MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divne0d Structured version   Unicode version

Theorem divne0d 10119
Description: The ratio of nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divne0d.3  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
divne0d.4  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divne0d  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  =/=  0 )

Proof of Theorem divne0d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divne0d.3 . 2  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
3 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4 divne0d.4 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
5 divne0 10002 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )  -> 
( A  /  B
)  =/=  0 )
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 1214 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  =/=  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1761    =/= wne 2604  (class class class)co 6090   CCcc 9276   0cc0 9278    / cdiv 9989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990
This theorem is referenced by:  tanval3  13414  pcdiv  13915  pcqdiv  13920  sylow1lem1  16090  i1fmulc  21140  itg1mulc  21141  dvcnvlem  21407  plydivlem4  21721  tanarg  22027  logcnlem4  22049  angcld  22160  angrteqvd  22161  cosangneg2d  22162  angrtmuld  22163  ang180lem1  22164  ang180lem2  22165  ang180lem3  22166  ang180lem4  22167  ang180lem5  22168  lawcoslem1  22170  lawcos  22171  isosctrlem2  22176  isosctrlem3  22177  angpieqvdlem2  22183  mcubic  22201  cubic2  22202  cubic  22203  quartlem4  22214  tanatan  22273  qqhval2lem  26346  dmgmdivn0  26944  lgamgulmlem2  26946  gamcvg2lem  26975  ntrivcvgtail  27344  iprodgam  27435  pellexlem6  29100  wallispilem4  29788  stirlinglem1  29794  stirlinglem3  29796  stirlinglem4  29797  stirlinglem7  29800  stirlinglem13  29806  stirlinglem14  29807  stirlinglem15  29808
  Copyright terms: Public domain W3C validator