MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan4d Structured version   Unicode version

Theorem divcan4d 10322
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divcan4d  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  /  B
)  =  A )

Proof of Theorem divcan4d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divcan4 10228 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  x.  B
)  /  B )  =  A )
51, 2, 3, 4syl3anc 1226 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  /  B
)  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649  (class class class)co 6270   CCcc 9479   0cc0 9481    x. cmul 9486    / cdiv 10202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203
This theorem is referenced by:  mvllmuld  10372  mulge0b  10408  ltmuldiv  10411  rimul  10522  2txmodxeq0  12029  expaddzlem  12191  facdiv  12347  permnn  12386  cjdiv  13079  sqrtdiv  13181  absdiv  13210  sqreulem  13274  gcddiv  14271  sylow2blem3  16841  cnflddiv  18643  cnsubrg  18673  i1fmullem  22267  mbfi1fseqlem3  22290  mbfi1fseqlem6  22293  dvsincos  22548  ftc1lem4  22606  vieta1lem2  22873  aaliou3lem9  22912  root1eq1  23297  nnlogbexp  23320  relogbcxp  23324  lawcoslem1  23346  chordthmlem2  23361  chordthmlem4  23363  dcubic1lem  23371  dcubic2  23372  dquartlem1  23379  efiatan2  23445  tanatan  23447  basellem3  23554  bclbnd  23753  2sqlem3  23839  vmadivsum  23865  dchrmusum2  23877  dchrmusumlem  23905  vmalogdivsum  23922  selberg3lem1  23940  pntrlog2bndlem4  23963  pntlemb  23980  normcan  26692  mul2lt0rlt0  27796  dya2icoseg  28485  bayesth  28642  signsplypnf  28771  regamcl  28867  ftc1cnnclem  30328  dvasin  30343  pellexlem2  31005  pellexlem6  31009  hashgcdlem  31398  proot1ex  31402  divcan8d  31754  wallispilem5  32090  stirlinglem3  32097  stirlinglem4  32098  stirlinglem15  32109  dirkertrigeqlem1  32119  dirkertrigeqlem2  32120  dirkertrigeqlem3  32121  dirkercncflem4  32127  fourierdlem6  32134  fourierdlem19  32147  fourierdlem26  32154  fourierdlem39  32167  fourierdlem42  32170  fourierdlem63  32191  fourierdlem65  32193  fourierdlem89  32217  fourierdlem90  32218  fourierdlem91  32219  fourierdlem103  32231  fourierdlem104  32232  2zrngnmlid  33009  mvlrmuld  33579  bj-ldiv  35071  bj-bary1lem  35076
  Copyright terms: Public domain W3C validator