MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divrecd Structured version   Unicode version

Theorem divrecd 10329
Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divrecd  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  =  ( A  x.  ( 1  /  B ) ) )

Proof of Theorem divrecd
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divrec 10229 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  =  ( A  x.  (
1  /  B ) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1229 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  =  ( A  x.  ( 1  /  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638  (class class class)co 6281   CCcc 9493   0cc0 9495   1c1 9496    x. cmul 9500    / cdiv 10212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213
This theorem is referenced by:  prodgt0  10393  ltdiv1  10412  ltrec  10432  lediv12a  10444  expsub  12192  expdiv  12195  rlimdiv  13447  isumdivc  13558  fsumdivc  13580  trirecip  13653  geo2sum  13661  geo2lim  13663  ege2le3  13703  eftlub  13721  eirrlem  13814  prmreclem4  14314  m1expaddsub  16397  abvdiv  17360  cnsubrg  18352  nmdvr  21052  nmoi2  21110  cphdivcl  21502  ipcau2  21550  ovolsca  21799  dvsincos  22255  plyeq0lem  22480  plydivlem4  22564  aalioulem4  22603  geolim3  22607  aaliou3lem8  22613  taylthlem2  22641  advlogexp  22908  cxpsub  22935  divcxp  22940  dvcxp1  22988  lawcoslem1  23019  dvatan  23138  leibpi  23145  log2tlbnd  23148  fsumharmonic  23213  basellem8  23233  chebbnd1  23529  rplogsumlem2  23542  rpvmasumlem  23544  dchrmusumlema  23550  dchrisum0lema  23571  dchrisum0lem1  23573  dchrisum0lem2a  23574  dchrisum0lem2  23575  dchrmusumlem  23579  mulogsumlem  23588  mulogsum  23589  logdivsum  23590  mulog2sumlem1  23591  vmalogdivsum2  23595  2vmadivsumlem  23597  log2sumbnd  23601  logdivbnd  23613  selberg4lem1  23617  selberg34r  23628  pntrlog2bndlem2  23635  pntrlog2bndlem4  23637  pntrlog2bndlem6  23640  pntpbnd2  23644  smcnlem  25479  ipasslem5  25622  lgamgulmlem2  28445  lgamgulmlem3  28446  lgamgulmlem4  28447  prodfdiv  29005  dvtan  30040  dvcncxp1  30075  areacirclem1  30082  areacirclem4  30085  irrapxlem5  30737  pell14qrdivcl  30776  hashnzfzclim  31203  climdivf  31526  divlimc  31570  divcncf  31593  dvmptdiv  31618  ioodvbdlimc1lem2  31633  ioodvbdlimc2lem  31635  stoweidlem36  31707  wallispi  31741  stirlinglem7  31751  dirkercncflem2  31775  dirkercncflem4  31777  fourierdlem39  31817  fourierdlem40  31818  fourierdlem56  31834  fourierdlem62  31840  fourierdlem78  31856  fourierdlem83  31861  fourierdlem95  31873
  Copyright terms: Public domain W3C validator