MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divlogrlim Structured version   Unicode version

Theorem divlogrlim 21964
Description: The inverse logarithm function converges to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
divlogrlim  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( 1  /  ( log `  x
) ) )  ~~> r  0

Proof of Theorem divlogrlim
Dummy variables  c 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elioore 11317 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  x  e.  RR )
2 eliooord 11342 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  ( 1  <  x  /\  x  < +oo ) )
32simpld 456 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  1  < 
x )
41, 3rplogcld 21962 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
54rprecred 11025 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  ( 1  /  ( log `  x
) )  e.  RR )
65recnd 9399 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  ( 1  /  ( log `  x
) )  e.  CC )
76rgen 2771 . . . . 5  |-  A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) ( 1  / 
( log `  x
) )  e.  CC
87a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  A. x  e.  ( 1 (,) +oo )
( 1  /  ( log `  x ) )  e.  CC )
9 ioossre 11344 . . . . 5  |-  ( 1 (,) +oo )  C_  RR
109a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( 1 (,) +oo )  C_  RR )
118, 10rlim0lt 12970 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( 1  / 
( log `  x
) ) )  ~~> r  0  <->  A. y  e.  RR+  E. c  e.  RR  A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) ( c  < 
x  ->  ( abs `  ( 1  /  ( log `  x ) ) )  <  y ) ) )
1211trud 1371 . 2  |-  ( ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( 1  /  ( log `  x ) ) )  ~~> r  0  <->  A. y  e.  RR+  E. c  e.  RR  A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) ( c  < 
x  ->  ( abs `  ( 1  /  ( log `  x ) ) )  <  y ) )
13 id 22 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR+ )
1413rprecred 11025 . . . 4  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  /  y )  e.  RR )
1514reefcld 13355 . . 3  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( exp `  ( 1  /  y
) )  e.  RR )
165ad2antlr 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( 1  / 
( log `  x
) )  e.  RR )
171ad2antlr 719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  x  e.  RR )
183ad2antlr 719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  1  <  x
)
1917, 18rplogcld 21962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( log `  x
)  e.  RR+ )
2019rpreccld 11024 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( 1  / 
( log `  x
) )  e.  RR+ )
2120rpge0d 11018 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  0  <_  (
1  /  ( log `  x ) ) )
2216, 21absidd 12892 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( abs `  (
1  /  ( log `  x ) ) )  =  ( 1  / 
( log `  x
) ) )
23 simpll 746 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  y  e.  RR+ )
244ad2antlr 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( log `  x
)  e.  RR+ )
25 simpr 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )
26 1rp 10982 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR+
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  1  e.  RR+ )
2827rpred 11014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  1  e.  RR )
2928, 17, 18ltled 9509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  1  <_  x
)
3017, 27, 29rpgecld 11049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  x  e.  RR+ )
3130reeflogd 21957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( exp `  ( log `  x ) )  =  x )
3225, 31breqtrrd 4306 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  ( exp `  ( log `  x
) ) )
3323rprecred 11025 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( 1  / 
y )  e.  RR )
3424rpred 11014 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( log `  x
)  e.  RR )
35 eflt 13383 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  y
)  e.  RR  /\  ( log `  x )  e.  RR )  -> 
( ( 1  / 
y )  <  ( log `  x )  <->  ( exp `  ( 1  /  y
) )  <  ( exp `  ( log `  x
) ) ) )
3633, 34, 35syl2anc 654 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( ( 1  /  y )  < 
( log `  x
)  <->  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  ( exp `  ( log `  x
) ) ) )
3732, 36mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( 1  / 
y )  <  ( log `  x ) )
3823, 24, 37ltrec1d 11034 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( 1  / 
( log `  x
) )  <  y
)
3922, 38eqbrtrd 4300 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( abs `  (
1  /  ( log `  x ) ) )  <  y )
4039ex 434 . . . 4  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( exp `  (
1  /  y ) )  <  x  -> 
( abs `  (
1  /  ( log `  x ) ) )  <  y ) )
4140ralrimiva 2789 . . 3  |-  ( y  e.  RR+  ->  A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) ( ( exp `  ( 1  /  y
) )  <  x  ->  ( abs `  (
1  /  ( log `  x ) ) )  <  y ) )
42 breq1 4283 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( exp `  (
1  /  y ) )  ->  ( c  <  x  <->  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x ) )
4342imbi1d 317 . . . . 5  |-  ( c  =  ( exp `  (
1  /  y ) )  ->  ( (
c  <  x  ->  ( abs `  ( 1  /  ( log `  x
) ) )  < 
y )  <->  ( ( exp `  ( 1  / 
y ) )  < 
x  ->  ( abs `  ( 1  /  ( log `  x ) ) )  <  y ) ) )
4443ralbidv 2725 . . . 4  |-  ( c  =  ( exp `  (
1  /  y ) )  ->  ( A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) ( c  <  x  -> 
( abs `  (
1  /  ( log `  x ) ) )  <  y )  <->  A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) ( ( exp `  ( 1  /  y
) )  <  x  ->  ( abs `  (
1  /  ( log `  x ) ) )  <  y ) ) )
4544rspcev 3062 . . 3  |-  ( ( ( exp `  (
1  /  y ) )  e.  RR  /\  A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) ( ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x  -> 
( abs `  (
1  /  ( log `  x ) ) )  <  y ) )  ->  E. c  e.  RR  A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) ( c  <  x  -> 
( abs `  (
1  /  ( log `  x ) ) )  <  y ) )
4615, 41, 45syl2anc 654 . 2  |-  ( y  e.  RR+  ->  E. c  e.  RR  A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) ( c  < 
x  ->  ( abs `  ( 1  /  ( log `  x ) ) )  <  y ) )
4712, 46mprgbir 2776 1  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( 1  /  ( log `  x
) ) )  ~~> r  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362   T. wtru 1363    e. wcel 1755   A.wral 2705   E.wrex 2706    C_ wss 3316   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9267   RRcr 9268   0cc0 9269   1c1 9270   +oocpnf 9402    < clt 9405    / cdiv 9980   RR+crp 10978   (,)cioo 11287   abscabs 12706    ~~> r crli 12946   expce 13329   logclog 21890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347  ax-addf 9348  ax-mulf 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-5 10370  df-6 10371  df-7 10372  df-8 10373  df-9 10374  df-10 10375  df-n0 10567  df-z 10634  df-dec 10743  df-uz 10849  df-q 10941  df-rp 10979  df-xneg 11076  df-xadd 11077  df-xmul 11078  df-ioo 11291  df-ioc 11292  df-ico 11293  df-icc 11294  df-fz 11424  df-fzo 11532  df-fl 11625  df-mod 11692  df-seq 11790  df-exp 11849  df-fac 12035  df-bc 12062  df-hash 12087  df-shft 12539  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-limsup 12932  df-clim 12949  df-rlim 12950  df-sum 13147  df-ef 13335  df-sin 13337  df-cos 13338  df-pi 13340  df-struct 14158  df-ndx 14159  df-slot 14160  df-base 14161  df-sets 14162  df-ress 14163  df-plusg 14233  df-mulr 14234  df-starv 14235  df-sca 14236  df-vsca 14237  df-ip 14238  df-tset 14239  df-ple 14240  df-ds 14242  df-unif 14243  df-hom 14244  df-cco 14245  df-rest 14343  df-topn 14344  df-0g 14362  df-gsum 14363  df-topgen 14364  df-pt 14365  df-prds 14368  df-xrs 14422  df-qtop 14427  df-imas 14428  df-xps 14430  df-mre 14506  df-mrc 14507  df-acs 14509  df-mnd 15397  df-submnd 15447  df-mulg 15527  df-cntz 15814  df-cmn 16258  df-psmet 17652  df-xmet 17653  df-met 17654  df-bl 17655  df-mopn 17656  df-fbas 17657  df-fg 17658  df-cnfld 17662  df-top 18344  df-bases 18346  df-topon 18347  df-topsp 18348  df-cld 18464  df-ntr 18465  df-cls 18466  df-nei 18543  df-lp 18581  df-perf 18582  df-cn 18672  df-cnp 18673  df-haus 18760  df-tx 18976  df-hmeo 19169  df-fil 19260  df-fm 19352  df-flim 19353  df-flf 19354  df-xms 19736  df-ms 19737  df-tms 19738  df-cncf 20295  df-limc 21182  df-dv 21183  df-log 21892
This theorem is referenced by:  logno1  21965  vmalogdivsum2  22671  2vmadivsumlem  22673  selberg4lem1  22693  pntrlog2bndlem2  22711  pntrlog2bndlem4  22713  pntrlog2bndlem5  22714
  Copyright terms: Public domain W3C validator