MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan4d Structured version   Unicode version

Theorem divcan4d 10105
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divcan4d  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  /  B
)  =  A )

Proof of Theorem divcan4d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divcan4 10011 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  x.  B
)  /  B )  =  A )
51, 2, 3, 4syl3anc 1218 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  /  B
)  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601  (class class class)co 6086   CCcc 9272   0cc0 9274    x. cmul 9279    / cdiv 9985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986
This theorem is referenced by:  mvllmuld  10155  mulge0b  10191  ltmuldiv  10194  rimul  10305  2txmodxeq0  11751  expaddzlem  11899  facdiv  12055  permnn  12094  cjdiv  12645  sqrdiv  12747  absdiv  12776  sqreulem  12839  gcddiv  13725  sylow2blem3  16112  cnflddiv  17826  cnsubrg  17853  i1fmullem  21152  mbfi1fseqlem3  21175  mbfi1fseqlem6  21178  dvsincos  21433  ftc1lem4  21491  vieta1lem2  21757  aaliou3lem9  21796  root1eq1  22173  lawcoslem1  22191  chordthmlem2  22208  chordthmlem4  22210  dcubic1lem  22218  dcubic2  22219  dquartlem1  22226  efiatan2  22292  tanatan  22294  basellem3  22400  bclbnd  22599  2sqlem3  22685  vmadivsum  22711  dchrmusum2  22723  dchrmusumlem  22751  vmalogdivsum  22768  selberg3lem1  22786  pntrlog2bndlem4  22809  pntlemb  22826  normcan  24947  mul2lt0rlt0  26006  nnlogbexp  26432  dya2icoseg  26661  bayesth  26791  regamcl  27016  ftc1cnnclem  28436  dvasin  28451  pellexlem2  29142  pellexlem6  29146  hashgcdlem  29536  proot1ex  29540  wallispilem5  29835  stirlinglem3  29842  stirlinglem4  29843  stirlinglem15  29854  mvlrmuld  31057  bj-ldiv  32489  bj-bary1lem  32494
  Copyright terms: Public domain W3C validator