MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan5rd Structured version   Unicode version

Theorem divcan5rd 10308
Description: Cancellation of common factor in a ratio. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divmuld.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
divmuld.4  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
divdiv23d.5  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divcan5rd  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  C )  /  ( B  x.  C )
)  =  ( A  /  B ) )

Proof of Theorem divcan5rd
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divmuld.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
31, 2mulcomd 9567 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  x.  C
)  =  ( C  x.  A ) )
4 divcld.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
54, 2mulcomd 9567 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  x.  C
)  =  ( C  x.  B ) )
63, 5oveq12d 6252 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  C )  /  ( B  x.  C )
)  =  ( ( C  x.  A )  /  ( C  x.  B ) ) )
7 divmuld.4 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
8 divdiv23d.5 . . 3  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
91, 4, 2, 7, 8divcan5d 10307 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  A )  /  ( C  x.  B )
)  =  ( A  /  B ) )
106, 9eqtrd 2443 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  C )  /  ( B  x.  C )
)  =  ( A  /  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598  (class class class)co 6234   CCcc 9440   0cc0 9442    x. cmul 9447    / cdiv 10167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168
This theorem is referenced by:  dvtaylp  22949  chordthmlem2  23381  itg2addnclem  31420  dvmptdiv  37064  stirlinglem1  37206  dirkertrigeqlem2  37231  dirkercncflem2  37236  sigardiv  37428
  Copyright terms: Public domain W3C validator