MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divlogrlim Structured version   Unicode version

Theorem divlogrlim 23310
Description: The inverse logarithm function converges to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
divlogrlim  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( 1  /  ( log `  x
) ) )  ~~> r  0

Proof of Theorem divlogrlim
Dummy variables  c 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elioore 11612 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  x  e.  RR )
2 eliooord 11638 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  ( 1  <  x  /\  x  < +oo ) )
32simpld 457 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  1  < 
x )
41, 3rplogcld 23308 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
54rprecred 11315 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  ( 1  /  ( log `  x
) )  e.  RR )
65recnd 9652 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  ( 1  /  ( log `  x
) )  e.  CC )
76rgen 2764 . . . . 5  |-  A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) ( 1  / 
( log `  x
) )  e.  CC
87a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  A. x  e.  ( 1 (,) +oo )
( 1  /  ( log `  x ) )  e.  CC )
9 ioossre 11640 . . . . 5  |-  ( 1 (,) +oo )  C_  RR
109a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( 1 (,) +oo )  C_  RR )
118, 10rlim0lt 13481 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( 1  / 
( log `  x
) ) )  ~~> r  0  <->  A. y  e.  RR+  E. c  e.  RR  A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) ( c  < 
x  ->  ( abs `  ( 1  /  ( log `  x ) ) )  <  y ) ) )
1211trud 1414 . 2  |-  ( ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( 1  /  ( log `  x ) ) )  ~~> r  0  <->  A. y  e.  RR+  E. c  e.  RR  A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) ( c  < 
x  ->  ( abs `  ( 1  /  ( log `  x ) ) )  <  y ) )
13 id 22 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR+ )
1413rprecred 11315 . . . 4  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  /  y )  e.  RR )
1514reefcld 14032 . . 3  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( exp `  ( 1  /  y
) )  e.  RR )
165ad2antlr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( 1  / 
( log `  x
) )  e.  RR )
171ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  x  e.  RR )
183ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  1  <  x
)
1917, 18rplogcld 23308 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( log `  x
)  e.  RR+ )
2019rpreccld 11314 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( 1  / 
( log `  x
) )  e.  RR+ )
2120rpge0d 11308 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  0  <_  (
1  /  ( log `  x ) ) )
2216, 21absidd 13403 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( abs `  (
1  /  ( log `  x ) ) )  =  ( 1  / 
( log `  x
) ) )
23 simpll 752 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  y  e.  RR+ )
244ad2antlr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( log `  x
)  e.  RR+ )
25 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )
26 1rp 11269 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR+
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  1  e.  RR+ )
2827rpred 11304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  1  e.  RR )
2928, 17, 18ltled 9765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  1  <_  x
)
3017, 27, 29rpgecld 11339 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  x  e.  RR+ )
3130reeflogd 23303 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( exp `  ( log `  x ) )  =  x )
3225, 31breqtrrd 4421 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  ( exp `  ( log `  x
) ) )
3323rprecred 11315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( 1  / 
y )  e.  RR )
3424rpred 11304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( log `  x
)  e.  RR )
35 eflt 14061 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  y
)  e.  RR  /\  ( log `  x )  e.  RR )  -> 
( ( 1  / 
y )  <  ( log `  x )  <->  ( exp `  ( 1  /  y
) )  <  ( exp `  ( log `  x
) ) ) )
3633, 34, 35syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( ( 1  /  y )  < 
( log `  x
)  <->  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  ( exp `  ( log `  x
) ) ) )
3732, 36mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( 1  / 
y )  <  ( log `  x ) )
3823, 24, 37ltrec1d 11324 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( 1  / 
( log `  x
) )  <  y
)
3922, 38eqbrtrd 4415 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( abs `  (
1  /  ( log `  x ) ) )  <  y )
4039ex 432 . . . 4  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( exp `  (
1  /  y ) )  <  x  -> 
( abs `  (
1  /  ( log `  x ) ) )  <  y ) )
4140ralrimiva 2818 . . 3  |-  ( y  e.  RR+  ->  A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) ( ( exp `  ( 1  /  y
) )  <  x  ->  ( abs `  (
1  /  ( log `  x ) ) )  <  y ) )
42 breq1 4398 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( exp `  (
1  /  y ) )  ->  ( c  <  x  <->  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x ) )
4342imbi1d 315 . . . . 5  |-  ( c  =  ( exp `  (
1  /  y ) )  ->  ( (
c  <  x  ->  ( abs `  ( 1  /  ( log `  x
) ) )  < 
y )  <->  ( ( exp `  ( 1  / 
y ) )  < 
x  ->  ( abs `  ( 1  /  ( log `  x ) ) )  <  y ) ) )
4443ralbidv 2843 . . . 4  |-  ( c  =  ( exp `  (
1  /  y ) )  ->  ( A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) ( c  <  x  -> 
( abs `  (
1  /  ( log `  x ) ) )  <  y )  <->  A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) ( ( exp `  ( 1  /  y
) )  <  x  ->  ( abs `  (
1  /  ( log `  x ) ) )  <  y ) ) )
4544rspcev 3160 . . 3  |-  ( ( ( exp `  (
1  /  y ) )  e.  RR  /\  A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) ( ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x  -> 
( abs `  (
1  /  ( log `  x ) ) )  <  y ) )  ->  E. c  e.  RR  A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) ( c  <  x  -> 
( abs `  (
1  /  ( log `  x ) ) )  <  y ) )
4615, 41, 45syl2anc 659 . 2  |-  ( y  e.  RR+  ->  E. c  e.  RR  A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) ( c  < 
x  ->  ( abs `  ( 1  /  ( log `  x ) ) )  <  y ) )
4712, 46mprgbir 2768 1  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( 1  /  ( log `  x
) ) )  ~~> r  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405   T. wtru 1406    e. wcel 1842   A.wral 2754   E.wrex 2755    C_ wss 3414   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523   +oocpnf 9655    < clt 9658    / cdiv 10247   RR+crp 11265   (,)cioo 11582   abscabs 13216    ~~> r crli 13457   expce 14006   logclog 23234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-ioc 11587  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-mod 12035  df-seq 12152  df-exp 12211  df-fac 12398  df-bc 12425  df-hash 12453  df-shft 13049  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-limsup 13443  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-ef 14012  df-sin 14014  df-cos 14015  df-pi 14017  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-hom 14933  df-cco 14934  df-rest 15037  df-topn 15038  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-topgen 15058  df-pt 15059  df-prds 15062  df-xrs 15116  df-qtop 15121  df-imas 15122  df-xps 15124  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-mulg 16384  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-fbas 18736  df-fg 18737  df-cnfld 18741  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cld 19812  df-ntr 19813  df-cls 19814  df-nei 19892  df-lp 19930  df-perf 19931  df-cn 20021  df-cnp 20022  df-haus 20109  df-tx 20355  df-hmeo 20548  df-fil 20639  df-fm 20731  df-flim 20732  df-flf 20733  df-xms 21115  df-ms 21116  df-tms 21117  df-cncf 21674  df-limc 22562  df-dv 22563  df-log 23236
This theorem is referenced by:  logno1  23311  vmalogdivsum2  24104  2vmadivsumlem  24106  selberg4lem1  24126  pntrlog2bndlem2  24144  pntrlog2bndlem4  24146  pntrlog2bndlem5  24147
  Copyright terms: Public domain W3C validator