MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divge0 Structured version   Unicode version

Theorem divge0 10219
Description: The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)
Assertion
Ref Expression
divge0  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  ->  0  <_  ( A  /  B ) )

Proof of Theorem divge0
StepHypRef Expression
1 ge0div 10217 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  <  B )  ->  (
0  <_  A  <->  0  <_  ( A  /  B ) ) )
21biimpd 207 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  <  B )  ->  (
0  <_  A  ->  0  <_  ( A  /  B ) ) )
323exp 1186 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  ->  ( 0  <  B  -> 
( 0  <_  A  ->  0  <_  ( A  /  B ) ) ) ) )
43com34 83 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  ->  ( 0  <_  A  ->  ( 0  <  B  -> 
0  <_  ( A  /  B ) ) ) ) )
54com23 78 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  ->  ( B  e.  RR  ->  ( 0  <  B  -> 
0  <_  ( A  /  B ) ) ) ) )
65imp43 595 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  ->  0  <_  ( A  /  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1756   class class class wbr 4313  (class class class)co 6112   RRcr 9302   0cc0 9303    < clt 9439    <_ cle 9440    / cdiv 10014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015
This theorem is referenced by:  mulge0b  10220  ledivp1  10255  divge0i  10263  divge0d  11084  divelunit  11448  fldiv  11720  modid  11753  expnbnd  12014  sqrdiv  12776  sqreulem  12868  iseralt  13183  efcllem  13384  ege2le3  13396  iserodd  13923  fldivp1  13980  4sqlem14  14040  odmodnn0  16064  prmirredlem  17939  prmirredlemOLD  17942  icopnfcnv  20536  lebnumii  20560  nmoleub2lem3  20692  minveclem4  20941  mbfi1fseqlem1  21215  mbfi1fseqlem5  21219  radcnvlem1  21900  cxpaddle  22212  leibpilem1  22357  log2tlbnd  22362  birthdaylem3  22369  jensenlem2  22403  amgm  22406  basellem3  22442  ppiub  22565  logfac2  22578  chto1ub  22747  vmadivsum  22753  rpvmasumlem  22758  dchrvmasumlem2  22769  dchrvmasumiflem1  22772  dchrisum0fno1  22782  dchrisum0re  22784  mulog2sumlem2  22806  selberg2lem  22821  pntrmax  22835  pntrsumo1  22836  pntpbnd1  22857  ostth2lem2  22905  axpaschlem  23208  axcontlem2  23233  nv1  24086  siii  24275  minvecolem4  24303  norm1  24674  strlem1  25676  unitdivcld  26353  cvmliftlem2  27197  cvmliftlem10  27205  cvmliftlem13  27207  snmlff  27240  pellexlem1  29196  pellexlem6  29201  jm2.22  29370  jm2.23  29371  hashgcdlem  29591  stoweidlem36  29857  stoweidlem38  29859
  Copyright terms: Public domain W3C validator