MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divdiv1d Structured version   Unicode version

Theorem divdiv1d 10351
Description: Division into a fraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divmuld.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
divmuld.4  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
divdiv23d.5  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divdiv1d  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  B )  /  C
)  =  ( A  /  ( B  x.  C ) ) )

Proof of Theorem divdiv1d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divmuld.4 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divmuld.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
5 divdiv23d.5 . 2  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
6 divdiv1 10255 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  /\  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )  -> 
( ( A  /  B )  /  C
)  =  ( A  /  ( B  x.  C ) ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6syl122anc 1237 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  B )  /  C
)  =  ( A  /  ( B  x.  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662  (class class class)co 6284   CCcc 9490   0cc0 9492    x. cmul 9497    / cdiv 10206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207
This theorem is referenced by:  discr  12271  hashf1  12472  eftlub  13705  tanval2  13729  sinhval  13750  sqr2irrlem  13842  bitsp1  13940  4sqlem7  14321  4sqlem10  14324  uniioombl  21761  dvrec  22121  dvsincos  22145  dvcvx  22184  taylthlem2  22531  mcubic  22934  cubic2  22935  quart1lem  22942  quart1  22943  log2cnv  23031  log2tlbnd  23032  birthdaylem2  23038  efrlim  23055  bcmono  23308  m1lgs  23393  chto1lb  23419  vmalogdivsum2  23479  selberg3lem1  23498  selberg4lem1  23501  selberg4  23502  selberg34r  23512  pntrlog2bndlem2  23519  pntrlog2bndlem4  23521  pntpbnd2  23528  pntibndlem2  23532  pntlemg  23539  bcfallfac  28771  irrapxlem5  30394  clim1fr1  31171  sinaover2ne0  31232  wallispi2lem1  31399  stirlinglem3  31404  stirlinglem4  31405  stirlinglem7  31408  stirlinglem15  31416  dirker2re  31420  dirkerdenne0  31421  dirkerval2  31422  dirkertrigeqlem2  31427  dirkertrigeqlem3  31428  dirkertrigeq  31429  dirkercncflem1  31431  dirkercncflem2  31432  dirkercncflem4  31434  fourierdlem56  31491  fourierdlem66  31501  sqwvfourb  31558  fouriersw  31560
  Copyright terms: Public domain W3C validator