MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divdiv23zi Structured version   Unicode version

Theorem divdiv23zi 10338
Description: Swap denominators in a division. (Contributed by NM, 15-Sep-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
divclz.1  |-  A  e.  CC
divclz.2  |-  B  e.  CC
divmulz.3  |-  C  e.  CC
Assertion
Ref Expression
divdiv23zi  |-  ( ( B  =/=  0  /\  C  =/=  0 )  ->  ( ( A  /  B )  /  C )  =  ( ( A  /  C
)  /  B ) )

Proof of Theorem divdiv23zi
StepHypRef Expression
1 divclz.2 . 2  |-  B  e.  CC
2 divmulz.3 . . 3  |-  C  e.  CC
3 divclz.1 . . . 4  |-  A  e.  CC
4 divdiv32 10293 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  /\  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )  -> 
( ( A  /  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  /  B ) )
53, 4mp3an1 1313 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  /\  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )  -> 
( ( A  /  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  /  B ) )
62, 5mpanr1 681 . 2  |-  ( ( ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  /\  C  =/=  0
)  ->  ( ( A  /  B )  /  C )  =  ( ( A  /  C
)  /  B ) )
71, 6mpanl1 678 1  |-  ( ( B  =/=  0  /\  C  =/=  0 )  ->  ( ( A  /  B )  /  C )  =  ( ( A  /  C
)  /  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598  (class class class)co 6278   CCcc 9520   0cc0 9522    / cdiv 10247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248
This theorem is referenced by:  divdiv32i  10340
  Copyright terms: Public domain W3C validator