Theorem divrngidl 30393

Description: The only ideals in a division ring are the zero ideal and the unit ideal. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
divrngidl.1	|- G = ( 1st ` R )
divrngidl.2	|- H = ( 2nd ` R )
divrngidl.3	|- X = ran G
divrngidl.4	|- Z = (GId ` G )

Assertion

Ref	Expression
divrngidl	|- ( R e. DivRingOps -> ( Idl ` R ) = { { Z } , X } )

Proof of Theorem divrngidl

Dummy variables i x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divrngidl.1	. . 3 |- G = ( 1st ` R )
2		divrngidl.2	. . 3 |- H = ( 2nd ` R )
3		divrngidl.4	. . 3 |- Z = (GId ` G )
4		divrngidl.3	. . 3 |- X = ran G
5		eqid 2441	. . 3 |- (GId ` H ) = (GId ` H )
6	1, 2, 3, 4, 5	isdrngo2 30329	. 2 |- ( R e. DivRingOps <-> ( R e. RingOps /\ ( (GId ` H ) =/= Z /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) ) )
7	1, 3	idl0cl 30383	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) -> Z e. i )
8	7	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> Z e. i )
9		fvex 5862	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (GId ` G ) e. _V
10	3, 9	eqeltri 2525	. . . . . . . . . . . . 13 |- Z e. _V
11	10	snss 4135	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Z e. i <-> { Z } C_ i )
12		necom 2710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i =/= { Z } <-> { Z } =/= i )
13		pssdifn0 3870	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { Z } C_ i /\ { Z } =/= i ) -> ( i \ { Z } ) =/= (/) )
14		n0 3776	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( i \ { Z } ) =/= (/) <-> E. z z e. ( i \ { Z } ) )
15	13, 14	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { Z } C_ i /\ { Z } =/= i ) -> E. z z e. ( i \ { Z } ) )
16	11, 12, 15	syl2anb 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Z e. i /\ i =/= { Z } ) -> E. z z e. ( i \ { Z } ) )
17	1, 4	idlss 30381	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) -> i C_ X )
18		ssdif 3621	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i C_ X -> ( i \ { Z } ) C_ ( X \ { Z } ) )
19	18	sselda 3486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i C_ X /\ z e. ( i \ { Z } ) ) -> z e. ( X \ { Z } ) )
20	17, 19	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ z e. ( i \ { Z } ) ) -> z e. ( X \ { Z } ) )
21		oveq2 6285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = z -> ( y H x ) = ( y H z ) )
22	21	eqeq1d 2443	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = z -> ( ( y H x ) = (GId ` H ) <-> ( y H z ) = (GId ` H ) ) )
23	22	rexbidv 2952	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = z -> ( E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) <-> E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H z ) = (GId ` H ) ) )
24	23	rspcva 3192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ( X \ { Z } ) /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H z ) = (GId ` H ) )
25	20, 24	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ z e. ( i \ { Z } ) ) /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H z ) = (GId ` H ) )
26		eldifi 3608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. ( i \ { Z } ) -> z e. i )
27		eldifi 3608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. ( X \ { Z } ) -> y e. X )
28	26, 27	anim12i 566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z e. ( i \ { Z } ) /\ y e. ( X \ { Z } ) ) -> ( z e. i /\ y e. X ) )
29	1, 2, 4	idllmulcl 30385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ ( z e. i /\ y e. X ) ) -> ( y H z ) e. i )
30	1, 2, 4, 5	1idl 30391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) -> ( (GId ` H ) e. i <-> i = X ) )
31	30	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) -> ( (GId ` H ) e. i -> i = X ) )
32	31	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ ( z e. i /\ y e. X ) ) -> ( (GId ` H ) e. i -> i = X ) )
33		eleq1 2513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y H z ) = (GId ` H ) -> ( ( y H z ) e. i <-> (GId ` H ) e. i ) )
34	33	imbi1d 317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y H z ) = (GId ` H ) -> ( ( ( y H z ) e. i -> i = X ) <-> ( (GId ` H ) e. i -> i = X ) ) )
35	32, 34	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ ( z e. i /\ y e. X ) ) -> ( ( y H z ) = (GId ` H ) -> ( ( y H z ) e. i -> i = X ) ) )
36	29, 35	mpid 41	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ ( z e. i /\ y e. X ) ) -> ( ( y H z ) = (GId ` H ) -> i = X ) )
37	28, 36	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ ( z e. ( i \ { Z } ) /\ y e. ( X \ { Z } ) ) ) -> ( ( y H z ) = (GId ` H ) -> i = X ) )
38	37	anassrs 648	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ z e. ( i \ { Z } ) ) /\ y e. ( X \ { Z } ) ) -> ( ( y H z ) = (GId ` H ) -> i = X ) )
39	38	rexlimdva 2933	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ z e. ( i \ { Z } ) ) -> ( E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H z ) = (GId ` H ) -> i = X ) )
40	39	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ z e. ( i \ { Z } ) ) /\ E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H z ) = (GId ` H ) ) -> i = X )
41	25, 40	syldan 470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ z e. ( i \ { Z } ) ) /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> i = X )
42	41	an32s 802	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) /\ z e. ( i \ { Z } ) ) -> i = X )
43	42	ex 434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> ( z e. ( i \ { Z } ) -> i = X ) )
44	43	exlimdv 1709	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> ( E. z z e. ( i \ { Z } ) -> i = X ) )
45	16, 44	syl5 32	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> ( ( Z e. i /\ i =/= { Z } ) -> i = X ) )
46	8, 45	mpand 675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> ( i =/= { Z } -> i = X ) )
47	46	an32s 802	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. RingOps /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) /\ i e. ( Idl ` R ) ) -> ( i =/= { Z } -> i = X ) )
48		neor 2765	. . . . . . . 8 |- ( ( i = { Z } \/ i = X ) <-> ( i =/= { Z } -> i = X ) )
49	47, 48	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. RingOps /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) /\ i e. ( Idl ` R ) ) -> ( i = { Z } \/ i = X ) )
50	49	ex 434	. . . . . 6 |- ( ( R e. RingOps /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> ( i e. ( Idl ` R ) -> ( i = { Z } \/ i = X ) ) )
51	1, 3	0idl 30390	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RingOps -> { Z } e. ( Idl ` R ) )
52		eleq1 2513	. . . . . . . . 9 |- ( i = { Z } -> ( i e. ( Idl ` R ) <-> { Z } e. ( Idl ` R ) ) )
53	51, 52	syl5ibrcom 222	. . . . . . . 8 |- ( R e. RingOps -> ( i = { Z } -> i e. ( Idl ` R ) ) )
54	1, 4	rngoidl 30389	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RingOps -> X e. ( Idl ` R ) )
55		eleq1 2513	. . . . . . . . 9 |- ( i = X -> ( i e. ( Idl ` R ) <-> X e. ( Idl ` R ) ) )
56	54, 55	syl5ibrcom 222	. . . . . . . 8 |- ( R e. RingOps -> ( i = X -> i e. ( Idl ` R ) ) )
57	53, 56	jaod 380	. . . . . . 7 |- ( R e. RingOps -> ( ( i = { Z } \/ i = X ) -> i e. ( Idl ` R ) ) )
58	57	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( R e. RingOps /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> ( ( i = { Z } \/ i = X ) -> i e. ( Idl ` R ) ) )
59	50, 58	impbid 191	. . . . 5 |- ( ( R e. RingOps /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> ( i e. ( Idl ` R ) <-> ( i = { Z } \/ i = X ) ) )
60		vex 3096	. . . . . 6 |- i e. _V
61	60	elpr 4028	. . . . 5 |- ( i e. { { Z } , X } <-> ( i = { Z } \/ i = X ) )
62	59, 61	syl6bbr 263	. . . 4 |- ( ( R e. RingOps /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> ( i e. ( Idl ` R ) <-> i e. { { Z } , X } ) )
63	62	eqrdv 2438	. . 3 |- ( ( R e. RingOps /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> ( Idl ` R ) = { { Z } , X } )
64	63	adantrl 715	. 2 |- ( ( R e. RingOps /\ ( (GId ` H ) =/= Z /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) ) -> ( Idl ` R ) = { { Z } , X } )
65	6, 64	sylbi 195	1 |- ( R e. DivRingOps -> ( Idl ` R ) = { { Z } , X } )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1381   E.wex 1597   e. wcel 1802   =/= wne 2636   A.wral 2791   E.wrex 2792   _Vcvv 3093   \ cdif 3455   C_ wss 3458   (/)c0 3767   {csn 4010   {cpr 4012   ran crn 4986   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   1stc1st 6779   2ndc2nd 6780  GIdcgi 25054   RingOpscrngo 25242   DivRingOpscdrng 25272   Idlcidl 30372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-1o 7128  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-grpo 25058  df-gid 25059  df-ginv 25060  df-ablo 25149  df-ass 25180  df-exid 25182  df-mgmOLD 25186  df-sgrOLD 25198  df-mndo 25205  df-rngo 25243  df-drngo 25273  df-idl 30375

This theorem is referenced by:  divrngpr  30418  isfldidl  30433