MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcnv Structured version   Unicode version

Theorem divcnv 13645
Description: The sequence of reciprocals of positive integers, multiplied by the factor  A, converges to zero. (Contributed by NM, 6-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
divcnv  |-  ( A  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( A  /  n ) )  ~~>  0 )
Distinct variable group:    A, n

Proof of Theorem divcnv
StepHypRef Expression
1 nnrp 11241 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
21ssriv 3513 . . . 4  |-  NN  C_  RR+
32a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  NN  C_  RR+ )
4 divrcnv 13644 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( A  /  n ) )  ~~> r  0 )
53, 4rlimres2 13364 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( A  /  n ) )  ~~> r  0 )
6 nnuz 11129 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
7 1zzd 10907 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  1  e.  ZZ )
8 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  n  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
9 nncn 10556 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
109adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  CC )
11 nnne0 10580 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
1211adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  n  e.  NN )  ->  n  =/=  0 )
138, 10, 12divcld 10332 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  n  e.  NN )  ->  ( A  /  n
)  e.  CC )
14 eqid 2467 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  ( A  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( A  /  n ) )
1513, 14fmptd 6056 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( A  /  n ) ) : NN --> CC )
166, 7, 15rlimclim 13349 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( A  /  n
) )  ~~> r  0  <-> 
( n  e.  NN  |->  ( A  /  n
) )  ~~>  0 ) )
175, 16mpbid 210 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( A  /  n ) )  ~~>  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767    =/= wne 2662    C_ wss 3481   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511  (class class class)co 6295   CCcc 9502   0cc0 9504   1c1 9505    / cdiv 10218   NNcn 10548   RR+crp 11232    ~~> cli 13287    ~~> r crli 13288
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fl 11909  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291  df-rlim 13292
This theorem is referenced by:  supcvg  13647  trireciplem  13653  expcnv  13655  plyeq0lem  22475  leibpi  23139  emcllem4  23194  basellem6  23225  lgamcvg2  28413  circum  28856  divcnvshft  28935  divcnvlin  28936  hashnzfzclim  31142  clim1fr1  31457  divcnvg  31483  stirlinglem1  31688
  Copyright terms: Public domain W3C validator