0g` G)))
30	28, 29	sylan9req 1950	. . . . 5 |- ((R e. DivRingNEW /\ U = Z) -> (0g` G) = (ZT(0g` G)))
31	1, 2, 3	ringlzNEW 17156	. . . . . . 7 |- ((R e. RingNEW /\ (0g` G) e. B) -> (ZT(0g` G)) = Z)
32	22, 25, 31	syl11anc 524	. . . . . 6 |- (R e. DivRingNEW -> (ZT(0g` G)) = Z)
33	32	adantr 425	. . . . 5 |- ((R e. DivRingNEW /\ U = Z) -> (ZT(0g` G)) = Z)
34	30, 33	eqtrd 1925	. . . 4 |- ((R e. DivRingNEW /\ U = Z) -> (0g` G) = Z)
35	34	ex 402	. . 3 |- (R e. DivRingNEW -> (U = Z -> (0g` G) = Z))
36	35	necon3d 2041	. 2 |- (R e. DivRingNEW -> ((0g` G) =/= Z -> U =/= Z))
37	21, 36	mpd 29	1 |- (R e. DivRingNEW -> U =/= Z)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  _Vcvv 2292   \ cdif 2590  {csn 3044  {cpr 3045  <.cop 3046  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  1c1 6387  2c2 7145  basecbs 16758  GrpNEWcgrp 17081  0_gc0g 17082  ._rcmulr 17085  RingNEWcrg 17086  1_rNEWcur 17087  DivRingNEWcdivring 17158

This theorem is referenced by:  divrngidNEW 17166  divrngunzNEW 17167

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-tru 1262  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638  df-struct 16708  df-strbldr 16725  df-base 16768  df-grpNEW 17089  df-0g 17090  df-minusg 17091  df-ablNEW 17092  df-ringNEW 17094  df-ur 17095  df-drngNEW 17159

Copyright terms: Public domain