MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divrecd Unicode version

Theorem divrecd 9749
Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divrecd  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  =  ( A  x.  ( 1  /  B ) ) )

Proof of Theorem divrecd
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divrec 9650 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  =  ( A  x.  (
1  /  B ) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1184 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  =  ( A  x.  ( 1  /  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947    x. cmul 8951    / cdiv 9633
This theorem is referenced by:  prodgt0  9811  ltdiv1  9830  ltrec  9847  lediv12a  9859  expsub  11382  expdiv  11385  rlimdiv  12394  isumdivc  12503  fsumdivc  12524  trirecip  12597  geo2sum  12605  geo2lim  12607  ege2le3  12647  eftlub  12665  eirrlem  12758  prmreclem4  13242  abvdiv  15880  cnsubrg  16714  nmdvr  18659  nmoi2  18717  cphdivcl  19098  ipcau2  19144  ovolsca  19364  dvsincos  19818  plyeq0lem  20082  plydivlem4  20166  aalioulem4  20205  geolim3  20209  aaliou3lem8  20215  taylthlem2  20243  advlogexp  20499  cxpsub  20526  divcxp  20531  dvcxp1  20579  lawcoslem1  20610  dvatan  20728  leibpi  20735  log2tlbnd  20738  fsumharmonic  20803  basellem8  20823  chebbnd1  21119  rplogsumlem2  21132  rpvmasumlem  21134  dchrmusumlema  21140  dchrisum0lema  21161  dchrisum0lem1  21163  dchrisum0lem2a  21164  dchrisum0lem2  21165  dchrmusumlem  21169  mulogsumlem  21178  mulogsum  21179  logdivsum  21180  mulog2sumlem1  21181  vmalogdivsum2  21185  2vmadivsumlem  21187  log2sumbnd  21191  logdivbnd  21203  selberg4lem1  21207  selberg34r  21218  pntrlog2bndlem2  21225  pntrlog2bndlem4  21227  pntrlog2bndlem6  21230  pntpbnd2  21234  smcnlem  22146  ipasslem5  22289  lgamgulmlem2  24767  lgamgulmlem3  24768  lgamgulmlem4  24769  prodfdiv  25177  areacirclem2  26181  areacirclem5  26185  irrapxlem5  26779  pell14qrdivcl  26818  m1expaddsub  27289  climdivf  27605  stoweidlem36  27652  wallispi  27686  stirlinglem7  27696
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634
  Copyright terms: Public domain W3C validator