MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan4d Structured version   Unicode version

Theorem divcan4d 10100
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divcan4d  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  /  B
)  =  A )

Proof of Theorem divcan4d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divcan4 10006 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  x.  B
)  /  B )  =  A )
51, 2, 3, 4syl3anc 1211 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  /  B
)  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596  (class class class)co 6080   CCcc 9267   0cc0 9269    x. cmul 9274    / cdiv 9980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981
This theorem is referenced by:  mvllmuld  10150  mulge0b  10186  ltmuldiv  10189  rimul  10300  2txmodxeq0  11742  expaddzlem  11890  facdiv  12046  permnn  12085  cjdiv  12636  sqrdiv  12738  absdiv  12767  sqreulem  12830  gcddiv  13715  sylow2blem3  16100  cnflddiv  17689  cnsubrg  17716  i1fmullem  21013  mbfi1fseqlem3  21036  mbfi1fseqlem6  21039  dvsincos  21294  ftc1lem4  21352  vieta1lem2  21661  aaliou3lem9  21700  root1eq1  22077  lawcoslem1  22095  chordthmlem2  22112  chordthmlem4  22114  dcubic1lem  22122  dcubic2  22123  dquartlem1  22130  efiatan2  22196  tanatan  22198  basellem3  22304  bclbnd  22503  2sqlem3  22589  vmadivsum  22615  dchrmusum2  22627  dchrmusumlem  22655  vmalogdivsum  22672  selberg3lem1  22690  pntrlog2bndlem4  22713  pntlemb  22730  normcan  24801  mul2lt0rlt0  25862  nnlogbexp  26316  dya2icoseg  26545  bayesth  26669  regamcl  26894  ftc1cnnclem  28306  dvasin  28321  pellexlem2  29013  pellexlem6  29017  hashgcdlem  29407  proot1ex  29411  wallispilem5  29707  stirlinglem3  29714  stirlinglem4  29715  stirlinglem15  29726  mvlrmuld  30832  bj-ldiv  32166  bj-bary1lem  32171
  Copyright terms: Public domain W3C validator