MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divrecd Structured version   Unicode version

Theorem divrecd 10385
Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divrecd  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  =  ( A  x.  ( 1  /  B ) ) )

Proof of Theorem divrecd
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divrec 10285 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  =  ( A  x.  (
1  /  B ) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1264 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  =  ( A  x.  ( 1  /  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625  (class class class)co 6305   CCcc 9536   0cc0 9538   1c1 9539    x. cmul 9543    / cdiv 10268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269
This theorem is referenced by:  prodgt0  10449  ltdiv1  10468  ltrec  10487  lediv12a  10499  expsub  12317  expdiv  12320  rlimdiv  13687  isumdivc  13803  fsumdivc  13825  trirecip  13899  geo2sum  13907  geo2lim  13909  prodfdiv  13930  ege2le3  14122  eftlub  14141  eirrlem  14234  prmreclem4  14826  m1expaddsub  17090  abvdiv  18000  cnsubrg  18963  nmdvr  21604  nmoi2  21662  cphdivcl  22053  ipcau2  22101  ovolsca  22346  dvsincos  22810  plyeq0lem  23032  plydivlem4  23117  aalioulem4  23156  geolim3  23160  aaliou3lem8  23166  taylthlem2  23194  advlogexp  23465  cxpsub  23492  divcxp  23497  dvcxp1  23545  dvcncxp1  23548  relogbdiv  23581  lawcoslem1  23609  dvatan  23726  leibpi  23733  log2tlbnd  23736  fsumharmonic  23802  lgamgulmlem2  23820  lgamgulmlem3  23821  lgamgulmlem4  23822  basellem8  23877  chebbnd1  24173  rplogsumlem2  24186  rpvmasumlem  24188  dchrmusumlema  24194  dchrisum0lema  24215  dchrisum0lem1  24217  dchrisum0lem2a  24218  dchrisum0lem2  24219  dchrmusumlem  24223  mulogsumlem  24232  mulogsum  24233  logdivsum  24234  mulog2sumlem1  24235  vmalogdivsum2  24239  2vmadivsumlem  24241  log2sumbnd  24245  logdivbnd  24257  selberg4lem1  24261  selberg34r  24272  pntrlog2bndlem2  24279  pntrlog2bndlem4  24281  pntrlog2bndlem6  24284  pntpbnd2  24288  smcnlem  26178  ipasslem5  26321  omssubadd  28961  dvtan  31695  areacirclem1  31735  areacirclem4  31738  irrapxlem5  35379  pell14qrdivcl  35418  hashnzfzclim  36307  binomcxplemnotnn0  36341  climdivf  37263  divlimc  37308  divcncf  37332  dvmptdiv  37360  ioodvbdlimc1lem2  37375  ioodvbdlimc2lem  37377  dvnxpaek  37385  stoweidlem36  37465  wallispi  37500  stirlinglem7  37510  dirkercncflem2  37534  dirkercncflem4  37536  fourierdlem39  37576  fourierdlem40  37577  fourierdlem56  37593  fourierdlem62  37599  fourierdlem78  37615  fourierdlem83  37620  fourierdlem95  37632  dignn0flhalflem1  39186
  Copyright terms: Public domain W3C validator