Theorem divrngidl 32262

Description: The only ideals in a division ring are the zero ideal and the unit ideal. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
divrngidl.1	|- G = ( 1st ` R )
divrngidl.2	|- H = ( 2nd ` R )
divrngidl.3	|- X = ran G
divrngidl.4	|- Z = (GId ` G )

Assertion

Ref	Expression
divrngidl	|- ( R e. DivRingOps -> ( Idl ` R ) = { { Z } , X } )

Proof of Theorem divrngidl

Dummy variables i x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divrngidl.1	. . 3 |- G = ( 1st ` R )
2		divrngidl.2	. . 3 |- H = ( 2nd ` R )
3		divrngidl.4	. . 3 |- Z = (GId ` G )
4		divrngidl.3	. . 3 |- X = ran G
5		eqid 2451	. . 3 |- (GId ` H ) = (GId ` H )
6	1, 2, 3, 4, 5	isdrngo2 32198	. 2 |- ( R e. DivRingOps <-> ( R e. RingOps /\ ( (GId ` H ) =/= Z /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) ) )
7	1, 3	idl0cl 32252	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) -> Z e. i )
8	7	adantr 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> Z e. i )
9		fvex 5857	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (GId ` G ) e. _V
10	3, 9	eqeltri 2525	. . . . . . . . . . . . 13 |- Z e. _V
11	10	snss 4064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Z e. i <-> { Z } C_ i )
12		necom 2676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i =/= { Z } <-> { Z } =/= i )
13		pssdifn0 3794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { Z } C_ i /\ { Z } =/= i ) -> ( i \ { Z } ) =/= (/) )
14		n0 3708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( i \ { Z } ) =/= (/) <-> E. z z e. ( i \ { Z } ) )
15	13, 14	sylib 201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { Z } C_ i /\ { Z } =/= i ) -> E. z z e. ( i \ { Z } ) )
16	11, 12, 15	syl2anb 486	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Z e. i /\ i =/= { Z } ) -> E. z z e. ( i \ { Z } ) )
17	1, 4	idlss 32250	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) -> i C_ X )
18		ssdif 3535	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i C_ X -> ( i \ { Z } ) C_ ( X \ { Z } ) )
19	18	sselda 3399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i C_ X /\ z e. ( i \ { Z } ) ) -> z e. ( X \ { Z } ) )
20	17, 19	sylan 478	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ z e. ( i \ { Z } ) ) -> z e. ( X \ { Z } ) )
21		oveq2 6283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = z -> ( y H x ) = ( y H z ) )
22	21	eqeq1d 2453	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = z -> ( ( y H x ) = (GId ` H ) <-> ( y H z ) = (GId ` H ) ) )
23	22	rexbidv 2872	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = z -> ( E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) <-> E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H z ) = (GId ` H ) ) )
24	23	rspcva 3115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ( X \ { Z } ) /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H z ) = (GId ` H ) )
25	20, 24	sylan 478	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ z e. ( i \ { Z } ) ) /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H z ) = (GId ` H ) )
26		eldifi 3522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. ( i \ { Z } ) -> z e. i )
27		eldifi 3522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. ( X \ { Z } ) -> y e. X )
28	26, 27	anim12i 574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z e. ( i \ { Z } ) /\ y e. ( X \ { Z } ) ) -> ( z e. i /\ y e. X ) )
29	1, 2, 4	idllmulcl 32254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ ( z e. i /\ y e. X ) ) -> ( y H z ) e. i )
30	1, 2, 4, 5	1idl 32260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) -> ( (GId ` H ) e. i <-> i = X ) )
31	30	biimpd 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) -> ( (GId ` H ) e. i -> i = X ) )
32	31	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ ( z e. i /\ y e. X ) ) -> ( (GId ` H ) e. i -> i = X ) )
33		eleq1 2517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y H z ) = (GId ` H ) -> ( ( y H z ) e. i <-> (GId ` H ) e. i ) )
34	33	imbi1d 323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y H z ) = (GId ` H ) -> ( ( ( y H z ) e. i -> i = X ) <-> ( (GId ` H ) e. i -> i = X ) ) )
35	32, 34	syl5ibrcom 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ ( z e. i /\ y e. X ) ) -> ( ( y H z ) = (GId ` H ) -> ( ( y H z ) e. i -> i = X ) ) )
36	29, 35	mpid 42	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ ( z e. i /\ y e. X ) ) -> ( ( y H z ) = (GId ` H ) -> i = X ) )
37	28, 36	sylan2 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ ( z e. ( i \ { Z } ) /\ y e. ( X \ { Z } ) ) ) -> ( ( y H z ) = (GId ` H ) -> i = X ) )
38	37	anassrs 658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ z e. ( i \ { Z } ) ) /\ y e. ( X \ { Z } ) ) -> ( ( y H z ) = (GId ` H ) -> i = X ) )
39	38	rexlimdva 2851	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ z e. ( i \ { Z } ) ) -> ( E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H z ) = (GId ` H ) -> i = X ) )
40	39	imp 435	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ z e. ( i \ { Z } ) ) /\ E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H z ) = (GId ` H ) ) -> i = X )
41	25, 40	syldan 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ z e. ( i \ { Z } ) ) /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> i = X )
42	41	an32s 818	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) /\ z e. ( i \ { Z } ) ) -> i = X )
43	42	ex 440	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> ( z e. ( i \ { Z } ) -> i = X ) )
44	43	exlimdv 1782	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> ( E. z z e. ( i \ { Z } ) -> i = X ) )
45	16, 44	syl5 33	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> ( ( Z e. i /\ i =/= { Z } ) -> i = X ) )
46	8, 45	mpand 686	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> ( i =/= { Z } -> i = X ) )
47	46	an32s 818	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. RingOps /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) /\ i e. ( Idl ` R ) ) -> ( i =/= { Z } -> i = X ) )
48		neor 2714	. . . . . . . 8 |- ( ( i = { Z } \/ i = X ) <-> ( i =/= { Z } -> i = X ) )
49	47, 48	sylibr 217	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. RingOps /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) /\ i e. ( Idl ` R ) ) -> ( i = { Z } \/ i = X ) )
50	49	ex 440	. . . . . 6 |- ( ( R e. RingOps /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> ( i e. ( Idl ` R ) -> ( i = { Z } \/ i = X ) ) )
51	1, 3	0idl 32259	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RingOps -> { Z } e. ( Idl ` R ) )
52		eleq1 2517	. . . . . . . . 9 |- ( i = { Z } -> ( i e. ( Idl ` R ) <-> { Z } e. ( Idl ` R ) ) )
53	51, 52	syl5ibrcom 230	. . . . . . . 8 |- ( R e. RingOps -> ( i = { Z } -> i e. ( Idl ` R ) ) )
54	1, 4	rngoidl 32258	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RingOps -> X e. ( Idl ` R ) )
55		eleq1 2517	. . . . . . . . 9 |- ( i = X -> ( i e. ( Idl ` R ) <-> X e. ( Idl ` R ) ) )
56	54, 55	syl5ibrcom 230	. . . . . . . 8 |- ( R e. RingOps -> ( i = X -> i e. ( Idl ` R ) ) )
57	53, 56	jaod 386	. . . . . . 7 |- ( R e. RingOps -> ( ( i = { Z } \/ i = X ) -> i e. ( Idl ` R ) ) )
58	57	adantr 471	. . . . . 6 |- ( ( R e. RingOps /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> ( ( i = { Z } \/ i = X ) -> i e. ( Idl ` R ) ) )
59	50, 58	impbid 195	. . . . 5 |- ( ( R e. RingOps /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> ( i e. ( Idl ` R ) <-> ( i = { Z } \/ i = X ) ) )
60		vex 3015	. . . . . 6 |- i e. _V
61	60	elpr 3953	. . . . 5 |- ( i e. { { Z } , X } <-> ( i = { Z } \/ i = X ) )
62	59, 61	syl6bbr 271	. . . 4 |- ( ( R e. RingOps /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> ( i e. ( Idl ` R ) <-> i e. { { Z } , X } ) )
63	62	eqrdv 2449	. . 3 |- ( ( R e. RingOps /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> ( Idl ` R ) = { { Z } , X } )
64	63	adantrl 727	. 2 |- ( ( R e. RingOps /\ ( (GId ` H ) =/= Z /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) ) -> ( Idl ` R ) = { { Z } , X } )
65	6, 64	sylbi 200	1 |- ( R e. DivRingOps -> ( Idl ` R ) = { { Z } , X } )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 374   /\ wa 375   = wceq 1447   E.wex 1666   e. wcel 1890   =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   _Vcvv 3012   \ cdif 3368   C_ wss 3371   (/)c0 3698   {csn 3935   {cpr 3937   ran crn 4812   ` cfv 5560  (class class class)co 6275   1stc1st 6778   2ndc2nd 6779  GIdcgi 25926   RingOpscrngo 26114   DivRingOpscdrng 26144   Idlcidl 32241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1672  ax-4 1685  ax-5 1761  ax-6 1808  ax-7 1854  ax-8 1892  ax-9 1899  ax-10 1918  ax-11 1923  ax-12 1936  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4486  ax-sep 4496  ax-nul 4505  ax-pow 4553  ax-pr 4611  ax-un 6570

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1450  df-ex 1667  df-nf 1671  df-sb 1801  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3014  df-sbc 3235  df-csb 3331  df-dif 3374  df-un 3376  df-in 3378  df-ss 3385  df-pss 3387  df-nul 3699  df-if 3849  df-pw 3920  df-sn 3936  df-pr 3938  df-tp 3940  df-op 3942  df-uni 4168  df-iun 4249  df-br 4374  df-opab 4433  df-mpt 4434  df-tr 4469  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4732  df-so 4733  df-fr 4770  df-we 4772  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-ord 5404  df-on 5405  df-lim 5406  df-suc 5407  df-iota 5524  df-fun 5562  df-fn 5563  df-f 5564  df-f1 5565  df-fo 5566  df-f1o 5567  df-fv 5568  df-riota 6237  df-ov 6278  df-om 6680  df-1st 6780  df-2nd 6781  df-1o 7168  df-er 7349  df-en 7556  df-dom 7557  df-sdom 7558  df-fin 7559  df-grpo 25930  df-gid 25931  df-ginv 25932  df-ablo 26021  df-ass 26052  df-exid 26054  df-mgmOLD 26058  df-sgrOLD 26070  df-mndo 26077  df-rngo 26115  df-drngo 26145  df-idl 32244

This theorem is referenced by:  divrngpr  32287  isfldidl  32302