MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divge0d Structured version   Unicode version

Theorem divge0d 11059
Description: The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
rpgecld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
divge0d.3  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
divge0d  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  /  B ) )

Proof of Theorem divge0d
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 divge0d.3 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
3 rpgecld.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
43rpregt0d 11029 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )
5 divge0 10194 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  ->  0  <_  ( A  /  B ) )
61, 2, 4, 5syl21anc 1212 1  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  /  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1761   class class class wbr 4289  (class class class)co 6090   RRcr 9277   0cc0 9278    < clt 9414    <_ cle 9415    / cdiv 9989   RR+crp 10987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-rp 10988
This theorem is referenced by:  bitsfzo  13627  bitsmod  13628  icopnfcnv  20414  logdiflbnd  22331  chpo1ubb  22673  vmadivsumb  22675  rpvmasumlem  22679  dchrisumlem1  22681  dchrvmasumlem2  22690  rplogsum  22719  dirith2  22720  mulog2sumlem2  22727  vmalogdivsum2  22730  2vmadivsumlem  22732  selbergb  22741  selberg2b  22744  selberg4lem1  22752  pntrlog2bndlem2  22770  pntrlog2bndlem4  22772  pntrlog2bndlem5  22773  pntrlog2bndlem6  22775  pntrlog2bnd  22776  pntibndlem2  22783  ttgcontlem1  23050  sqsscirc1  26258  lgamgulmlem3  26931  faclimlem1  27462  faclimlem3  27464  faclim  27465  iprodfac  27466  itg2addnclem2  28353  geomcau  28564  stirlinglem11  29788  stirlinglem12  29789
  Copyright terms: Public domain W3C validator