Theorem divcan3d 10108

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	|- ( ph -> A e. CC )
divcld.2	|- ( ph -> B e. CC )
divcld.3	|- ( ph -> B =/= 0 )

Assertion

Ref	Expression
divcan3d	|- ( ph -> ( ( B x. A ) / B ) = A )

Proof of Theorem divcan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		divcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		divcld.3	. 2 |- ( ph -> B =/= 0 )
4		divcan3 10014	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B =/= 0 ) -> ( ( B x. A ) / B ) = A )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1213	1 |- ( ph -> ( ( B x. A ) / B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 1761   =/= wne 2604  (class class class)co 6090   CCcc 9276   0cc0 9278   x. cmul 9283   / cdiv 9989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990

This theorem is referenced by:  prodgt0  10170  mulge0b  10195  ltdivmul  10200  ledivmul  10201  zneo  10720  quoremz  11690  quoremnn0ALT  11692  moddiffl  11715  exprec  11901  zesq  11983  discr  11997  bcn1  12085  crre  12599  abs1m  12819  abslem2  12823  efneg  13378  sinhval  13434  eirrlem  13482  sqr2irrlem  13526  bitsp1e  13624  bitsp1o  13625  iserodd  13898  fldivp1  13955  4sqlem17  14018  gexexlem  16327  abv1z  16897  abvrec  16901  gzrngunit  17837  ovolunlem1a  20938  itg1mulc  21141  dvrec  21388  elqaalem3  21746  eff1olem  21963  logf1o2  22054  cxpneg  22085  cxprec  22090  isosctrlem2  22176  heron  22192  dcubic2  22198  mcubic  22201  cubic2  22202  dquartlem1  22205  dquartlem2  22206  dquart  22207  cosasin  22258  efiatan2  22271  tanatan  22273  atantan  22277  dvatan  22289  atantayl2  22292  atantayl3  22293  jensen  22341  basellem3  22379  basellem5  22381  basellem8  22384  logfacrlim  22522  perfectlem2  22528  lgsquadlem1  22652  lgsquadlem2  22653  dchrvmasumlem1  22703  mudivsum  22738  vmalogdivsum2  22746  logsqvma  22750  selberglem2  22754  selberglem3  22755  selberg  22756  selbergr  22776  selberg3r  22777  selberg4r  22778  selberg34r  22779  pntsval2  22784  pntpbnd1a  22793  pntibndlem2  22799  axsegconlem9  23106  cdj1i  25772  subfacval2  27005  circum  27248  fallfacval4  27475  fsumkthpow  28128  areacirclem1  28409  areacirclem4  28412  itgsinexp  29720  stirlinglem7  29800  sinhpcosh  30916