MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divlogrlim Structured version   Unicode version

Theorem divlogrlim 22208
Description: The inverse logarithm function converges to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
divlogrlim  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( 1  /  ( log `  x
) ) )  ~~> r  0

Proof of Theorem divlogrlim
Dummy variables  c 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elioore 11436 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  x  e.  RR )
2 eliooord 11461 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  ( 1  <  x  /\  x  < +oo ) )
32simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  1  < 
x )
41, 3rplogcld 22206 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
54rprecred 11144 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  ( 1  /  ( log `  x
) )  e.  RR )
65recnd 9518 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  ( 1  /  ( log `  x
) )  e.  CC )
76rgen 2893 . . . . 5  |-  A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) ( 1  / 
( log `  x
) )  e.  CC
87a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  A. x  e.  ( 1 (,) +oo )
( 1  /  ( log `  x ) )  e.  CC )
9 ioossre 11463 . . . . 5  |-  ( 1 (,) +oo )  C_  RR
109a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( 1 (,) +oo )  C_  RR )
118, 10rlim0lt 13100 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( 1  / 
( log `  x
) ) )  ~~> r  0  <->  A. y  e.  RR+  E. c  e.  RR  A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) ( c  < 
x  ->  ( abs `  ( 1  /  ( log `  x ) ) )  <  y ) ) )
1211trud 1379 . 2  |-  ( ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( 1  /  ( log `  x ) ) )  ~~> r  0  <->  A. y  e.  RR+  E. c  e.  RR  A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) ( c  < 
x  ->  ( abs `  ( 1  /  ( log `  x ) ) )  <  y ) )
13 id 22 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR+ )
1413rprecred 11144 . . . 4  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  /  y )  e.  RR )
1514reefcld 13486 . . 3  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( exp `  ( 1  /  y
) )  e.  RR )
165ad2antlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( 1  / 
( log `  x
) )  e.  RR )
171ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  x  e.  RR )
183ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  1  <  x
)
1917, 18rplogcld 22206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( log `  x
)  e.  RR+ )
2019rpreccld 11143 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( 1  / 
( log `  x
) )  e.  RR+ )
2120rpge0d 11137 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  0  <_  (
1  /  ( log `  x ) ) )
2216, 21absidd 13022 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( abs `  (
1  /  ( log `  x ) ) )  =  ( 1  / 
( log `  x
) ) )
23 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  y  e.  RR+ )
244ad2antlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( log `  x
)  e.  RR+ )
25 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )
26 1rp 11101 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR+
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  1  e.  RR+ )
2827rpred 11133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  1  e.  RR )
2928, 17, 18ltled 9628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  1  <_  x
)
3017, 27, 29rpgecld 11168 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  x  e.  RR+ )
3130reeflogd 22201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( exp `  ( log `  x ) )  =  x )
3225, 31breqtrrd 4421 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  ( exp `  ( log `  x
) ) )
3323rprecred 11144 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( 1  / 
y )  e.  RR )
3424rpred 11133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( log `  x
)  e.  RR )
35 eflt 13514 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  y
)  e.  RR  /\  ( log `  x )  e.  RR )  -> 
( ( 1  / 
y )  <  ( log `  x )  <->  ( exp `  ( 1  /  y
) )  <  ( exp `  ( log `  x
) ) ) )
3633, 34, 35syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( ( 1  /  y )  < 
( log `  x
)  <->  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  ( exp `  ( log `  x
) ) ) )
3732, 36mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( 1  / 
y )  <  ( log `  x ) )
3823, 24, 37ltrec1d 11153 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( 1  / 
( log `  x
) )  <  y
)
3922, 38eqbrtrd 4415 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  ( abs `  (
1  /  ( log `  x ) ) )  <  y )
4039ex 434 . . . 4  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( exp `  (
1  /  y ) )  <  x  -> 
( abs `  (
1  /  ( log `  x ) ) )  <  y ) )
4140ralrimiva 2827 . . 3  |-  ( y  e.  RR+  ->  A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) ( ( exp `  ( 1  /  y
) )  <  x  ->  ( abs `  (
1  /  ( log `  x ) ) )  <  y ) )
42 breq1 4398 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( exp `  (
1  /  y ) )  ->  ( c  <  x  <->  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x ) )
4342imbi1d 317 . . . . 5  |-  ( c  =  ( exp `  (
1  /  y ) )  ->  ( (
c  <  x  ->  ( abs `  ( 1  /  ( log `  x
) ) )  < 
y )  <->  ( ( exp `  ( 1  / 
y ) )  < 
x  ->  ( abs `  ( 1  /  ( log `  x ) ) )  <  y ) ) )
4443ralbidv 2843 . . . 4  |-  ( c  =  ( exp `  (
1  /  y ) )  ->  ( A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) ( c  <  x  -> 
( abs `  (
1  /  ( log `  x ) ) )  <  y )  <->  A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) ( ( exp `  ( 1  /  y
) )  <  x  ->  ( abs `  (
1  /  ( log `  x ) ) )  <  y ) ) )
4544rspcev 3173 . . 3  |-  ( ( ( exp `  (
1  /  y ) )  e.  RR  /\  A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) ( ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x  -> 
( abs `  (
1  /  ( log `  x ) ) )  <  y ) )  ->  E. c  e.  RR  A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) ( c  <  x  -> 
( abs `  (
1  /  ( log `  x ) ) )  <  y ) )
4615, 41, 45syl2anc 661 . 2  |-  ( y  e.  RR+  ->  E. c  e.  RR  A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) ( c  < 
x  ->  ( abs `  ( 1  /  ( log `  x ) ) )  <  y ) )
4712, 46mprgbir 2898 1  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( 1  /  ( log `  x
) ) )  ~~> r  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370   T. wtru 1371    e. wcel 1758   A.wral 2796   E.wrex 2797    C_ wss 3431   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   CCcc 9386   RRcr 9387   0cc0 9388   1c1 9389   +oocpnf 9521    < clt 9524    / cdiv 10099   RR+crp 11097   (,)cioo 11406   abscabs 12836    ~~> r crli 13076   expce 13460   logclog 22134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466  ax-addf 9467  ax-mulf 9468
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-iin 4277  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-of 6425  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-supp 6796  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-2o 7026  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-pm 7322  df-ixp 7369  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-fsupp 7727  df-fi 7767  df-sup 7797  df-oi 7830  df-card 8215  df-cda 8443  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-dec 10862  df-uz 10968  df-q 11060  df-rp 11098  df-xneg 11195  df-xadd 11196  df-xmul 11197  df-ioo 11410  df-ioc 11411  df-ico 11412  df-icc 11413  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-fl 11754  df-mod 11821  df-seq 11919  df-exp 11978  df-fac 12164  df-bc 12191  df-hash 12216  df-shft 12669  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-limsup 13062  df-clim 13079  df-rlim 13080  df-sum 13277  df-ef 13466  df-sin 13468  df-cos 13469  df-pi 13471  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-starv 14367  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-ip 14370  df-tset 14371  df-ple 14372  df-ds 14374  df-unif 14375  df-hom 14376  df-cco 14377  df-rest 14475  df-topn 14476  df-0g 14494  df-gsum 14495  df-topgen 14496  df-pt 14497  df-prds 14500  df-xrs 14554  df-qtop 14559  df-imas 14560  df-xps 14562  df-mre 14638  df-mrc 14639  df-acs 14641  df-mnd 15529  df-submnd 15579  df-mulg 15662  df-cntz 15949  df-cmn 16395  df-psmet 17929  df-xmet 17930  df-met 17931  df-bl 17932  df-mopn 17933  df-fbas 17934  df-fg 17935  df-cnfld 17939  df-top 18630  df-bases 18632  df-topon 18633  df-topsp 18634  df-cld 18750  df-ntr 18751  df-cls 18752  df-nei 18829  df-lp 18867  df-perf 18868  df-cn 18958  df-cnp 18959  df-haus 19046  df-tx 19262  df-hmeo 19455  df-fil 19546  df-fm 19638  df-flim 19639  df-flf 19640  df-xms 20022  df-ms 20023  df-tms 20024  df-cncf 20581  df-limc 21469  df-dv 21470  df-log 22136
This theorem is referenced by:  logno1  22209  vmalogdivsum2  22915  2vmadivsumlem  22917  selberg4lem1  22937  pntrlog2bndlem2  22955  pntrlog2bndlem4  22957  pntrlog2bndlem5  22958
  Copyright terms: Public domain W3C validator