MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divge0d Structured version   Unicode version

Theorem divge0d 11283
Description: The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
rpgecld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
divge0d.3  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
divge0d  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  /  B ) )

Proof of Theorem divge0d
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 divge0d.3 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
3 rpgecld.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
43rpregt0d 11253 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )
5 divge0 10402 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  ->  0  <_  ( A  /  B ) )
61, 2, 4, 5syl21anc 1222 1  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  /  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1762   class class class wbr 4442  (class class class)co 6277   RRcr 9482   0cc0 9483    < clt 9619    <_ cle 9620    / cdiv 10197   RR+crp 11211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-rp 11212
This theorem is referenced by:  bitsfzo  13935  bitsmod  13936  icopnfcnv  21172  logdiflbnd  23047  chpo1ubb  23389  vmadivsumb  23391  rpvmasumlem  23395  dchrisumlem1  23397  dchrvmasumlem2  23406  rplogsum  23435  dirith2  23436  mulog2sumlem2  23443  vmalogdivsum2  23446  2vmadivsumlem  23448  selbergb  23457  selberg2b  23460  selberg4lem1  23468  pntrlog2bndlem2  23486  pntrlog2bndlem4  23488  pntrlog2bndlem5  23489  pntrlog2bndlem6  23491  pntrlog2bnd  23492  pntibndlem2  23499  ttgcontlem1  23859  sqsscirc1  27514  lgamgulmlem3  28201  faclimlem1  28733  faclimlem3  28735  faclim  28736  iprodfac  28737  itg2addnclem2  29633  geomcau  29844  areaquad  30780  stirlinglem11  31341  stirlinglem12  31342  fourierdlem26  31390  fourierdlem30  31394  fourierdlem47  31411
  Copyright terms: Public domain W3C validator