MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divrecd Unicode version

Theorem divrecd 9419
Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divrecd  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  =  ( A  x.  ( 1  /  B ) ) )

Proof of Theorem divrecd
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divrec 9320 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  =  ( A  x.  (
1  /  B ) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1187 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  =  ( A  x.  ( 1  /  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412  (class class class)co 5710   CCcc 8615   0cc0 8617   1c1 8618    x. cmul 8622    / cdiv 9303
This theorem is referenced by:  prodgt0  9481  ltdiv1  9500  ltrec  9517  lediv12a  9529  expsub  11027  expdiv  11030  rlimdiv  11996  isumdivc  12104  fsumdivc  12125  trirecip  12195  geo2sum  12203  geo2lim  12205  ege2le3  12245  eftlub  12263  eirrlem  12356  prmreclem4  12840  abvdiv  15437  cnsubrg  16264  nmdvr  18013  nmoi2  18071  cphdivcl  18450  ipcau2  18496  ovolsca  18706  dvsincos  19160  plyeq0lem  19424  plydivlem4  19508  aalioulem4  19547  geolim3  19551  aaliou3lem8  19557  taylthlem2  19585  advlogexp  19834  lawcoslem1  19857  cxpsub  19897  divcxp  19902  dvcxp1  19950  dvatan  20063  leibpi  20070  log2tlbnd  20073  fsumharmonic  20137  basellem8  20157  chebbnd1  20453  rplogsumlem2  20466  rpvmasumlem  20468  dchrmusumlema  20474  dchrisum0lema  20495  dchrisum0lem1  20497  dchrisum0lem2a  20498  dchrisum0lem2  20499  dchrmusumlem  20503  mulogsumlem  20512  mulogsum  20513  logdivsum  20514  mulog2sumlem1  20515  vmalogdivsum2  20519  2vmadivsumlem  20521  log2sumbnd  20525  logdivbnd  20537  selberg4lem1  20541  selberg34r  20552  pntrlog2bndlem2  20559  pntrlog2bndlem4  20561  pntrlog2bndlem6  20564  pntpbnd2  20568  smcnlem  21100  ipasslem5  21243  cntrset  24768  irrapxlem5  26077  pell14qrdivcl  26116  m1expaddsub  26587
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-iota 6143  df-riota 6190  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304
  Copyright terms: Public domain W3C validator