Theorem divcan3d 10124

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	|- ( ph -> A e. CC )
divcld.2	|- ( ph -> B e. CC )
divcld.3	|- ( ph -> B =/= 0 )

Assertion

Ref	Expression
divcan3d	|- ( ph -> ( ( B x. A ) / B ) = A )

Proof of Theorem divcan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		divcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		divcld.3	. 2 |- ( ph -> B =/= 0 )
4		divcan3 10030	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B =/= 0 ) -> ( ( B x. A ) / B ) = A )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1218	1 |- ( ph -> ( ( B x. A ) / B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2618  (class class class)co 6103   CCcc 9292   0cc0 9294   x. cmul 9299   / cdiv 10005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006

This theorem is referenced by:  prodgt0  10186  mulge0b  10211  ltdivmul  10216  ledivmul  10217  zneo  10736  quoremz  11706  quoremnn0ALT  11708  moddiffl  11731  exprec  11917  zesq  11999  discr  12013  bcn1  12101  crre  12615  abs1m  12835  abslem2  12839  efneg  13394  sinhval  13450  eirrlem  13498  sqr2irrlem  13542  bitsp1e  13640  bitsp1o  13641  iserodd  13914  fldivp1  13971  4sqlem17  14034  gexexlem  16346  abv1z  16929  abvrec  16933  gzrngunit  17890  ovolunlem1a  20991  itg1mulc  21194  dvrec  21441  elqaalem3  21799  eff1olem  22016  logf1o2  22107  cxpneg  22138  cxprec  22143  isosctrlem2  22229  heron  22245  dcubic2  22251  mcubic  22254  cubic2  22255  dquartlem1  22258  dquartlem2  22259  dquart  22260  cosasin  22311  efiatan2  22324  tanatan  22326  atantan  22330  dvatan  22342  atantayl2  22345  atantayl3  22346  jensen  22394  basellem3  22432  basellem5  22434  basellem8  22437  logfacrlim  22575  perfectlem2  22581  lgsquadlem1  22705  lgsquadlem2  22706  dchrvmasumlem1  22756  mudivsum  22791  vmalogdivsum2  22799  logsqvma  22803  selberglem2  22807  selberglem3  22808  selberg  22809  selbergr  22829  selberg3r  22830  selberg4r  22831  selberg34r  22832  pntsval2  22837  pntpbnd1a  22846  pntibndlem2  22852  axsegconlem9  23183  cdj1i  25849  subfacval2  27087  circum  27331  fallfacval4  27558  fsumkthpow  28211  areacirclem1  28496  areacirclem4  28499  itgsinexp  29807  stirlinglem7  29887  sinhpcosh  31087