MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divrecd Structured version   Unicode version

Theorem divrecd 10240
Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divrecd  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  =  ( A  x.  ( 1  /  B ) ) )

Proof of Theorem divrecd
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divrec 10140 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  =  ( A  x.  (
1  /  B ) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1226 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  =  ( A  x.  ( 1  /  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577  (class class class)co 6196   CCcc 9401   0cc0 9403   1c1 9404    x. cmul 9408    / cdiv 10123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124
This theorem is referenced by:  prodgt0  10304  ltdiv1  10323  ltrec  10342  lediv12a  10354  expsub  12116  expdiv  12119  rlimdiv  13470  isumdivc  13581  fsumdivc  13603  trirecip  13676  geo2sum  13684  geo2lim  13686  prodfdiv  13707  ege2le3  13827  eftlub  13846  eirrlem  13939  prmreclem4  14439  m1expaddsub  16640  abvdiv  17599  cnsubrg  18591  nmdvr  21264  nmoi2  21322  cphdivcl  21714  ipcau2  21762  ovolsca  22011  dvsincos  22467  plyeq0lem  22692  plydivlem4  22777  aalioulem4  22816  geolim3  22820  aaliou3lem8  22826  taylthlem2  22854  advlogexp  23123  cxpsub  23150  divcxp  23155  dvcxp1  23203  relogbdiv  23237  lawcoslem1  23265  dvatan  23382  leibpi  23389  log2tlbnd  23392  fsumharmonic  23458  basellem8  23478  chebbnd1  23774  rplogsumlem2  23787  rpvmasumlem  23789  dchrmusumlema  23795  dchrisum0lema  23816  dchrisum0lem1  23818  dchrisum0lem2a  23819  dchrisum0lem2  23820  dchrmusumlem  23824  mulogsumlem  23833  mulogsum  23834  logdivsum  23835  mulog2sumlem1  23836  vmalogdivsum2  23840  2vmadivsumlem  23842  log2sumbnd  23846  logdivbnd  23858  selberg4lem1  23862  selberg34r  23873  pntrlog2bndlem2  23880  pntrlog2bndlem4  23882  pntrlog2bndlem6  23885  pntpbnd2  23889  smcnlem  25724  ipasslem5  25867  omssubadd  28427  lgamgulmlem2  28761  lgamgulmlem3  28762  lgamgulmlem4  28763  dvtan  30231  dvcncxp1  30266  areacirclem1  30273  areacirclem4  30276  irrapxlem5  30927  pell14qrdivcl  30966  hashnzfzclim  31395  binomcxplemnotnn0  31429  climdivf  31784  divlimc  31828  divcncf  31852  dvmptdiv  31880  ioodvbdlimc1lem2  31895  ioodvbdlimc2lem  31897  dvnxpaek  31905  stoweidlem36  31984  wallispi  32018  stirlinglem7  32028  dirkercncflem2  32052  dirkercncflem4  32054  fourierdlem39  32094  fourierdlem40  32095  fourierdlem56  32111  fourierdlem62  32117  fourierdlem78  32133  fourierdlem83  32138  fourierdlem95  32150  dignn0flhalflem1  33436
  Copyright terms: Public domain W3C validator