Theorem divrngidNEW 17166

Description: A division ring's unit is the identity element of its multiplicative group.

Hypotheses

Ref	Expression
divrngid.1NEW	|- B = (base` R)
divrngid.3NEW	|- T = (.r` R)
divrngid.4NEW	|- Z = (0g` R)
divrngid.5NEW	|- U = (1rNEW` R)
divrngid.6NEW	|- G = {<.1, (B \ {Z})>., <.2, T>.}

Assertion

Ref	Expression
divrngidNEW	|- (R e. DivRingNEW -> U = (0g` G))

Proof of Theorem divrngidNEW

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divrngring 17161	. . . 4 |- (R e. DivRingNEW -> R e. RingNEW)
2		divrngid.1NEW	. . . . . . 7 |- B = (base` R)
3		divrngid.3NEW	. . . . . . 7 |- T = (.r` R)
4		divrngid.4NEW	. . . . . . 7 |- Z = (0g` R)
5		divrngid.6NEW	. . . . . . 7 |- G = {<.1, (B \ {Z})>., <.2, T>.}
6	2, 3, 4, 5	divrngmgrpNEW 17163	. . . . . 6 |- (R e. DivRingNEW -> G e. GrpNEW)
7		fvex 4689	. . . . . . . . . 10 |- (base` R) e. _V
8	2, 7	eqeltri 1967	. . . . . . . . 9 |- B e. _V
9		difexg 3458	. . . . . . . . 9 |- (B e. _V -> (B \ {Z}) e. _V)
10	8, 9	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (B \ {Z}) e. _V
11		fvex 4689	. . . . . . . . 9 |- (.r` R) e. _V
12	3, 11	eqeltri 1967	. . . . . . . 8 |- T e. _V
13	10, 12, 5	grpbasex 17101	. . . . . . 7 |- (B \ {Z}) = (base` G)
14		eqid 1884	. . . . . . 7 |- (0g` G) = (0g` G)
15	13, 14	grpidclNEW 17118	. . . . . 6 |- (G e. GrpNEW -> (0g` G) e. (B \ {Z}))
16	6, 15	syl 12	. . . . 5 |- (R e. DivRingNEW -> (0g` G) e. (B \ {Z}))
17		eldifi 2730	. . . . 5 |- ((0g` G) e. (B \ {Z}) -> (0g` G) e. B)
18	16, 17	syl 12	. . . 4 |- (R e. DivRingNEW -> (0g` G) e. B)
19		divrngid.5NEW	. . . . 5 |- U = (1rNEW` R)
20	2, 3, 19	ringlidmNEW 17154	. . . 4 |- ((R e. RingNEW /\ (0g` G) e. B) -> (UT(0g` G)) = (0g` G))
21	1, 18, 20	syl11anc 524	. . 3 |- (R e. DivRingNEW -> (UT(0g` G)) = (0g` G))
22	10, 12, 5	grpplusgx 17102	. . . . 5 |- T = (+g` G)
23	13, 22, 14	grplidNEW 17120	. . . 4 |- ((G e. GrpNEW /\ (0g` G) e. (B \ {Z})) -> ((0g` G)T(0g` G)) = (0g` G))
24	6, 16, 23	syl11anc 524	. . 3 |- (R e. DivRingNEW -> ((0g` G)T(0g` G)) = (0g` G))
25	21, 24	eqtr4d 1928	. 2 |- (R e. DivRingNEW -> (UT(0g` G)) = ((0g` G)T(0g` G)))
26		eldif 2609	. . . 4 |- (U e. (B \ {Z}) <-> (U e. B /\ -. U e. {Z}))
27	2, 19	ringidcl 17150	. . . . 5 |- (R e. RingNEW -> U e. B)
28	1, 27	syl 12	. . . 4 |- (R e. DivRingNEW -> U e. B)
29	2, 3, 4, 19, 5	divrngidlemNEW 17165	. . . . . 6 |- (R e. DivRingNEW -> U =/= Z)
30		df-ne 2019	. . . . . 6 |- (U =/= Z <-> -. U = Z)
31	29, 30	sylib 215	. . . . 5 |- (R e. DivRingNEW -> -. U = Z)
32		elsni 3066	. . . . 5 |- (U e. {Z} -> U = Z)
33	31, 32	nsyl 131	. . . 4 |- (R e. DivRingNEW -> -. U e. {Z})
34	26, 28, 33	sylanbrc 527	. . 3 |- (R e. DivRingNEW -> U e. (B \ {Z}))
35	13, 22	grprcanNEW 17122	. . 3 |- ((G e. GrpNEW /\ (U e. (B \ {Z}) /\ (0g` G) e. (B \ {Z}) /\ (0g` G) e. (B \ {Z}))) -> ((UT(0g` G)) = ((0g` G)T(0g` G)) <-> U = (0g` G)))
36	6, 34, 16, 16, 35	syl13anc 1102	. 2 |- (R e. DivRingNEW -> ((UT(0g` G)) = ((0g` G)T(0g` G)) <-> U = (0g` G)))
37	25, 36	mpbid 212	1 |- (R e. DivRingNEW -> U = (0g` G))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  _Vcvv 2292   \ cdif 2590  {csn 3044  {cpr 3045  <.cop 3046  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  1c1 6387  2c2 7145  basecbs 16758  GrpNEWcgrp 17081  0_gc0g 17082  ._rcmulr 17085  RingNEWcrg 17086  1_rNEWcur 17087  DivRingNEWcdivring 17158

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-tru 1262  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638  df-struct 16708  df-strbldr 16725  df-base 16768  df-plusg 17088  df-grpNEW 17089  df-0g 17090  df-minusg 17091  df-ablNEW 17092  df-ringNEW 17094  df-ur 17095  df-drngNEW 17159

Copyright terms: Public domain