MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divrecd Structured version   Unicode version

Theorem divrecd 10115
Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divrecd  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  =  ( A  x.  ( 1  /  B ) ) )

Proof of Theorem divrecd
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divrec 10015 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  =  ( A  x.  (
1  /  B ) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1218 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  =  ( A  x.  ( 1  /  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611  (class class class)co 6096   CCcc 9285   0cc0 9287   1c1 9288    x. cmul 9292    / cdiv 9998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999
This theorem is referenced by:  prodgt0  10179  ltdiv1  10198  ltrec  10218  lediv12a  10230  expsub  11916  expdiv  11919  rlimdiv  13128  isumdivc  13236  fsumdivc  13258  trirecip  13330  geo2sum  13338  geo2lim  13340  ege2le3  13380  eftlub  13398  eirrlem  13491  prmreclem4  13985  m1expaddsub  16009  abvdiv  16927  cnsubrg  17878  nmdvr  20256  nmoi2  20314  cphdivcl  20706  ipcau2  20754  ovolsca  21003  dvsincos  21458  plyeq0lem  21683  plydivlem4  21767  aalioulem4  21806  geolim3  21810  aaliou3lem8  21816  taylthlem2  21844  advlogexp  22105  cxpsub  22132  divcxp  22137  dvcxp1  22185  lawcoslem1  22216  dvatan  22335  leibpi  22342  log2tlbnd  22345  fsumharmonic  22410  basellem8  22430  chebbnd1  22726  rplogsumlem2  22739  rpvmasumlem  22741  dchrmusumlema  22747  dchrisum0lema  22768  dchrisum0lem1  22770  dchrisum0lem2a  22771  dchrisum0lem2  22772  dchrmusumlem  22776  mulogsumlem  22785  mulogsum  22786  logdivsum  22787  mulog2sumlem1  22788  vmalogdivsum2  22792  2vmadivsumlem  22794  log2sumbnd  22798  logdivbnd  22810  selberg4lem1  22814  selberg34r  22825  pntrlog2bndlem2  22832  pntrlog2bndlem4  22834  pntrlog2bndlem6  22837  pntpbnd2  22841  smcnlem  24097  ipasslem5  24240  lgamgulmlem2  27021  lgamgulmlem3  27022  lgamgulmlem4  27023  prodfdiv  27416  dvtan  28447  dvcncxp1  28482  areacirclem1  28489  areacirclem4  28492  irrapxlem5  29172  pell14qrdivcl  29211  climdivf  29790  stoweidlem36  29836  wallispi  29870  stirlinglem7  29880
  Copyright terms: Public domain W3C validator