MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divmuleqd Structured version   Unicode version

Theorem divmuleqd 10376
Description: Cross-multiply in an equality of ratios. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divmuld.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
divmuldivd.4  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
divmuldivd.5  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
divmuldivd.6  |-  ( ph  ->  D  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divmuleqd  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  B )  =  ( C  /  D )  <-> 
( A  x.  D
)  =  ( C  x.  B ) ) )

Proof of Theorem divmuleqd
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divmuld.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
3 divcld.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4 divmuldivd.5 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
53, 4jca 532 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )
6 divmuldivd.4 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
7 divmuldivd.6 . . 3  |-  ( ph  ->  D  =/=  0 )
86, 7jca 532 . 2  |-  ( ph  ->  ( D  e.  CC  /\  D  =/=  0 ) )
9 divmuleq 10259 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  /\  ( D  e.  CC  /\  D  =/=  0 ) ) )  ->  ( ( A  /  B )  =  ( C  /  D
)  <->  ( A  x.  D )  =  ( C  x.  B ) ) )
101, 2, 5, 8, 9syl22anc 1229 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  B )  =  ( C  /  D )  <-> 
( A  x.  D
)  =  ( C  x.  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662  (class class class)co 6294   CCcc 9500   0cc0 9502    x. cmul 9507    / cdiv 10216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4251  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-er 7321  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-div 10217
This theorem is referenced by:  pceulem  14240  lhop1lem  22259  pellexlem6  30666
  Copyright terms: Public domain W3C validator