Theorem divreci 6716

Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18.

Hypotheses

Ref	Expression
divrec.1	|- A e. CC
divrec.2	|- B e. CC
divrec.3	|- B =/= 0

Assertion

Ref	Expression
divreci	|- (A / B) = (A x. (1 / B))

Proof of Theorem divreci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divrec.2	. . . 4 |- B e. CC
2		divrec.1	. . . . 5 |- A e. CC
3		divrec.3	. . . . . 6 |- B =/= 0
4	1, 3	reccli 6698	. . . . 5 |- (1 / B) e. CC
5	2, 4	mulcli 6270	. . . 4 |- (A x. (1 / B)) e. CC
6	1, 5	mulcomi 6272	. . 3 |- (B x. (A x. (1 / B))) = ((A x. (1 / B)) x. B)
7	2, 4, 1	mulassi 6274	. . 3 |- ((A x. (1 / B)) x. B) = (A x. ((1 / B) x. B))
8		ax1cn 6218	. . . . . 6 |- 1 e. CC
9	8, 1, 3	divcan1i 6702	. . . . 5 |- ((1 / B) x. B) = 1
10	9	opreq2i 4704	. . . 4 |- (A x. ((1 / B) x. B)) = (A x. 1)
11	2	mulid1i 6281	. . . 4 |- (A x. 1) = A
12	10, 11	eqtri 1745	. . 3 |- (A x. ((1 / B) x. B)) = A
13	6, 7, 12	3eqtri 1749	. 2 |- (B x. (A x. (1 / B))) = A
14	2, 1, 5, 3	divmuli 6690	. 2 |- ((A / B) = (A x. (1 / B)) <-> (B x. (A x. (1 / B))) = A)
15	13, 14	mpbir 206	1 |- (A / B) = (A x. (1 / B))

Syntax hints:   = wceq 1136   e. wcel 1138   =/= wne 1854  (class class class)co 4695  CCcc 6180  0cc0 6182  1c1 6183   x. cmul 6187   / cdiv 6243

This theorem is referenced by:  divreczi 6717  divdiri 6726  dividi 6742  divdiv23i 6765  redivcli 6771  ltdiv1ii 6796  ltrecii 6856  0.999... 8303  cos1bnd 8535

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1142  ax-gen 1143  ax-8 1144  ax-9 1145  ax-10 1146  ax-11 1147  ax-12 1148  ax-13 1149  ax-14 1150  ax-17 1155  ax-4 1157  ax-5o 1159  ax-6o 1162  ax-9o 1319  ax-10o 1338  ax-16 1418  ax-11o 1426  ax-ext 1702  ax-rep 3243  ax-sep 3253  ax-nul 3260  ax-pow 3296  ax-pr 3339  ax-un 3601  ax-inf2 5540

This theorem depends on definitions:  df-bi 163  df-or 240  df-an 241  df-3or 856  df-3an 857  df-ex 1165  df-sb 1374  df-eu 1613  df-mo 1614  df-clab 1709  df-cleq 1714  df-clel 1717  df-ne 1856  df-nel 1857  df-ral 1943  df-rex 1944  df-reu 1945  df-rab 1946  df-v 2127  df-sbc 2287  df-csb 2374  df-dif 2430  df-un 2433  df-in 2436  df-ss 2438  df-pss 2440  df-nul 2702  df-if 2807  df-pw 2859  df-sn 2873  df-pr 2874  df-tp 2876  df-op 2877  df-uni 3000  df-int 3037  df-iun 3079  df-br 3159  df-opab 3214  df-tr 3230  df-eprel 3398  df-id 3401  df-po 3406  df-so 3419  df-fr 3440  df-we 3459  df-ord 3475  df-on 3476  df-lim 3477  df-suc 3478  df-om 3761  df-xp 3811  df-rel 3812  df-cnv 3813  df-co 3814  df-dm 3815  df-rn 3816  df-res 3817  df-ima 3818  df-fun 3819  df-fn 3820  df-f 3821  df-f1 3822  df-fo 3823  df-f1o 3824  df-fv 3825  df-opr 4697  df-oprab 4698  df-mpt 4817  df-1st 4831  df-2nd 4832  df-iota 4900  df-rdg 4951  df-1o 4988  df-oadd 4990  df-omul 4991  df-er 5129  df-ec 5131  df-qs 5134  df-en 5238  df-dom 5239  df-sdom 5240  df-undef 5367  df-riota 5371  df-ni 5948  df-pli 5949  df-mi 5950  df-lti 5951  df-plpq 5983  df-mpq 5984  df-enq 5985  df-nq 5986  df-plq 5987  df-mq 5988  df-rq 5989  df-ltq 5990  df-1q 5991  df-np 6034  df-1p 6035  df-plp 6036  df-mp 6037  df-ltp 6038  df-plpr 6112  df-mpr 6113  df-enr 6114  df-nr 6115  df-plr 6116  df-mr 6117  df-ltr 6118  df-0r 6119  df-1r 6120  df-m1r 6121  df-c 6188  df-0 6189  df-1 6190  df-i 6191  df-r 6192  df-plus 6193  df-mul 6194  df-lt 6195  df-sub 6307  df-neg 6309  df-pnf 6450  df-mnf 6451  df-xr 6452  df-ltxr 6453  df-le 6454  df-div 6688

Copyright terms: Public domain