MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divdiv1d Structured version   Unicode version

Theorem divdiv1d 10125
Description: Division into a fraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divmuld.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
divmuld.4  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
divdiv23d.5  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divdiv1d  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  B )  /  C
)  =  ( A  /  ( B  x.  C ) ) )

Proof of Theorem divdiv1d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divmuld.4 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divmuld.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
5 divdiv23d.5 . 2  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
6 divdiv1 10029 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  /\  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )  -> 
( ( A  /  B )  /  C
)  =  ( A  /  ( B  x.  C ) ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6syl122anc 1220 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  B )  /  C
)  =  ( A  /  ( B  x.  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596  (class class class)co 6080   CCcc 9267   0cc0 9269    x. cmul 9274    / cdiv 9980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981
This theorem is referenced by:  discr  11984  hashf1  12193  eftlub  13375  tanval2  13399  sinhval  13420  sqr2irrlem  13512  bitsp1  13609  4sqlem7  13987  4sqlem10  13990  uniioombl  20910  dvrec  21270  dvsincos  21294  dvcvx  21333  taylthlem2  21723  mcubic  22126  cubic2  22127  quart1lem  22134  quart1  22135  log2cnv  22223  log2tlbnd  22224  birthdaylem2  22230  efrlim  22247  bcmono  22500  m1lgs  22585  chto1lb  22611  vmalogdivsum2  22671  selberg3lem1  22690  selberg4lem1  22693  selberg4  22694  selberg34r  22704  pntrlog2bndlem2  22711  pntrlog2bndlem4  22713  pntpbnd2  22720  pntibndlem2  22724  pntlemg  22731  bcfallfac  27393  irrapxlem5  29009  clim1fr1  29617  wallispi2lem1  29709  stirlinglem3  29714  stirlinglem4  29715  stirlinglem7  29718  stirlinglem15  29726
  Copyright terms: Public domain W3C validator