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Theorem divcnvlin 27246
Description: Limit of the ratio of two linear functions. (Contributed by Scott Fenton, 17-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
divcnvlin.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
divcnvlin.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
divcnvlin.3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcnvlin.4  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
divcnvlin.5  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
divcnvlin.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( ( k  +  A )  / 
( k  +  B
) ) )
Assertion
Ref Expression
divcnvlin  |-  ( ph  ->  F  ~~>  1 )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, F    ph, k    k, M    k, Z
Allowed substitution hint:    V( k)

Proof of Theorem divcnvlin
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nncn 10318 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
21adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  CC )
3 divcnvlin.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
4 divcnvlin.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
54zcnd 10736 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
63, 5subcld 9707 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
76adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( A  -  B )  e.  CC )
8 nnne0 10342 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  m  =/=  0 )
98adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  =/=  0 )
102, 7, 2, 9divdird 10133 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m )  =  ( ( m  /  m )  +  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) )
112, 9dividd 10093 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m  /  m )  =  1 )
1211oveq1d 6095 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  /  m )  +  ( ( A  -  B )  /  m ) )  =  ( 1  +  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) )
1310, 12eqtrd 2465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m )  =  ( 1  +  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) )
1413mpteq2dva 4366 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B )  /  m ) ) ) )
15 nnuz 10884 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
16 1z 10664 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
18 divcnv 13299 . . . . . 6  |-  ( ( A  -  B )  e.  CC  ->  (
m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B
)  /  m ) )  ~~>  0 )
196, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B )  /  m
) )  ~~>  0 )
20 ax-1cn 9328 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
2120a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
22 nnex 10316 . . . . . . 7  |-  NN  e.  _V
2322mptex 5935 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B )  /  m ) ) )  e.  _V
2423a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) )  e.  _V )
257, 2, 9divcld 10095 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( A  -  B )  /  m )  e.  CC )
26 eqid 2433 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B )  /  m ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B )  /  m ) )
2725, 26fmptd 5855 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B )  /  m
) ) : NN --> CC )
2827ffvelrnda 5831 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) `  k )  e.  CC )
29 oveq2 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  k  ->  (
( A  -  B
)  /  m )  =  ( ( A  -  B )  / 
k ) )
3029oveq2d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  (
1  +  ( ( A  -  B )  /  m ) )  =  ( 1  +  ( ( A  -  B )  /  k
) ) )
31 eqid 2433 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B )  /  m ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B )  /  m
) ) )
32 ovex 6105 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  ( ( A  -  B )  / 
k ) )  e. 
_V
3330, 31, 32fvmpt 5762 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) ) `  k
)  =  ( 1  +  ( ( A  -  B )  / 
k ) ) )
34 ovex 6105 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  -  B )  /  k )  e. 
_V
3529, 26, 34fvmpt 5762 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B )  /  m
) ) `  k
)  =  ( ( A  -  B )  /  k ) )
3635oveq2d 6096 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  +  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) `  k ) )  =  ( 1  +  ( ( A  -  B )  / 
k ) ) )
3733, 36eqtr4d 2468 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) ) `  k
)  =  ( 1  +  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B )  /  m ) ) `
 k ) ) )
3837adantl 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B )  /  m ) ) ) `  k )  =  ( 1  +  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B )  /  m ) ) `  k ) ) )
3915, 17, 19, 21, 24, 28, 38climaddc2 13097 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) )  ~~>  ( 1  +  0 ) )
4014, 39eqbrtrd 4300 . . 3  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) )  ~~>  ( 1  +  0 ) )
41 nnssz 10654 . . . . . . 7  |-  NN  C_  ZZ
42 resmpt 5144 . . . . . . 7  |-  ( NN  C_  ZZ  ->  ( (
m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  |`  NN )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) ) )
4341, 42ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  |`  NN )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )
4415reseq2i 5094 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  |`  NN )  =  ( ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  |`  ( ZZ>= `  1 )
)
4543, 44eqtr3i 2455 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  =  ( ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  |`  ( ZZ>= `  1 )
)
46 1p0e1 10422 . . . . 5  |-  ( 1  +  0 )  =  1
4745, 46breq12i 4289 . . . 4  |-  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  ~~>  ( 1  +  0 )  <->  ( (
m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  |`  ( ZZ>= ` 
1 ) )  ~~>  1 )
48 zex 10643 . . . . . 6  |-  ZZ  e.  _V
4948mptex 5935 . . . . 5  |-  ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  e.  _V
50 climres 13037 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) )  e.  _V )  ->  ( ( ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  |`  ( ZZ>= ` 
1 ) )  ~~>  1  <->  (
m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  ~~>  1 ) )
5116, 49, 50mp2an 665 . . . 4  |-  ( ( ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) )  |`  ( ZZ>=
`  1 ) )  ~~>  1  <->  ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  ~~>  1 )
5247, 51bitri 249 . . 3  |-  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  ~~>  ( 1  +  0 )  <->  ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  ~~>  1 )
5340, 52sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) )  ~~>  1 )
54 divcnvlin.1 . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
55 divcnvlin.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
56 divcnvlin.5 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
5749a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) )  e.  _V )
58 eluzelz 10858 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
5958, 54eleq2s 2525 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
6059zcnd 10736 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  CC )
6160adantl 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  CC )
624adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  ZZ )
6362zcnd 10736 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
643adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  CC )
6561, 63, 64ppncand 9747 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( k  +  B
)  +  ( A  -  B ) )  =  ( k  +  A ) )
6665oveq1d 6095 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( k  +  B )  +  ( A  -  B ) )  /  ( k  +  B ) )  =  ( ( k  +  A )  / 
( k  +  B
) ) )
6759adantl 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  ZZ )
6867, 62zaddcld 10739 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
k  +  B )  e.  ZZ )
69 oveq1 6087 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( k  +  B )  ->  (
m  +  ( A  -  B ) )  =  ( ( k  +  B )  +  ( A  -  B
) ) )
70 id 22 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( k  +  B )  ->  m  =  ( k  +  B ) )
7169, 70oveq12d 6098 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( k  +  B )  ->  (
( m  +  ( A  -  B ) )  /  m )  =  ( ( ( k  +  B )  +  ( A  -  B ) )  / 
( k  +  B
) ) )
72 eqid 2433 . . . . . 6  |-  ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  =  ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )
73 ovex 6105 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  +  B
)  +  ( A  -  B ) )  /  ( k  +  B ) )  e. 
_V
7471, 72, 73fvmpt 5762 . . . . 5  |-  ( ( k  +  B )  e.  ZZ  ->  (
( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) ) `  (
k  +  B ) )  =  ( ( ( k  +  B
)  +  ( A  -  B ) )  /  ( k  +  B ) ) )
7568, 74syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) ) `  (
k  +  B ) )  =  ( ( ( k  +  B
)  +  ( A  -  B ) )  /  ( k  +  B ) ) )
76 divcnvlin.6 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( ( k  +  A )  / 
( k  +  B
) ) )
7766, 75, 763eqtr4d 2475 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) ) `  (
k  +  B ) )  =  ( F `
 k ) )
7854, 55, 4, 56, 57, 77climshft2 13044 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  1  <->  (
m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  ~~>  1 ) )
7953, 78mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  F  ~~>  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   _Vcvv 2962    C_ wss 3316   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338    |` cres 4829   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9268   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273    - cmin 9583    / cdiv 9981   NNcn 10310   ZZcz 10634   ZZ>=cuz 10849    ~~> cli 12946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-pm 7205  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-sup 7679  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-rp 10980  df-fl 11626  df-seq 11791  df-exp 11850  df-shft 12540  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-clim 12950  df-rlim 12951
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