MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divge0d Structured version   Unicode version

Theorem divge0d 11317
Description: The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
rpgecld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
divge0d.3  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
divge0d  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  /  B ) )

Proof of Theorem divge0d
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 divge0d.3 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
3 rpgecld.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
43rpregt0d 11287 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )
5 divge0 10432 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  ->  0  <_  ( A  /  B ) )
61, 2, 4, 5syl21anc 1227 1  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  /  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1819   class class class wbr 4456  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509    < clt 9645    <_ cle 9646    / cdiv 10227   RR+crp 11245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-rp 11246
This theorem is referenced by:  bitsfzo  14096  bitsmod  14097  icopnfcnv  21567  logdiflbnd  23449  chpo1ubb  23791  vmadivsumb  23793  rpvmasumlem  23797  dchrisumlem1  23799  dchrvmasumlem2  23808  rplogsum  23837  dirith2  23838  mulog2sumlem2  23845  vmalogdivsum2  23848  2vmadivsumlem  23850  selbergb  23859  selberg2b  23862  selberg4lem1  23870  pntrlog2bndlem2  23888  pntrlog2bndlem4  23890  pntrlog2bndlem5  23891  pntrlog2bndlem6  23893  pntrlog2bnd  23894  pntibndlem2  23901  ttgcontlem1  24314  sqsscirc1  28043  lgamgulmlem3  28748  faclimlem1  29343  itg2addnclem2  30229  geomcau  30414  areaquad  31346  stirlinglem11  32027  stirlinglem12  32028  fourierdlem26  32076  fourierdlem30  32080  fourierdlem47  32097
  Copyright terms: Public domain W3C validator