MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dividd Structured version   Unicode version

Theorem dividd 10317
Description: A number divided by itself is one. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
reccld.2  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
dividd  |-  ( ph  ->  ( A  /  A
)  =  1 )

Proof of Theorem dividd
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 reccld.2 . 2  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
3 divid 10233 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( A  /  A
)  =  1 )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  A
)  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662  (class class class)co 6283   CCcc 9489   0cc0 9491   1c1 9492    / cdiv 10205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206
This theorem is referenced by:  nndivtr  10576  xov1plusxeqvd  11665  quoremz  11949  quoremnn0ALT  11951  intfracq  11953  fldiv  11954  modid0  11988  modidmul0  11989  bcn0  12355  abs1m  13130  georeclim  13643  efaddlem  13689  sqgcd  14054  prmind2  14086  divgcdodd  14118  divnumden  14139  pythagtriplem19  14215  pc2dvds  14260  fldivp1  14274  abv1z  17276  dveflem  22131  dvlip  22145  elqaalem2  22466  aareccl  22472  efeq1  22665  eff1olem  22684  eflogeq  22730  tanarg  22748  logcnlem4  22770  cxpaddle  22870  isosctrlem3  22898  angpieqvdlem  22903  dcubic2  22919  2efiatan  22993  atantan  22998  birthdaylem2  23026  efrlim  23043  jensenlem2  23061  logdifbnd  23067  logdiflbnd  23068  emcllem2  23070  emcllem3  23071  emcllem5  23073  basellem8  23105  vmalogdivsum2  23467  2vmadivsumlem  23469  selberg4lem1  23489  pntrmax  23493  pntrlog2bndlem2  23507  pntrlog2bndlem5  23510  pntibndlem2  23520  pntlem3  23538  brbtwn2  23900  axsegconlem10  23921  axpaschlem  23935  axcontlem8  23966  logbid1  27670  cndprobtot  28031  dmgmdivn0  28226  lgamgulmlem2  28228  lgamgulmlem5  28231  lgamcvg2  28253  lgam1  28262  cvmliftlem11  28396  divcnvlin  28611  iprodgam  28718  faclim2  28766  dvtan  29658  areacirc  29705  irrapxlem5  30382  pellexlem6  30390  pell14qrexpclnn0  30422  reglogbas  30451  hashgcdlem  30778  clim1fr1  31159  coseq0  31215  stoweidlem1  31317  stoweidlem11  31327  stoweidlem26  31342  wallispilem5  31385  stirlinglem1  31390  stirlinglem3  31392  stirlinglem4  31393  stirlinglem6  31395  stirlinglem7  31396  stirlinglem10  31399  dirkertrigeqlem3  31416  dirkercncflem1  31419  fourierdlem4  31427  fourierdlem6  31429  fourierdlem26  31449  fourierdlem65  31488  sharhght  31565  cotsqcscsq  32246
  Copyright terms: Public domain W3C validator