Theorem divcan3d 10324

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	|- ( ph -> A e. CC )
divcld.2	|- ( ph -> B e. CC )
divcld.3	|- ( ph -> B =/= 0 )

Assertion

Ref	Expression
divcan3d	|- ( ph -> ( ( B x. A ) / B ) = A )

Proof of Theorem divcan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		divcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		divcld.3	. 2 |- ( ph -> B =/= 0 )
4		divcan3 10230	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B =/= 0 ) -> ( ( B x. A ) / B ) = A )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1228	1 |- ( ph -> ( ( B x. A ) / B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662  (class class class)co 6283   CCcc 9489   0cc0 9491   x. cmul 9496   / cdiv 10205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206

This theorem is referenced by:  prodgt0  10386  mulge0b  10411  ltdivmul  10416  ledivmul  10417  zneo  10942  quoremz  11949  quoremnn0ALT  11951  moddiffl  11974  exprec  12174  zesq  12256  discr  12270  bcn1  12358  crre  12909  abs1m  13130  abslem2  13134  efneg  13693  sinhval  13749  eirrlem  13797  sqr2irrlem  13841  bitsp1e  13940  bitsp1o  13941  iserodd  14217  fldivp1  14274  4sqlem17  14337  gexexlem  16658  abv1z  17276  abvrec  17280  gzrngunit  18267  ovolunlem1a  21658  itg1mulc  21862  dvrec  22109  elqaalem3  22467  eff1olem  22684  logf1o2  22775  cxpneg  22806  cxprec  22811  isosctrlem2  22897  heron  22913  dcubic2  22919  mcubic  22922  cubic2  22923  dquartlem1  22926  dquartlem2  22927  dquart  22928  cosasin  22979  efiatan2  22992  tanatan  22994  atantan  22998  dvatan  23010  atantayl2  23013  atantayl3  23014  jensen  23062  basellem3  23100  basellem5  23102  basellem8  23105  logfacrlim  23243  perfectlem2  23249  lgsquadlem1  23373  lgsquadlem2  23374  dchrvmasumlem1  23424  mudivsum  23459  vmalogdivsum2  23467  logsqvma  23471  selberglem2  23475  selberglem3  23476  selberg  23477  selbergr  23497  selberg3r  23498  selberg4r  23499  selberg34r  23500  pntsval2  23505  pntpbnd1a  23514  pntibndlem2  23520  axsegconlem9  23920  cdj1i  27044  subfacval2  28287  circum  28531  fallfacval4  28758  fsumkthpow  29411  areacirclem1  29700  areacirclem4  29703  hashnzfzclim  30843  sumnnodd  31188  sinmulcos  31217  itgsinexp  31288  itgcoscmulx  31303  itgsincmulx  31308  stirlinglem7  31396  dirkertrigeqlem3  31416  dirkercncflem2  31420  fourierdlem79  31502  fourierdlem83  31506  fourierdlem95  31518  fouriercnp  31543  fourierswlem  31547  sinhpcosh  32224