MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divge0 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem divge0 10501
Description: The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)
Assertion
Ref Expression
divge0  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  ->  0  <_  ( A  /  B ) )

Proof of Theorem divge0
StepHypRef Expression
1 ge0div 10499 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  <  B )  ->  (
0  <_  A  <->  0  <_  ( A  /  B ) ) )
21biimpd 212 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  <  B )  ->  (
0  <_  A  ->  0  <_  ( A  /  B ) ) )
323exp 1214 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  ->  ( 0  <  B  -> 
( 0  <_  A  ->  0  <_  ( A  /  B ) ) ) ) )
43com34 86 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  ->  ( 0  <_  A  ->  ( 0  <  B  -> 
0  <_  ( A  /  B ) ) ) ) )
54com23 81 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  ->  ( B  e.  RR  ->  ( 0  <  B  -> 
0  <_  ( A  /  B ) ) ) ) )
65imp43 604 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  ->  0  <_  ( A  /  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    /\ w3a 991    e. wcel 1897   class class class wbr 4415  (class class class)co 6314   RRcr 9563   0cc0 9564    < clt 9700    <_ cle 9701    / cdiv 10296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297
This theorem is referenced by:  mulge0b  10502  ledivp1  10535  divge0i  10543  divge0d  11406  divelunit  11802  fldiv  12118  modid  12152  expnbnd  12432  sqrtdiv  13377  sqreulem  13470  iseralt  13799  efcllem  14180  ege2le3  14192  iserodd  14833  fldivp1  14890  4sqlem14OLD  14950  4sqlem14  14956  odmodnn0  17237  prmirredlem  19112  icopnfcnv  22018  lebnumii  22045  nmoleub2lem3  22177  minveclem4  22422  minveclem4OLD  22434  mbfi1fseqlem1  22721  mbfi1fseqlem5  22725  radcnvlem1  23416  cxpaddle  23740  leibpilem1  23914  log2tlbnd  23919  birthdaylem3  23927  jensenlem2  23961  amgm  23964  basellem3  24057  ppiub  24180  logfac2  24193  chto1ub  24362  vmadivsum  24368  rpvmasumlem  24373  dchrvmasumlem2  24384  dchrvmasumiflem1  24387  dchrisum0fno1  24397  dchrisum0re  24399  mulog2sumlem2  24421  selberg2lem  24436  pntrmax  24450  pntrsumo1  24451  pntpbnd1  24472  ostth2lem2  24520  axpaschlem  25018  axcontlem2  25043  nv1  26353  siii  26542  minvecolem4  26570  minvecolem4OLD  26580  norm1  26950  strlem1  27951  unitdivcld  28755  cvmliftlem2  30057  cvmliftlem10  30065  cvmliftlem13  30067  snmlff  30100  poimirlem29  32013  poimirlem30  32014  poimirlem31  32015  poimirlem32  32016  pellexlem1  35717  pellexlem6  35722  jm2.22  35894  jm2.23  35895  hashgcdlem  36118  stoweidlem36  37934  stoweidlem38  37936  nn0eo  40607  dignn0flhalf  40701
  Copyright terms: Public domain W3C validator