MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divdird Structured version   Unicode version

Theorem divdird 10255
Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divmuld.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
divassd.4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divdird  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  +  ( B  /  C ) ) )

Proof of Theorem divdird
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divmuld.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 divassd.4 . 2  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
5 divdir 10127 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )  -> 
( ( A  +  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  +  ( B  /  C ) ) )
61, 2, 3, 4, 5syl112anc 1223 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  +  ( B  /  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2647  (class class class)co 6199   CCcc 9390   0cc0 9392    + caddc 9395    / cdiv 10103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-op 3991  df-uni 4199  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104
This theorem is referenced by:  zesq  12103  sqreulem  12964  bitsp1o  13746  bitsmod  13749  pythagtriplem19  14017  fldivp1  14076  mul4sqlem  14131  4sqlem17  14139  metnrmlem3  20568  pcoass  20727  ovollb2lem  21102  opnmbllem  21213  dvaddbr  21544  dvmulbr  21545  ftc1lem4  21643  vieta1lem2  21909  cosargd  22189  tanarg  22200  cxpaddle  22322  cxpeq  22327  dcubic1lem  22370  dcubic2  22371  mcubic  22374  cubic2  22375  dquartlem1  22378  dquart  22380  cosatan  22448  atantan  22450  dvatan  22462  jensenlem2  22513  logdifbnd  22519  emcllem3  22523  emcllem5  22525  basellem3  22552  basellem8  22557  perfectlem2  22701  bclbnd  22751  lgseisenlem1  22820  lgsquad2lem1  22829  dchrvmasum2if  22878  selberg3  22940  selberg4  22942  selberg34r  22952  pntrlog2bndlem2  22959  pntrlog2bndlem4  22961  pntrlog2bndlem5  22962  pntrlog2bndlem6  22964  pntibndlem2  22972  brbtwn2  23302  axsegconlem10  23323  axeuclidlem  23359  axcontlem8  23368  dya2icoseg  26835  dmgmdivn0  27157  lgamgulmlem2  27159  lgamgulmlem5  27162  lgamcvg2  27184  lgam1  27193  divcnvlin  27542  iprodgam  27649  opnmbllem0  28574  dvtan  28589  ftc1cnnclem  28612  dvasin  28627  areacirclem1  28631  reglogmul  29381  clim1fr1  29921  stirlinglem4  30019  stirlinglem6  30021  cotsqcscsq  31410  bj-bary1lem  32922  bj-bary1  32924
  Copyright terms: Public domain W3C validator