MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divrecd Structured version   Unicode version

Theorem divrecd 10097
Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divrecd  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  =  ( A  x.  ( 1  /  B ) ) )

Proof of Theorem divrecd
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divrec 9997 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  =  ( A  x.  (
1  /  B ) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1211 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  =  ( A  x.  ( 1  /  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596  (class class class)co 6080   CCcc 9267   0cc0 9269   1c1 9270    x. cmul 9274    / cdiv 9980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981
This theorem is referenced by:  prodgt0  10161  ltdiv1  10180  ltrec  10200  lediv12a  10212  expsub  11894  expdiv  11897  rlimdiv  13106  isumdivc  13214  fsumdivc  13235  trirecip  13307  geo2sum  13315  geo2lim  13317  ege2le3  13357  eftlub  13375  eirrlem  13468  prmreclem4  13962  m1expaddsub  15983  abvdiv  16845  cnsubrg  17716  nmdvr  20092  nmoi2  20150  cphdivcl  20542  ipcau2  20590  ovolsca  20839  dvsincos  21294  plyeq0lem  21562  plydivlem4  21646  aalioulem4  21685  geolim3  21689  aaliou3lem8  21695  taylthlem2  21723  advlogexp  21984  cxpsub  22011  divcxp  22016  dvcxp1  22064  lawcoslem1  22095  dvatan  22214  leibpi  22221  log2tlbnd  22224  fsumharmonic  22289  basellem8  22309  chebbnd1  22605  rplogsumlem2  22618  rpvmasumlem  22620  dchrmusumlema  22626  dchrisum0lema  22647  dchrisum0lem1  22649  dchrisum0lem2a  22650  dchrisum0lem2  22651  dchrmusumlem  22655  mulogsumlem  22664  mulogsum  22665  logdivsum  22666  mulog2sumlem1  22667  vmalogdivsum2  22671  2vmadivsumlem  22673  log2sumbnd  22677  logdivbnd  22689  selberg4lem1  22693  selberg34r  22704  pntrlog2bndlem2  22711  pntrlog2bndlem4  22713  pntrlog2bndlem6  22716  pntpbnd2  22720  smcnlem  23914  ipasslem5  24057  lgamgulmlem2  26863  lgamgulmlem3  26864  lgamgulmlem4  26865  prodfdiv  27257  dvtan  28283  dvcncxp1  28318  areacirclem1  28325  areacirclem4  28328  irrapxlem5  29009  pell14qrdivcl  29048  areaquad  29434  climdivf  29628  stoweidlem36  29674  wallispi  29708  stirlinglem7  29718
  Copyright terms: Public domain W3C validator