MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divdenle Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem divdenle 14698
Description: Reducing a quotient never increases the denominator. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
divdenle  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  (denom `  ( A  /  B ) )  <_  B )

Proof of Theorem divdenle
StepHypRef Expression
1 divnumden 14697 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( (numer `  ( A  /  B ) )  =  ( A  / 
( A  gcd  B
) )  /\  (denom `  ( A  /  B
) )  =  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
21simprd 465 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  (denom `  ( A  /  B ) )  =  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )
3 simpl 459 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  A  e.  ZZ )
4 nnz 10959 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  ZZ )
54adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  ZZ )
6 nnne0 10642 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  B  =/=  0 )
76neneqd 2629 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  NN  ->  -.  B  =  0 )
87adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  -.  B  =  0 )
98intnand 927 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )
10 gcdn0cl 14476 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )  ->  ( A  gcd  B )  e.  NN )
113, 5, 9, 10syl21anc 1267 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  NN )
1211nnge1d 10652 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  1  <_  ( A  gcd  B ) )
13 1red 9658 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
14 0lt1 10136 . . . . . 6  |-  0  <  1
1514a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  1 )
1611nnred 10624 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  RR )
1711nngt0d 10653 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  ( A  gcd  B ) )
18 nnre 10616 . . . . . 6  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
1918adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
20 nngt0 10638 . . . . . 6  |-  ( B  e.  NN  ->  0  <  B )
2120adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  B )
22 lediv2 10496 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( ( A  gcd  B )  e.  RR  /\  0  < 
( A  gcd  B
) )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  -> 
( 1  <_  ( A  gcd  B )  <->  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  <_  ( B  /  1 ) ) )
2313, 15, 16, 17, 19, 21, 22syl222anc 1284 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  <_  ( A  gcd  B )  <->  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  <_  ( B  /  1 ) ) )
2412, 23mpbid 214 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  <_  ( B  / 
1 ) )
25 nncn 10617 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  CC )
2625adantl 468 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  CC )
2726div1d 10375 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  /  1
)  =  B )
2824, 27breqtrd 4427 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  <_  B )
292, 28eqbrtrd 4423 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  (denom `  ( A  /  B ) )  <_  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    < clt 9675    <_ cle 9676    / cdiv 10269   NNcn 10609   ZZcz 10937    gcd cgcd 14468  numercnumer 14682  denomcdenom 14683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-dvds 14306  df-gcd 14469  df-numer 14684  df-denom 14685
This theorem is referenced by:  qden1elz  14706  irrapxlem5  35670
  Copyright terms: Public domain W3C validator