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Theorem divcnvlin 27402
Description: Limit of the ratio of two linear functions. (Contributed by Scott Fenton, 17-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
divcnvlin.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
divcnvlin.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
divcnvlin.3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcnvlin.4  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
divcnvlin.5  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
divcnvlin.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( ( k  +  A )  / 
( k  +  B
) ) )
Assertion
Ref Expression
divcnvlin  |-  ( ph  ->  F  ~~>  1 )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, F    ph, k    k, M    k, Z
Allowed substitution hint:    V( k)

Proof of Theorem divcnvlin
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nncn 10333 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
21adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  CC )
3 divcnvlin.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
4 divcnvlin.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
54zcnd 10751 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
63, 5subcld 9722 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
76adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( A  -  B )  e.  CC )
8 nnne0 10357 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  m  =/=  0 )
98adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  =/=  0 )
102, 7, 2, 9divdird 10148 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m )  =  ( ( m  /  m )  +  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) )
112, 9dividd 10108 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m  /  m )  =  1 )
1211oveq1d 6109 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  /  m )  +  ( ( A  -  B )  /  m ) )  =  ( 1  +  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) )
1310, 12eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m )  =  ( 1  +  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) )
1413mpteq2dva 4381 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B )  /  m ) ) ) )
15 nnuz 10899 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
16 1z 10679 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
18 divcnv 13319 . . . . . 6  |-  ( ( A  -  B )  e.  CC  ->  (
m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B
)  /  m ) )  ~~>  0 )
196, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B )  /  m
) )  ~~>  0 )
20 ax-1cn 9343 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
2120a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
22 nnex 10331 . . . . . . 7  |-  NN  e.  _V
2322mptex 5951 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B )  /  m ) ) )  e.  _V
2423a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) )  e.  _V )
257, 2, 9divcld 10110 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( A  -  B )  /  m )  e.  CC )
26 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B )  /  m ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B )  /  m ) )
2725, 26fmptd 5870 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B )  /  m
) ) : NN --> CC )
2827ffvelrnda 5846 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) `  k )  e.  CC )
29 oveq2 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  k  ->  (
( A  -  B
)  /  m )  =  ( ( A  -  B )  / 
k ) )
3029oveq2d 6110 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  (
1  +  ( ( A  -  B )  /  m ) )  =  ( 1  +  ( ( A  -  B )  /  k
) ) )
31 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B )  /  m ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B )  /  m
) ) )
32 ovex 6119 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  ( ( A  -  B )  / 
k ) )  e. 
_V
3330, 31, 32fvmpt 5777 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) ) `  k
)  =  ( 1  +  ( ( A  -  B )  / 
k ) ) )
34 ovex 6119 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  -  B )  /  k )  e. 
_V
3529, 26, 34fvmpt 5777 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B )  /  m
) ) `  k
)  =  ( ( A  -  B )  /  k ) )
3635oveq2d 6110 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  +  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) `  k ) )  =  ( 1  +  ( ( A  -  B )  / 
k ) ) )
3733, 36eqtr4d 2478 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) ) `  k
)  =  ( 1  +  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B )  /  m ) ) `
 k ) ) )
3837adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B )  /  m ) ) ) `  k )  =  ( 1  +  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B )  /  m ) ) `  k ) ) )
3915, 17, 19, 21, 24, 28, 38climaddc2 13116 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) )  ~~>  ( 1  +  0 ) )
4014, 39eqbrtrd 4315 . . 3  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) )  ~~>  ( 1  +  0 ) )
41 nnssz 10669 . . . . . . 7  |-  NN  C_  ZZ
42 resmpt 5159 . . . . . . 7  |-  ( NN  C_  ZZ  ->  ( (
m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  |`  NN )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) ) )
4341, 42ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  |`  NN )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )
4415reseq2i 5110 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  |`  NN )  =  ( ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  |`  ( ZZ>= `  1 )
)
4543, 44eqtr3i 2465 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  =  ( ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  |`  ( ZZ>= `  1 )
)
46 1p0e1 10437 . . . . 5  |-  ( 1  +  0 )  =  1
4745, 46breq12i 4304 . . . 4  |-  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  ~~>  ( 1  +  0 )  <->  ( (
m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  |`  ( ZZ>= ` 
1 ) )  ~~>  1 )
48 zex 10658 . . . . . 6  |-  ZZ  e.  _V
4948mptex 5951 . . . . 5  |-  ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  e.  _V
50 climres 13056 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) )  e.  _V )  ->  ( ( ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  |`  ( ZZ>= ` 
1 ) )  ~~>  1  <->  (
m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  ~~>  1 ) )
5116, 49, 50mp2an 672 . . . 4  |-  ( ( ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) )  |`  ( ZZ>=
`  1 ) )  ~~>  1  <->  ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  ~~>  1 )
5247, 51bitri 249 . . 3  |-  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  ~~>  ( 1  +  0 )  <->  ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  ~~>  1 )
5340, 52sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) )  ~~>  1 )
54 divcnvlin.1 . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
55 divcnvlin.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
56 divcnvlin.5 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
5749a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) )  e.  _V )
58 eluzelz 10873 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
5958, 54eleq2s 2535 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
6059zcnd 10751 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  CC )
6160adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  CC )
624adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  ZZ )
6362zcnd 10751 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
643adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  CC )
6561, 63, 64ppncand 9762 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( k  +  B
)  +  ( A  -  B ) )  =  ( k  +  A ) )
6665oveq1d 6109 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( k  +  B )  +  ( A  -  B ) )  /  ( k  +  B ) )  =  ( ( k  +  A )  / 
( k  +  B
) ) )
6759adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  ZZ )
6867, 62zaddcld 10754 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
k  +  B )  e.  ZZ )
69 oveq1 6101 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( k  +  B )  ->  (
m  +  ( A  -  B ) )  =  ( ( k  +  B )  +  ( A  -  B
) ) )
70 id 22 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( k  +  B )  ->  m  =  ( k  +  B ) )
7169, 70oveq12d 6112 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( k  +  B )  ->  (
( m  +  ( A  -  B ) )  /  m )  =  ( ( ( k  +  B )  +  ( A  -  B ) )  / 
( k  +  B
) ) )
72 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  =  ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )
73 ovex 6119 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  +  B
)  +  ( A  -  B ) )  /  ( k  +  B ) )  e. 
_V
7471, 72, 73fvmpt 5777 . . . . 5  |-  ( ( k  +  B )  e.  ZZ  ->  (
( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) ) `  (
k  +  B ) )  =  ( ( ( k  +  B
)  +  ( A  -  B ) )  /  ( k  +  B ) ) )
7568, 74syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) ) `  (
k  +  B ) )  =  ( ( ( k  +  B
)  +  ( A  -  B ) )  /  ( k  +  B ) ) )
76 divcnvlin.6 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( ( k  +  A )  / 
( k  +  B
) ) )
7766, 75, 763eqtr4d 2485 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) ) `  (
k  +  B ) )  =  ( F `
 k ) )
7854, 55, 4, 56, 57, 77climshft2 13063 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  1  <->  (
m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  ~~>  1 ) )
7953, 78mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  F  ~~>  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2609   _Vcvv 2975    C_ wss 3331   class class class wbr 4295    e. cmpt 4353    |` cres 4845   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   CCcc 9283   0cc0 9285   1c1 9286    + caddc 9288    - cmin 9598    / cdiv 9996   NNcn 10325   ZZcz 10649   ZZ>=cuz 10864    ~~> cli 12965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-er 7104  df-pm 7220  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-sup 7694  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-n0 10583  df-z 10650  df-uz 10865  df-rp 10995  df-fl 11645  df-seq 11810  df-exp 11869  df-shft 12559  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728  df-clim 12969  df-rlim 12970
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