MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divne0d Structured version   Unicode version

Theorem divne0d 10144
Description: The ratio of nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divne0d.3  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
divne0d.4  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divne0d  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  =/=  0 )

Proof of Theorem divne0d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divne0d.3 . 2  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
3 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4 divne0d.4 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
5 divne0 10027 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )  -> 
( A  /  B
)  =/=  0 )
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 1219 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  =/=  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756    =/= wne 2620  (class class class)co 6112   CCcc 9301   0cc0 9303    / cdiv 10014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015
This theorem is referenced by:  tanval3  13439  pcdiv  13940  pcqdiv  13945  sylow1lem1  16118  i1fmulc  21203  itg1mulc  21204  dvcnvlem  21470  plydivlem4  21784  tanarg  22090  logcnlem4  22112  angcld  22223  angrteqvd  22224  cosangneg2d  22225  angrtmuld  22226  ang180lem1  22227  ang180lem2  22228  ang180lem3  22229  ang180lem4  22230  ang180lem5  22231  lawcoslem1  22233  lawcos  22234  isosctrlem2  22239  isosctrlem3  22240  angpieqvdlem2  22246  mcubic  22264  cubic2  22265  cubic  22266  quartlem4  22277  tanatan  22336  qqhval2lem  26432  dmgmdivn0  27036  lgamgulmlem2  27038  gamcvg2lem  27067  ntrivcvgtail  27437  iprodgam  27528  pellexlem6  29201  wallispilem4  29889  stirlinglem1  29895  stirlinglem3  29897  stirlinglem4  29898  stirlinglem7  29901  stirlinglem13  29907  stirlinglem14  29908  stirlinglem15  29909
  Copyright terms: Public domain W3C validator