MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan5d Structured version   Unicode version

Theorem divcan5d 10411
Description: Cancellation of common factor in a ratio. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divmuld.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
divmuld.4  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
divdiv23d.5  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divcan5d  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  A )  /  ( C  x.  B )
)  =  ( A  /  B ) )

Proof of Theorem divcan5d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divmuld.4 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divmuld.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
5 divdiv23d.5 . 2  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
6 divcan5 10311 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  /\  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )  -> 
( ( C  x.  A )  /  ( C  x.  B )
)  =  ( A  /  B ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6syl122anc 1274 1  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  A )  /  ( C  x.  B )
)  =  ( A  /  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1438    e. wcel 1869    =/= wne 2619  (class class class)co 6303   CCcc 9539   0cc0 9541    x. cmul 9546    / cdiv 10271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272
This theorem is referenced by:  divcan5rd  10412  discr  12410  bcm1k  12501  bcval5  12504  trireciplem  13913  tanval3  14181  tanadd  14214  bitsinv1lem  14408  lcmgcdlem  14564  pjthlem1  22383  tanarg  23560  advlogexp  23592  angcan  23723  isosctrlem2  23740  mcubic  23765  cubic2  23766  dquart  23771  2efiatan  23836  dvatan  23853  cxp2limlem  23893  chebbnd1lem3  24301  pntrsumo1  24395  pnt  24444  pjhthlem1  27036  subfaclim  29913  faclimlem1  30380  areacirclem1  31990  binomcxplemwb  36599  dirkertrigeqlem1  37824  dirkercncflem1  37829
  Copyright terms: Public domain W3C validator