MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divdird Structured version   Unicode version

Theorem divdird 10137
Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divmuld.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
divassd.4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divdird  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  +  ( B  /  C ) ) )

Proof of Theorem divdird
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divmuld.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 divassd.4 . 2  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
5 divdir 10009 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )  -> 
( ( A  +  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  +  ( B  /  C ) ) )
61, 2, 3, 4, 5syl112anc 1222 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  +  ( B  /  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601  (class class class)co 6086   CCcc 9272   0cc0 9274    + caddc 9277    / cdiv 9985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986
This theorem is referenced by:  zesq  11979  sqreulem  12839  bitsp1o  13621  bitsmod  13624  pythagtriplem19  13892  fldivp1  13951  mul4sqlem  14006  4sqlem17  14014  metnrmlem3  20412  pcoass  20571  ovollb2lem  20946  opnmbllem  21056  dvaddbr  21387  dvmulbr  21388  ftc1lem4  21486  vieta1lem2  21752  cosargd  22032  tanarg  22043  cxpaddle  22165  cxpeq  22170  dcubic1lem  22213  dcubic2  22214  mcubic  22217  cubic2  22218  dquartlem1  22221  dquart  22223  cosatan  22291  atantan  22293  dvatan  22305  jensenlem2  22356  logdifbnd  22362  emcllem3  22366  emcllem5  22368  basellem3  22395  basellem8  22400  perfectlem2  22544  bclbnd  22594  lgseisenlem1  22663  lgsquad2lem1  22672  dchrvmasum2if  22721  selberg3  22783  selberg4  22785  selberg34r  22795  pntrlog2bndlem2  22802  pntrlog2bndlem4  22804  pntrlog2bndlem5  22805  pntrlog2bndlem6  22807  pntibndlem2  22815  brbtwn2  23102  axsegconlem10  23123  axeuclidlem  23159  axcontlem8  23168  dya2icoseg  26644  dmgmdivn0  26966  lgamgulmlem2  26968  lgamgulmlem5  26971  lgamcvg2  26993  lgam1  27002  divcnvlin  27350  iprodgam  27457  opnmbllem0  28380  dvtan  28395  ftc1cnnclem  28418  dvasin  28433  areacirclem1  28437  reglogmul  29187  clim1fr1  29727  stirlinglem4  29825  stirlinglem6  29827  cotsqcscsq  30986  bj-bary1lem  32441  bj-bary1  32443
  Copyright terms: Public domain W3C validator