MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan4d Structured version   Unicode version

Theorem divcan4d 10315
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divcan4d  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  /  B
)  =  A )

Proof of Theorem divcan4d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divcan4 10221 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  x.  B
)  /  B )  =  A )
51, 2, 3, 4syl3anc 1223 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  /  B
)  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655  (class class class)co 6275   CCcc 9479   0cc0 9481    x. cmul 9486    / cdiv 10195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196
This theorem is referenced by:  mvllmuld  10365  mulge0b  10401  ltmuldiv  10404  rimul  10516  2txmodxeq0  12003  expaddzlem  12164  facdiv  12320  permnn  12359  cjdiv  12947  sqrdiv  13049  absdiv  13078  sqreulem  13141  gcddiv  14035  sylow2blem3  16431  cnflddiv  18212  cnsubrg  18239  i1fmullem  21829  mbfi1fseqlem3  21852  mbfi1fseqlem6  21855  dvsincos  22110  ftc1lem4  22168  vieta1lem2  22434  aaliou3lem9  22473  root1eq1  22850  lawcoslem1  22868  chordthmlem2  22885  chordthmlem4  22887  dcubic1lem  22895  dcubic2  22896  dquartlem1  22903  efiatan2  22969  tanatan  22971  basellem3  23077  bclbnd  23276  2sqlem3  23362  vmadivsum  23388  dchrmusum2  23400  dchrmusumlem  23428  vmalogdivsum  23445  selberg3lem1  23463  pntrlog2bndlem4  23486  pntlemb  23503  normcan  26020  mul2lt0rlt0  27083  nnlogbexp  27510  dya2icoseg  27738  bayesth  27868  regamcl  28093  ftc1cnnclem  29516  dvasin  29531  pellexlem2  30221  pellexlem6  30225  hashgcdlem  30615  proot1ex  30619  wallispilem5  31188  stirlinglem3  31195  stirlinglem4  31196  stirlinglem15  31207  dirkertrigeqlem1  31217  dirkertrigeqlem2  31218  dirkertrigeqlem3  31219  dirkeritg  31221  dirkercncflem4  31225  fourierdlem6  31232  fourierdlem19  31245  fourierdlem26  31252  fourierdlem39  31265  fourierdlem42  31268  fourierdlem63  31289  fourierdlem65  31291  fourierdlem89  31315  fourierdlem90  31316  fourierdlem91  31317  fourierdlem103  31329  fourierdlem104  31330  mvlrmuld  32147  bj-ldiv  33621  bj-bary1lem  33626
  Copyright terms: Public domain W3C validator