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Theorem divcnvlin 28581
Description: Limit of the ratio of two linear functions. (Contributed by Scott Fenton, 17-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
divcnvlin.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
divcnvlin.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
divcnvlin.3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcnvlin.4  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
divcnvlin.5  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
divcnvlin.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( ( k  +  A )  / 
( k  +  B
) ) )
Assertion
Ref Expression
divcnvlin  |-  ( ph  ->  F  ~~>  1 )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, F    ph, k    k, M    k, Z
Allowed substitution hint:    V( k)

Proof of Theorem divcnvlin
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nncn 10533 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
21adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  CC )
3 divcnvlin.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
4 divcnvlin.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
54zcnd 10956 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
63, 5subcld 9919 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
76adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( A  -  B )  e.  CC )
8 nnne0 10557 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  m  =/=  0 )
98adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  =/=  0 )
102, 7, 2, 9divdird 10347 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m )  =  ( ( m  /  m )  +  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) )
112, 9dividd 10307 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m  /  m )  =  1 )
1211oveq1d 6290 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  /  m )  +  ( ( A  -  B )  /  m ) )  =  ( 1  +  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) )
1310, 12eqtrd 2501 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m )  =  ( 1  +  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) )
1413mpteq2dva 4526 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B )  /  m ) ) ) )
15 nnuz 11106 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
16 1z 10883 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
18 divcnv 13617 . . . . . 6  |-  ( ( A  -  B )  e.  CC  ->  (
m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B
)  /  m ) )  ~~>  0 )
196, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B )  /  m
) )  ~~>  0 )
20 ax-1cn 9539 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
2120a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
22 nnex 10531 . . . . . . 7  |-  NN  e.  _V
2322mptex 6122 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B )  /  m ) ) )  e.  _V
2423a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) )  e.  _V )
257, 2, 9divcld 10309 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( A  -  B )  /  m )  e.  CC )
26 eqid 2460 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B )  /  m ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B )  /  m ) )
2725, 26fmptd 6036 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B )  /  m
) ) : NN --> CC )
2827ffvelrnda 6012 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) `  k )  e.  CC )
29 oveq2 6283 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  k  ->  (
( A  -  B
)  /  m )  =  ( ( A  -  B )  / 
k ) )
3029oveq2d 6291 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  (
1  +  ( ( A  -  B )  /  m ) )  =  ( 1  +  ( ( A  -  B )  /  k
) ) )
31 eqid 2460 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B )  /  m ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B )  /  m
) ) )
32 ovex 6300 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  ( ( A  -  B )  / 
k ) )  e. 
_V
3330, 31, 32fvmpt 5941 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) ) `  k
)  =  ( 1  +  ( ( A  -  B )  / 
k ) ) )
34 ovex 6300 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  -  B )  /  k )  e. 
_V
3529, 26, 34fvmpt 5941 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B )  /  m
) ) `  k
)  =  ( ( A  -  B )  /  k ) )
3635oveq2d 6291 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  +  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) `  k ) )  =  ( 1  +  ( ( A  -  B )  / 
k ) ) )
3733, 36eqtr4d 2504 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) ) `  k
)  =  ( 1  +  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B )  /  m ) ) `
 k ) ) )
3837adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B )  /  m ) ) ) `  k )  =  ( 1  +  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B )  /  m ) ) `  k ) ) )
3915, 17, 19, 21, 24, 28, 38climaddc2 13407 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) )  ~~>  ( 1  +  0 ) )
4014, 39eqbrtrd 4460 . . 3  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) )  ~~>  ( 1  +  0 ) )
41 nnssz 10873 . . . . . . 7  |-  NN  C_  ZZ
42 resmpt 5314 . . . . . . 7  |-  ( NN  C_  ZZ  ->  ( (
m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  |`  NN )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) ) )
4341, 42ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  |`  NN )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )
4415reseq2i 5261 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  |`  NN )  =  ( ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  |`  ( ZZ>= `  1 )
)
4543, 44eqtr3i 2491 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  =  ( ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  |`  ( ZZ>= `  1 )
)
46 1p0e1 10637 . . . . 5  |-  ( 1  +  0 )  =  1
4745, 46breq12i 4449 . . . 4  |-  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  ~~>  ( 1  +  0 )  <->  ( (
m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  |`  ( ZZ>= ` 
1 ) )  ~~>  1 )
48 zex 10862 . . . . . 6  |-  ZZ  e.  _V
4948mptex 6122 . . . . 5  |-  ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  e.  _V
50 climres 13347 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) )  e.  _V )  ->  ( ( ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  |`  ( ZZ>= ` 
1 ) )  ~~>  1  <->  (
m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  ~~>  1 ) )
5116, 49, 50mp2an 672 . . . 4  |-  ( ( ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) )  |`  ( ZZ>=
`  1 ) )  ~~>  1  <->  ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  ~~>  1 )
5247, 51bitri 249 . . 3  |-  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  ~~>  ( 1  +  0 )  <->  ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  ~~>  1 )
5340, 52sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) )  ~~>  1 )
54 divcnvlin.1 . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
55 divcnvlin.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
56 divcnvlin.5 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
5749a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) )  e.  _V )
58 eluzelz 11080 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
5958, 54eleq2s 2568 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
6059zcnd 10956 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  CC )
6160adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  CC )
624adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  ZZ )
6362zcnd 10956 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
643adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  CC )
6561, 63, 64ppncand 9959 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( k  +  B
)  +  ( A  -  B ) )  =  ( k  +  A ) )
6665oveq1d 6290 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( k  +  B )  +  ( A  -  B ) )  /  ( k  +  B ) )  =  ( ( k  +  A )  / 
( k  +  B
) ) )
6759adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  ZZ )
6867, 62zaddcld 10959 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
k  +  B )  e.  ZZ )
69 oveq1 6282 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( k  +  B )  ->  (
m  +  ( A  -  B ) )  =  ( ( k  +  B )  +  ( A  -  B
) ) )
70 id 22 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( k  +  B )  ->  m  =  ( k  +  B ) )
7169, 70oveq12d 6293 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( k  +  B )  ->  (
( m  +  ( A  -  B ) )  /  m )  =  ( ( ( k  +  B )  +  ( A  -  B ) )  / 
( k  +  B
) ) )
72 eqid 2460 . . . . . 6  |-  ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  =  ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )
73 ovex 6300 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  +  B
)  +  ( A  -  B ) )  /  ( k  +  B ) )  e. 
_V
7471, 72, 73fvmpt 5941 . . . . 5  |-  ( ( k  +  B )  e.  ZZ  ->  (
( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) ) `  (
k  +  B ) )  =  ( ( ( k  +  B
)  +  ( A  -  B ) )  /  ( k  +  B ) ) )
7568, 74syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) ) `  (
k  +  B ) )  =  ( ( ( k  +  B
)  +  ( A  -  B ) )  /  ( k  +  B ) ) )
76 divcnvlin.6 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( ( k  +  A )  / 
( k  +  B
) ) )
7766, 75, 763eqtr4d 2511 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) ) `  (
k  +  B ) )  =  ( F `
 k ) )
7854, 55, 4, 56, 57, 77climshft2 13354 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  1  <->  (
m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  ~~>  1 ) )
7953, 78mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  F  ~~>  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   _Vcvv 3106    C_ wss 3469   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498    |` cres 4994   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    - cmin 9794    / cdiv 10195   NNcn 10525   ZZcz 10853   ZZ>=cuz 11071    ~~> cli 13256
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-fl 11886  df-seq 12064  df-exp 12123  df-shft 12850  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-rlim 13261
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