MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan4d Structured version   Unicode version

Theorem divcan4d 10214
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divcan4d  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  /  B
)  =  A )

Proof of Theorem divcan4d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divcan4 10120 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  x.  B
)  /  B )  =  A )
51, 2, 3, 4syl3anc 1219 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  /  B
)  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644  (class class class)co 6190   CCcc 9381   0cc0 9383    x. cmul 9388    / cdiv 10094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095
This theorem is referenced by:  mvllmuld  10264  mulge0b  10300  ltmuldiv  10303  rimul  10414  2txmodxeq0  11860  expaddzlem  12008  facdiv  12164  permnn  12203  cjdiv  12755  sqrdiv  12857  absdiv  12886  sqreulem  12949  gcddiv  13835  sylow2blem3  16225  cnflddiv  17955  cnsubrg  17982  i1fmullem  21288  mbfi1fseqlem3  21311  mbfi1fseqlem6  21314  dvsincos  21569  ftc1lem4  21627  vieta1lem2  21893  aaliou3lem9  21932  root1eq1  22309  lawcoslem1  22327  chordthmlem2  22344  chordthmlem4  22346  dcubic1lem  22354  dcubic2  22355  dquartlem1  22362  efiatan2  22428  tanatan  22430  basellem3  22536  bclbnd  22735  2sqlem3  22821  vmadivsum  22847  dchrmusum2  22859  dchrmusumlem  22887  vmalogdivsum  22904  selberg3lem1  22922  pntrlog2bndlem4  22945  pntlemb  22962  normcan  25114  mul2lt0rlt0  26172  nnlogbexp  26597  dya2icoseg  26826  bayesth  26956  regamcl  27181  ftc1cnnclem  28603  dvasin  28618  pellexlem2  29309  pellexlem6  29313  hashgcdlem  29703  proot1ex  29707  wallispilem5  30002  stirlinglem3  30009  stirlinglem4  30010  stirlinglem15  30021  mvlrmuld  31428  bj-ldiv  32900  bj-bary1lem  32905
  Copyright terms: Public domain W3C validator