Theorem divrngidl 30665

Description: The only ideals in a division ring are the zero ideal and the unit ideal. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
divrngidl.1	|- G = ( 1st ` R )
divrngidl.2	|- H = ( 2nd ` R )
divrngidl.3	|- X = ran G
divrngidl.4	|- Z = (GId ` G )

Assertion

Ref	Expression
divrngidl	|- ( R e. DivRingOps -> ( Idl ` R ) = { { Z } , X } )

Proof of Theorem divrngidl

Dummy variables i x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divrngidl.1	. . 3 |- G = ( 1st ` R )
2		divrngidl.2	. . 3 |- H = ( 2nd ` R )
3		divrngidl.4	. . 3 |- Z = (GId ` G )
4		divrngidl.3	. . 3 |- X = ran G
5		eqid 2454	. . 3 |- (GId ` H ) = (GId ` H )
6	1, 2, 3, 4, 5	isdrngo2 30601	. 2 |- ( R e. DivRingOps <-> ( R e. RingOps /\ ( (GId ` H ) =/= Z /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) ) )
7	1, 3	idl0cl 30655	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) -> Z e. i )
8	7	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> Z e. i )
9		fvex 5858	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (GId ` G ) e. _V
10	3, 9	eqeltri 2538	. . . . . . . . . . . . 13 |- Z e. _V
11	10	snss 4140	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Z e. i <-> { Z } C_ i )
12		necom 2723	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i =/= { Z } <-> { Z } =/= i )
13		pssdifn0 3876	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { Z } C_ i /\ { Z } =/= i ) -> ( i \ { Z } ) =/= (/) )
14		n0 3793	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( i \ { Z } ) =/= (/) <-> E. z z e. ( i \ { Z } ) )
15	13, 14	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { Z } C_ i /\ { Z } =/= i ) -> E. z z e. ( i \ { Z } ) )
16	11, 12, 15	syl2anb 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Z e. i /\ i =/= { Z } ) -> E. z z e. ( i \ { Z } ) )
17	1, 4	idlss 30653	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) -> i C_ X )
18		ssdif 3625	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i C_ X -> ( i \ { Z } ) C_ ( X \ { Z } ) )
19	18	sselda 3489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i C_ X /\ z e. ( i \ { Z } ) ) -> z e. ( X \ { Z } ) )
20	17, 19	sylan 469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ z e. ( i \ { Z } ) ) -> z e. ( X \ { Z } ) )
21		oveq2 6278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = z -> ( y H x ) = ( y H z ) )
22	21	eqeq1d 2456	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = z -> ( ( y H x ) = (GId ` H ) <-> ( y H z ) = (GId ` H ) ) )
23	22	rexbidv 2965	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = z -> ( E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) <-> E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H z ) = (GId ` H ) ) )
24	23	rspcva 3205	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ( X \ { Z } ) /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H z ) = (GId ` H ) )
25	20, 24	sylan 469	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ z e. ( i \ { Z } ) ) /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H z ) = (GId ` H ) )
26		eldifi 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. ( i \ { Z } ) -> z e. i )
27		eldifi 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. ( X \ { Z } ) -> y e. X )
28	26, 27	anim12i 564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z e. ( i \ { Z } ) /\ y e. ( X \ { Z } ) ) -> ( z e. i /\ y e. X ) )
29	1, 2, 4	idllmulcl 30657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ ( z e. i /\ y e. X ) ) -> ( y H z ) e. i )
30	1, 2, 4, 5	1idl 30663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) -> ( (GId ` H ) e. i <-> i = X ) )
31	30	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) -> ( (GId ` H ) e. i -> i = X ) )
32	31	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ ( z e. i /\ y e. X ) ) -> ( (GId ` H ) e. i -> i = X ) )
33		eleq1 2526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y H z ) = (GId ` H ) -> ( ( y H z ) e. i <-> (GId ` H ) e. i ) )
34	33	imbi1d 315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y H z ) = (GId ` H ) -> ( ( ( y H z ) e. i -> i = X ) <-> ( (GId ` H ) e. i -> i = X ) ) )
35	32, 34	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ ( z e. i /\ y e. X ) ) -> ( ( y H z ) = (GId ` H ) -> ( ( y H z ) e. i -> i = X ) ) )
36	29, 35	mpid 41	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ ( z e. i /\ y e. X ) ) -> ( ( y H z ) = (GId ` H ) -> i = X ) )
37	28, 36	sylan2 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ ( z e. ( i \ { Z } ) /\ y e. ( X \ { Z } ) ) ) -> ( ( y H z ) = (GId ` H ) -> i = X ) )
38	37	anassrs 646	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ z e. ( i \ { Z } ) ) /\ y e. ( X \ { Z } ) ) -> ( ( y H z ) = (GId ` H ) -> i = X ) )
39	38	rexlimdva 2946	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ z e. ( i \ { Z } ) ) -> ( E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H z ) = (GId ` H ) -> i = X ) )
40	39	imp 427	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ z e. ( i \ { Z } ) ) /\ E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H z ) = (GId ` H ) ) -> i = X )
41	25, 40	syldan 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ z e. ( i \ { Z } ) ) /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> i = X )
42	41	an32s 802	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) /\ z e. ( i \ { Z } ) ) -> i = X )
43	42	ex 432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> ( z e. ( i \ { Z } ) -> i = X ) )
44	43	exlimdv 1729	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> ( E. z z e. ( i \ { Z } ) -> i = X ) )
45	16, 44	syl5 32	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> ( ( Z e. i /\ i =/= { Z } ) -> i = X ) )
46	8, 45	mpand 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> ( i =/= { Z } -> i = X ) )
47	46	an32s 802	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. RingOps /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) /\ i e. ( Idl ` R ) ) -> ( i =/= { Z } -> i = X ) )
48		neor 2778	. . . . . . . 8 |- ( ( i = { Z } \/ i = X ) <-> ( i =/= { Z } -> i = X ) )
49	47, 48	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. RingOps /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) /\ i e. ( Idl ` R ) ) -> ( i = { Z } \/ i = X ) )
50	49	ex 432	. . . . . 6 |- ( ( R e. RingOps /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> ( i e. ( Idl ` R ) -> ( i = { Z } \/ i = X ) ) )
51	1, 3	0idl 30662	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RingOps -> { Z } e. ( Idl ` R ) )
52		eleq1 2526	. . . . . . . . 9 |- ( i = { Z } -> ( i e. ( Idl ` R ) <-> { Z } e. ( Idl ` R ) ) )
53	51, 52	syl5ibrcom 222	. . . . . . . 8 |- ( R e. RingOps -> ( i = { Z } -> i e. ( Idl ` R ) ) )
54	1, 4	rngoidl 30661	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RingOps -> X e. ( Idl ` R ) )
55		eleq1 2526	. . . . . . . . 9 |- ( i = X -> ( i e. ( Idl ` R ) <-> X e. ( Idl ` R ) ) )
56	54, 55	syl5ibrcom 222	. . . . . . . 8 |- ( R e. RingOps -> ( i = X -> i e. ( Idl ` R ) ) )
57	53, 56	jaod 378	. . . . . . 7 |- ( R e. RingOps -> ( ( i = { Z } \/ i = X ) -> i e. ( Idl ` R ) ) )
58	57	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( R e. RingOps /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> ( ( i = { Z } \/ i = X ) -> i e. ( Idl ` R ) ) )
59	50, 58	impbid 191	. . . . 5 |- ( ( R e. RingOps /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> ( i e. ( Idl ` R ) <-> ( i = { Z } \/ i = X ) ) )
60		vex 3109	. . . . . 6 |- i e. _V
61	60	elpr 4034	. . . . 5 |- ( i e. { { Z } , X } <-> ( i = { Z } \/ i = X ) )
62	59, 61	syl6bbr 263	. . . 4 |- ( ( R e. RingOps /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> ( i e. ( Idl ` R ) <-> i e. { { Z } , X } ) )
63	62	eqrdv 2451	. . 3 |- ( ( R e. RingOps /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> ( Idl ` R ) = { { Z } , X } )
64	63	adantrl 713	. 2 |- ( ( R e. RingOps /\ ( (GId ` H ) =/= Z /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) ) -> ( Idl ` R ) = { { Z } , X } )
65	6, 64	sylbi 195	1 |- ( R e. DivRingOps -> ( Idl ` R ) = { { Z } , X } )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 366   /\ wa 367   = wceq 1398   E.wex 1617   e. wcel 1823   =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106   \ cdif 3458   C_ wss 3461   (/)c0 3783   {csn 4016   {cpr 4018   ran crn 4989   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   1stc1st 6771   2ndc2nd 6772  GIdcgi 25387   RingOpscrngo 25575   DivRingOpscdrng 25605   Idlcidl 30644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-1o 7122  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-grpo 25391  df-gid 25392  df-ginv 25393  df-ablo 25482  df-ass 25513  df-exid 25515  df-mgmOLD 25519  df-sgrOLD 25531  df-mndo 25538  df-rngo 25576  df-drngo 25606  df-idl 30647

This theorem is referenced by:  divrngpr  30690  isfldidl  30705