Theorem divcan3d 9751

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	|- ( ph -> A e. CC )
divcld.2	|- ( ph -> B e. CC )
divcld.3	|- ( ph -> B =/= 0 )

Assertion

Ref	Expression
divcan3d	|- ( ph -> ( ( B x. A ) / B ) = A )

Proof of Theorem divcan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		divcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		divcld.3	. 2 |- ( ph -> B =/= 0 )
4		divcan3 9658	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B =/= 0 ) -> ( ( B x. A ) / B ) = A )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1184	1 |- ( ph -> ( ( B x. A ) / B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946   x. cmul 8951   / cdiv 9633

This theorem is referenced by:  prodgt0  9811  ltdivmul  9838  ledivmul  9839  zneo  10308  quoremz  11191  moddiffl  11214  exprec  11376  zesq  11457  discr  11471  bcn1  11559  crre  11874  abs1m  12094  abslem2  12098  efneg  12654  sinhval  12710  eirrlem  12758  sqr2irrlem  12802  bitsp1e  12899  bitsp1o  12900  iserodd  13164  fldivp1  13221  4sqlem17  13284  gexexlem  15422  abv1z  15875  abvrec  15879  gzrngunit  16719  ovolunlem1a  19345  itg1mulc  19549  dvrec  19794  elqaalem3  20191  eff1olem  20403  logf1o2  20494  cxpneg  20525  cxprec  20530  isosctrlem2  20616  dcubic2  20637  mcubic  20640  cubic2  20641  dquartlem1  20644  dquartlem2  20645  dquart  20646  cosasin  20697  efiatan2  20710  tanatan  20712  atantan  20716  dvatan  20728  atantayl2  20731  atantayl3  20732  jensen  20780  basellem3  20818  basellem5  20820  basellem8  20823  logfacrlim  20961  perfectlem2  20967  lgsquadlem1  21091  lgsquadlem2  21092  dchrvmasumlem1  21142  mudivsum  21177  vmalogdivsum2  21185  logsqvma  21189  selberglem2  21193  selberglem3  21194  selberg  21195  selbergr  21215  selberg3r  21216  selberg4r  21217  selberg34r  21218  pntsval2  21223  pntpbnd1a  21232  pntibndlem2  21238  cdj1i  23889  subfacval2  24826  circum  25064  mulge0b  25144  axsegconlem9  25768  fsumkthpow  26006  areacirclem2  26181  areacirclem5  26185  itgsinexp  27616  stirlinglem7  27696  sinhpcosh  28197

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634