MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan4d Structured version   Unicode version

Theorem divcan4d 10332
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divcan4d  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  /  B
)  =  A )

Proof of Theorem divcan4d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divcan4 10238 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  x.  B
)  /  B )  =  A )
51, 2, 3, 4syl3anc 1229 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  /  B
)  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638  (class class class)co 6281   CCcc 9493   0cc0 9495    x. cmul 9500    / cdiv 10212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213
This theorem is referenced by:  mvllmuld  10382  mulge0b  10418  ltmuldiv  10421  rimul  10533  2txmodxeq0  12026  expaddzlem  12188  facdiv  12344  permnn  12383  cjdiv  12976  sqrtdiv  13078  absdiv  13107  sqreulem  13171  gcddiv  14064  sylow2blem3  16516  cnflddiv  18322  cnsubrg  18352  i1fmullem  21974  mbfi1fseqlem3  21997  mbfi1fseqlem6  22000  dvsincos  22255  ftc1lem4  22313  vieta1lem2  22579  aaliou3lem9  22618  root1eq1  23001  lawcoslem1  23019  chordthmlem2  23036  chordthmlem4  23038  dcubic1lem  23046  dcubic2  23047  dquartlem1  23054  efiatan2  23120  tanatan  23122  basellem3  23228  bclbnd  23427  2sqlem3  23513  vmadivsum  23539  dchrmusum2  23551  dchrmusumlem  23579  vmalogdivsum  23596  selberg3lem1  23614  pntrlog2bndlem4  23637  pntlemb  23654  normcan  26366  mul2lt0rlt0  27437  nnlogbexp  27893  dya2icoseg  28121  bayesth  28251  signsplypnf  28380  regamcl  28476  ftc1cnnclem  30063  dvasin  30078  pellexlem2  30741  pellexlem6  30745  hashgcdlem  31133  proot1ex  31137  wallispilem5  31740  stirlinglem3  31747  stirlinglem4  31748  stirlinglem15  31759  dirkertrigeqlem1  31769  dirkertrigeqlem2  31770  dirkertrigeqlem3  31771  dirkercncflem4  31777  fourierdlem6  31784  fourierdlem19  31797  fourierdlem26  31804  fourierdlem39  31817  fourierdlem42  31820  fourierdlem63  31841  fourierdlem65  31843  fourierdlem89  31867  fourierdlem90  31868  fourierdlem91  31869  fourierdlem103  31881  fourierdlem104  31882  2zrngnmlid  32465  mvlrmuld  32926  bj-ldiv  34414  bj-bary1lem  34419
  Copyright terms: Public domain W3C validator