Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  divcnvshft Structured version   Unicode version

Theorem divcnvshft 28870
Description: Limit of a ratio function. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
divcnvshft.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
divcnvshft.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
divcnvshft.3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcnvshft.4  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
divcnvshft.5  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
divcnvshft.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( A  / 
( k  +  B
) ) )
Assertion
Ref Expression
divcnvshft  |-  ( ph  ->  F  ~~>  0 )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, F    ph, k    k, M    k, Z
Allowed substitution hint:    V( k)

Proof of Theorem divcnvshft
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divcnvshft.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcnv 13631 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
m  e.  NN  |->  ( A  /  m ) )  ~~>  0 )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( A  /  m
) )  ~~>  0 )
4 nnssz 10885 . . . . . . 7  |-  NN  C_  ZZ
5 resmpt 5323 . . . . . . 7  |-  ( NN  C_  ZZ  ->  ( (
m  e.  ZZ  |->  ( A  /  m ) )  |`  NN )  =  ( m  e.  NN  |->  ( A  /  m ) ) )
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ZZ  |->  ( A  /  m ) )  |`  NN )  =  ( m  e.  NN  |->  ( A  /  m ) )
7 nnuz 11118 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
87reseq2i 5270 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ZZ  |->  ( A  /  m ) )  |`  NN )  =  ( ( m  e.  ZZ  |->  ( A  /  m ) )  |`  ( ZZ>= `  1 )
)
96, 8eqtr3i 2498 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  |->  ( A  /  m ) )  =  ( ( m  e.  ZZ  |->  ( A  /  m ) )  |`  ( ZZ>= `  1 )
)
109breq1i 4454 . . . 4  |-  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  /  m ) )  ~~>  0  <->  ( (
m  e.  ZZ  |->  ( A  /  m ) )  |`  ( ZZ>= ` 
1 ) )  ~~>  0 )
11 1z 10895 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
12 zex 10874 . . . . . 6  |-  ZZ  e.  _V
1312mptex 6132 . . . . 5  |-  ( m  e.  ZZ  |->  ( A  /  m ) )  e.  _V
14 climres 13364 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( m  e.  ZZ  |->  ( A  /  m
) )  e.  _V )  ->  ( ( ( m  e.  ZZ  |->  ( A  /  m ) )  |`  ( ZZ>= ` 
1 ) )  ~~>  0  <->  (
m  e.  ZZ  |->  ( A  /  m ) )  ~~>  0 ) )
1511, 13, 14mp2an 672 . . . 4  |-  ( ( ( m  e.  ZZ  |->  ( A  /  m
) )  |`  ( ZZ>=
`  1 ) )  ~~>  0  <->  ( m  e.  ZZ  |->  ( A  /  m ) )  ~~>  0 )
1610, 15bitri 249 . . 3  |-  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  /  m ) )  ~~>  0  <->  ( m  e.  ZZ  |->  ( A  /  m ) )  ~~>  0 )
173, 16sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  ( m  e.  ZZ  |->  ( A  /  m
) )  ~~>  0 )
18 divcnvshft.1 . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
19 divcnvshft.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
20 divcnvshft.4 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
21 divcnvshft.5 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
2213a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( m  e.  ZZ  |->  ( A  /  m
) )  e.  _V )
23 uzssz 11102 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
2418, 23eqsstri 3534 . . . . . . . 8  |-  Z  C_  ZZ
2524sseli 3500 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
2625adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  ZZ )
2720adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  ZZ )
2826, 27zaddcld 10971 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
k  +  B )  e.  ZZ )
29 oveq2 6293 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( k  +  B )  ->  ( A  /  m )  =  ( A  /  (
k  +  B ) ) )
30 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( m  e.  ZZ  |->  ( A  /  m ) )  =  ( m  e.  ZZ  |->  ( A  /  m ) )
31 ovex 6310 . . . . . 6  |-  ( A  /  ( k  +  B ) )  e. 
_V
3229, 30, 31fvmpt 5951 . . . . 5  |-  ( ( k  +  B )  e.  ZZ  ->  (
( m  e.  ZZ  |->  ( A  /  m
) ) `  (
k  +  B ) )  =  ( A  /  ( k  +  B ) ) )
3328, 32syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( m  e.  ZZ  |->  ( A  /  m
) ) `  (
k  +  B ) )  =  ( A  /  ( k  +  B ) ) )
34 divcnvshft.6 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( A  / 
( k  +  B
) ) )
3533, 34eqtr4d 2511 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( m  e.  ZZ  |->  ( A  /  m
) ) `  (
k  +  B ) )  =  ( F `
 k ) )
3618, 19, 20, 21, 22, 35climshft2 13371 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  0  <->  (
m  e.  ZZ  |->  ( A  /  m ) )  ~~>  0 ) )
3717, 36mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  F  ~~>  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    |` cres 5001   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   CCcc 9491   0cc0 9493   1c1 9494    + caddc 9496    / cdiv 10207   NNcn 10537   ZZcz 10865   ZZ>=cuz 11083    ~~> cli 13273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-pm 7424  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-rp 11222  df-fl 11898  df-seq 12077  df-exp 12136  df-shft 12866  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-clim 13277  df-rlim 13278
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator