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Theorem divcnvlin 25165
Description: Limit of the ratio of two linear functions. (Contributed by Scott Fenton, 17-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
divcnvlin.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
divcnvlin.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
divcnvlin.3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcnvlin.4  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
divcnvlin.5  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
divcnvlin.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( ( k  +  A )  / 
( k  +  B
) ) )
Assertion
Ref Expression
divcnvlin  |-  ( ph  ->  F  ~~>  1 )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, F    ph, k    k, M    k, Z
Allowed substitution hint:    V( k)

Proof of Theorem divcnvlin
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nncn 9964 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
21adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  CC )
3 divcnvlin.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
4 divcnvlin.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
54zcnd 10332 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
63, 5subcld 9367 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
76adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( A  -  B )  e.  CC )
8 nnne0 9988 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  m  =/=  0 )
98adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  =/=  0 )
102, 7, 2, 9divdird 9784 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m )  =  ( ( m  /  m )  +  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) )
112, 9dividd 9744 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m  /  m )  =  1 )
1211oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  /  m )  +  ( ( A  -  B )  /  m ) )  =  ( 1  +  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) )
1310, 12eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m )  =  ( 1  +  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) )
1413mpteq2dva 4255 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B )  /  m ) ) ) )
15 nnuz 10477 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
16 1z 10267 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
18 divcnv 12588 . . . . . 6  |-  ( ( A  -  B )  e.  CC  ->  (
m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B
)  /  m ) )  ~~>  0 )
196, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B )  /  m
) )  ~~>  0 )
20 ax-1cn 9004 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
2120a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
22 nnex 9962 . . . . . . 7  |-  NN  e.  _V
2322mptex 5925 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B )  /  m ) ) )  e.  _V
2423a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) )  e.  _V )
257, 2, 9divcld 9746 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( A  -  B )  /  m )  e.  CC )
26 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B )  /  m ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B )  /  m ) )
2725, 26fmptd 5852 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B )  /  m
) ) : NN --> CC )
2827ffvelrnda 5829 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) `  k )  e.  CC )
29 oveq2 6048 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  k  ->  (
( A  -  B
)  /  m )  =  ( ( A  -  B )  / 
k ) )
3029oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  (
1  +  ( ( A  -  B )  /  m ) )  =  ( 1  +  ( ( A  -  B )  /  k
) ) )
31 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B )  /  m ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B )  /  m
) ) )
32 ovex 6065 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  ( ( A  -  B )  / 
k ) )  e. 
_V
3330, 31, 32fvmpt 5765 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) ) `  k
)  =  ( 1  +  ( ( A  -  B )  / 
k ) ) )
34 ovex 6065 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  -  B )  /  k )  e. 
_V
3529, 26, 34fvmpt 5765 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B )  /  m
) ) `  k
)  =  ( ( A  -  B )  /  k ) )
3635oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  +  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) `  k ) )  =  ( 1  +  ( ( A  -  B )  / 
k ) ) )
3733, 36eqtr4d 2439 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) ) `  k
)  =  ( 1  +  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B )  /  m ) ) `
 k ) ) )
3837adantl 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B )  /  m ) ) ) `  k )  =  ( 1  +  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A  -  B )  /  m ) ) `  k ) ) )
3915, 17, 19, 21, 24, 28, 38climaddc2 12384 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( 1  +  ( ( A  -  B
)  /  m ) ) )  ~~>  ( 1  +  0 ) )
4014, 39eqbrtrd 4192 . . 3  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) )  ~~>  ( 1  +  0 ) )
41 nnssz 10257 . . . . . . 7  |-  NN  C_  ZZ
42 resmpt 5150 . . . . . . 7  |-  ( NN  C_  ZZ  ->  ( (
m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  |`  NN )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) ) )
4341, 42ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  |`  NN )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )
4415reseq2i 5102 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  |`  NN )  =  ( ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  |`  ( ZZ>= `  1 )
)
4543, 44eqtr3i 2426 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  =  ( ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  |`  ( ZZ>= `  1 )
)
4620addid1i 9209 . . . . 5  |-  ( 1  +  0 )  =  1
4745, 46breq12i 4181 . . . 4  |-  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  ~~>  ( 1  +  0 )  <->  ( (
m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  |`  ( ZZ>= ` 
1 ) )  ~~>  1 )
48 zex 10247 . . . . . 6  |-  ZZ  e.  _V
4948mptex 5925 . . . . 5  |-  ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  e.  _V
50 climres 12324 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) )  e.  _V )  ->  ( ( ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  |`  ( ZZ>= ` 
1 ) )  ~~>  1  <->  (
m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  ~~>  1 ) )
5116, 49, 50mp2an 654 . . . 4  |-  ( ( ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) )  |`  ( ZZ>=
`  1 ) )  ~~>  1  <->  ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  ~~>  1 )
5247, 51bitri 241 . . 3  |-  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  ~~>  ( 1  +  0 )  <->  ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  ~~>  1 )
5340, 52sylib 189 . 2  |-  ( ph  ->  ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) )  ~~>  1 )
54 divcnvlin.1 . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
55 divcnvlin.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
56 divcnvlin.5 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
5749a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) )  e.  _V )
58 eluzelz 10452 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
5958, 54eleq2s 2496 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
6059zcnd 10332 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  CC )
6160adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  CC )
624adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  ZZ )
6362zcnd 10332 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
643adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  CC )
6561, 63, 64ppncand 9407 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( k  +  B
)  +  ( A  -  B ) )  =  ( k  +  A ) )
6665oveq1d 6055 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( k  +  B )  +  ( A  -  B ) )  /  ( k  +  B ) )  =  ( ( k  +  A )  / 
( k  +  B
) ) )
6759adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  ZZ )
6867, 62zaddcld 10335 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
k  +  B )  e.  ZZ )
69 oveq1 6047 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( k  +  B )  ->  (
m  +  ( A  -  B ) )  =  ( ( k  +  B )  +  ( A  -  B
) ) )
70 id 20 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( k  +  B )  ->  m  =  ( k  +  B ) )
7169, 70oveq12d 6058 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( k  +  B )  ->  (
( m  +  ( A  -  B ) )  /  m )  =  ( ( ( k  +  B )  +  ( A  -  B ) )  / 
( k  +  B
) ) )
72 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  =  ( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )
73 ovex 6065 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  +  B
)  +  ( A  -  B ) )  /  ( k  +  B ) )  e. 
_V
7471, 72, 73fvmpt 5765 . . . . 5  |-  ( ( k  +  B )  e.  ZZ  ->  (
( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) ) `  (
k  +  B ) )  =  ( ( ( k  +  B
)  +  ( A  -  B ) )  /  ( k  +  B ) ) )
7568, 74syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) ) `  (
k  +  B ) )  =  ( ( ( k  +  B
)  +  ( A  -  B ) )  /  ( k  +  B ) ) )
76 divcnvlin.6 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( ( k  +  A )  / 
( k  +  B
) ) )
7766, 75, 763eqtr4d 2446 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B
) )  /  m
) ) `  (
k  +  B ) )  =  ( F `
 k ) )
7854, 55, 4, 56, 57, 77climshft2 12331 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  1  <->  (
m  e.  ZZ  |->  ( ( m  +  ( A  -  B ) )  /  m ) )  ~~>  1 ) )
7953, 78mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  F  ~~>  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    |` cres 4839   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444    ~~> cli 12233
This theorem is referenced by:  faclimlem2  25311  faclim2  25315
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238
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