MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divdird Structured version   Unicode version

Theorem divdird 10358
Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divmuld.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
divassd.4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divdird  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  +  ( B  /  C ) ) )

Proof of Theorem divdird
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divmuld.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 divassd.4 . 2  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
5 divdir 10230 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )  -> 
( ( A  +  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  +  ( B  /  C ) ) )
61, 2, 3, 4, 5syl112anc 1232 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  +  ( B  /  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662  (class class class)co 6284   CCcc 9490   0cc0 9492    + caddc 9495    / cdiv 10206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207
This theorem is referenced by:  zesq  12257  sqreulem  13155  bitsp1o  13942  bitsmod  13945  pythagtriplem19  14216  fldivp1  14275  mul4sqlem  14330  4sqlem17  14338  metnrmlem3  21128  pcoass  21287  ovollb2lem  21662  opnmbllem  21773  dvaddbr  22104  dvmulbr  22105  ftc1lem4  22203  vieta1lem2  22469  cosargd  22749  tanarg  22760  cxpaddle  22882  cxpeq  22887  dcubic1lem  22930  dcubic2  22931  mcubic  22934  cubic2  22935  dquartlem1  22938  dquart  22940  cosatan  23008  atantan  23010  dvatan  23022  jensenlem2  23073  logdifbnd  23079  emcllem3  23083  emcllem5  23085  basellem3  23112  basellem8  23117  perfectlem2  23261  bclbnd  23311  lgseisenlem1  23380  lgsquad2lem1  23389  dchrvmasum2if  23438  selberg3  23500  selberg4  23502  selberg34r  23512  pntrlog2bndlem2  23519  pntrlog2bndlem4  23521  pntrlog2bndlem5  23522  pntrlog2bndlem6  23524  pntibndlem2  23532  brbtwn2  23912  axsegconlem10  23933  axeuclidlem  23969  axcontlem8  23978  dya2icoseg  27916  dmgmdivn0  28238  lgamgulmlem2  28240  lgamgulmlem5  28243  lgamcvg2  28265  lgam1  28274  divcnvlin  28623  iprodgam  28730  opnmbllem0  29655  dvtan  29670  ftc1cnnclem  29693  dvasin  29708  areacirclem1  29712  reglogmul  30461  lcmgcdlem  30840  clim1fr1  31171  coseq0  31227  stirlinglem4  31405  stirlinglem6  31407  dirkerper  31424  dirkertrigeqlem3  31428  dirkercncflem1  31431  dirkercncflem2  31432  fourierdlem4  31439  fourierdlem26  31461  fourierdlem42  31477  fourierdlem83  31518  fourierdlem112  31547  sqwvfourb  31558  cotsqcscsq  32255  bj-bary1lem  33769  bj-bary1  33771
  Copyright terms: Public domain W3C validator