Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  divcnvlin Structured version   Unicode version

Theorem divcnvlin 29336
Description: Limit of the ratio of two linear functions. (Contributed by Scott Fenton, 17-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
divcnvlin.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
divcnvlin.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
divcnvlin.3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcnvlin.4  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
divcnvlin.5  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
divcnvlin.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( ( k  +  A )  / 
( k  +  B
) ) )
Assertion
Ref Expression
divcnvlin  |-  ( ph  ->  F  ~~>  1 )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, F    ph, k    k, M    k, Z
Allowed substitution hint:    V( k)

Proof of Theorem divcnvlin
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nncn 10564 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
21adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  CC )
3 divcnvlin.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
4 divcnvlin.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
54zcnd 10991 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
63, 5subcld 9950 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
76adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( A  -  B )  e.  CC )
8 nnne0 10589 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  m  =/=  0 )
98adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  =/=  0 )
102, 7, 2, 9divdird 10379 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m )  =  ( ( m  /  m )  +  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) )
112, 9dividd 10339 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m  /  m )  =  1 )
1211oveq1d 6311 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  /  m )  +  ( ( A  -  B )  /  m ) )  =  ( 1  +  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) )
1310, 12eqtrd 2498 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m )  =  ( 1  +  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) )
1413mpteq2dva 4543 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B )  /  m ) ) ) )
15 nnuz 11141 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
16 1zzd 10916 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
17 divcnv 13677 . . . . . 6  |-  ( ( A  -  B )  e.  CC  ->  (
m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B
)  /  m ) )  ~~>  0 )
186, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B )  /  m
) )  ~~>  0 )
19 1cnd 9629 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
20 nnex 10562 . . . . . . 7  |-  NN  e.  _V
2120mptex 6144 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B )  /  m ) ) )  e.  _V
2221a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) )  e.  _V )
237, 2, 9divcld 10341 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( A  -  B )  /  m )  e.  CC )
24 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B )  /  m ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B )  /  m ) )
2523, 24fmptd 6056 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B )  /  m
) ) : NN --> CC )
2625ffvelrnda 6032 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) `  k )  e.  CC )
27 oveq2 6304 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  k  ->  (
( A  -  B
)  /  m )  =  ( ( A  -  B )  / 
k ) )
2827oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  (
1  +  ( ( A  -  B )  /  m ) )  =  ( 1  +  ( ( A  -  B )  /  k
) ) )
29 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B )  /  m ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B )  /  m
) ) )
30 ovex 6324 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  ( ( A  -  B )  / 
k ) )  e. 
_V
3128, 29, 30fvmpt 5956 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) ) `  k
)  =  ( 1  +  ( ( A  -  B )  / 
k ) ) )
32 ovex 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  -  B )  /  k )  e. 
_V
3327, 24, 32fvmpt 5956 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B )  /  m
) ) `  k
)  =  ( ( A  -  B )  /  k ) )
3433oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  +  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) `  k ) )  =  ( 1  +  ( ( A  -  B )  / 
k ) ) )
3531, 34eqtr4d 2501 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) ) `  k
)  =  ( 1  +  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B )  /  m ) ) `
 k ) ) )
3635adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B )  /  m ) ) ) `  k )  =  ( 1  +  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B )  /  m ) ) `  k ) ) )
3715, 16, 18, 19, 22, 26, 36climaddc2 13470 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) )  ~~>  ( 1  +  0 ) )
3814, 37eqbrtrd 4476 . . 3  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) )  ~~>  ( 1  +  0 ) )
39 nnssz 10905 . . . . . . 7  |-  NN  C_  ZZ
40 resmpt 5333 . . . . . . 7  |-  ( NN  C_  ZZ  ->  ( (
m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  |`  NN )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) ) )
4139, 40ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  |`  NN )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )
4215reseq2i 5280 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  |`  NN )  =  ( ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  |`  ( ZZ>= `  1 )
)
4341, 42eqtr3i 2488 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  =  ( ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  |`  ( ZZ>= `  1 )
)
44 1p0e1 10669 . . . . 5  |-  ( 1  +  0 )  =  1
4543, 44breq12i 4465 . . . 4  |-  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  ~~>  ( 1  +  0 )  <->  ( (
m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  |`  ( ZZ>= ` 
1 ) )  ~~>  1 )
46 1z 10915 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
47 zex 10894 . . . . . 6  |-  ZZ  e.  _V
4847mptex 6144 . . . . 5  |-  ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  e.  _V
49 climres 13410 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) )  e.  _V )  ->  ( ( ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  |`  ( ZZ>= ` 
1 ) )  ~~>  1  <->  (
m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  ~~>  1 ) )
5046, 48, 49mp2an 672 . . . 4  |-  ( ( ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) )  |`  ( ZZ>=
`  1 ) )  ~~>  1  <->  ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  ~~>  1 )
5145, 50bitri 249 . . 3  |-  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  ~~>  ( 1  +  0 )  <->  ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  ~~>  1 )
5238, 51sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) )  ~~>  1 )
53 divcnvlin.1 . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
54 divcnvlin.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
55 divcnvlin.5 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
5648a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) )  e.  _V )
57 eluzelz 11115 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
5857, 53eleq2s 2565 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
5958zcnd 10991 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  CC )
6059adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  CC )
614adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  ZZ )
6261zcnd 10991 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
633adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  CC )
6460, 62, 63ppncand 9990 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( k  +  B
)  +  ( A  -  B ) )  =  ( k  +  A ) )
6564oveq1d 6311 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( k  +  B )  +  ( A  -  B ) )  /  ( k  +  B ) )  =  ( ( k  +  A )  / 
( k  +  B
) ) )
6658adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  ZZ )
6766, 61zaddcld 10994 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
k  +  B )  e.  ZZ )
68 oveq1 6303 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( k  +  B )  ->  (
m  +  ( A  -  B ) )  =  ( ( k  +  B )  +  ( A  -  B
) ) )
69 id 22 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( k  +  B )  ->  m  =  ( k  +  B ) )
7068, 69oveq12d 6314 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( k  +  B )  ->  (
( m  +  ( A  -  B ) )  /  m )  =  ( ( ( k  +  B )  +  ( A  -  B ) )  / 
( k  +  B
) ) )
71 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  =  ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )
72 ovex 6324 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  +  B
)  +  ( A  -  B ) )  /  ( k  +  B ) )  e. 
_V
7370, 71, 72fvmpt 5956 . . . . 5  |-  ( ( k  +  B )  e.  ZZ  ->  (
( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) ) `  (
k  +  B ) )  =  ( ( ( k  +  B
)  +  ( A  -  B ) )  /  ( k  +  B ) ) )
7467, 73syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) ) `  (
k  +  B ) )  =  ( ( ( k  +  B
)  +  ( A  -  B ) )  /  ( k  +  B ) ) )
75 divcnvlin.6 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( ( k  +  A )  / 
( k  +  B
) ) )
7665, 74, 753eqtr4d 2508 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) ) `  (
k  +  B ) )  =  ( F `
 k ) )
7753, 54, 4, 55, 56, 76climshft2 13417 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  1  <->  (
m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  ~~>  1 ) )
7852, 77mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  F  ~~>  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    |` cres 5010   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    - cmin 9824    / cdiv 10227   NNcn 10556   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106    ~~> cli 13319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-rlim 13324
This theorem is referenced by:  faclimlem2  29387  faclim2  29391
  Copyright terms: Public domain W3C validator