MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divdiv1d Structured version   Unicode version

Theorem divdiv1d 10413
Description: Division into a fraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divmuld.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
divmuld.4  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
divdiv23d.5  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divdiv1d  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  B )  /  C
)  =  ( A  /  ( B  x.  C ) ) )

Proof of Theorem divdiv1d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divmuld.4 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divmuld.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
5 divdiv23d.5 . 2  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
6 divdiv1 10317 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  /\  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )  -> 
( ( A  /  B )  /  C
)  =  ( A  /  ( B  x.  C ) ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6syl122anc 1273 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  B )  /  C
)  =  ( A  /  ( B  x.  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625  (class class class)co 6305   CCcc 9536   0cc0 9538    x. cmul 9543    / cdiv 10268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269
This theorem is referenced by:  discr  12406  hashf1  12615  bcfallfac  14075  eftlub  14141  tanval2  14165  sinhval  14186  sqr2irrlem  14278  bitsp1  14379  4sqlem7  14851  4sqlem10  14854  uniioombl  22432  dvrec  22794  dvsincos  22818  dvcvx  22857  taylthlem2  23202  mcubic  23646  cubic2  23647  quart1lem  23654  quart1  23655  log2cnv  23743  log2tlbnd  23744  birthdaylem2  23751  efrlim  23768  bcmono  24076  m1lgs  24161  chto1lb  24187  vmalogdivsum2  24247  selberg3lem1  24266  selberg4lem1  24269  selberg4  24270  selberg34r  24280  pntrlog2bndlem2  24287  pntrlog2bndlem4  24289  pntpbnd2  24296  pntibndlem2  24300  pntlemg  24307  irrapxlem5  35391  mccllem  37264  clim1fr1  37266  sinaover2ne0  37330  dvnprodlem2  37406  wallispi2lem1  37517  stirlinglem3  37522  stirlinglem4  37523  stirlinglem7  37526  stirlinglem15  37534  dirker2re  37538  dirkerdenne0  37539  dirkertrigeqlem2  37545  dirkertrigeqlem3  37546  dirkertrigeq  37547  dirkercncflem1  37549  dirkercncflem2  37550  dirkercncflem4  37552  fourierdlem56  37609  fourierdlem66  37619  sqwvfourb  37676  fouriersw  37678
  Copyright terms: Public domain W3C validator