Theorem divcan3d 10415

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	|- ( ph -> A e. CC )
divcld.2	|- ( ph -> B e. CC )
divcld.3	|- ( ph -> B =/= 0 )

Assertion

Ref	Expression
divcan3d	|- ( ph -> ( ( B x. A ) / B ) = A )

Proof of Theorem divcan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		divcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		divcld.3	. 2 |- ( ph -> B =/= 0 )
4		divcan3 10321	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B =/= 0 ) -> ( ( B x. A ) / B ) = A )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1276	1 |- ( ph -> ( ( B x. A ) / B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1454   e. wcel 1897   =/= wne 2632  (class class class)co 6314   CCcc 9562   0cc0 9564   x. cmul 9569   / cdiv 10296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297

This theorem is referenced by:  prodgt0  10477  mulge0b  10502  ltdivmul  10507  ledivmul  10508  zneo  11046  quoremz  12113  quoremnn0ALT  12115  moddiffl  12139  zesq  12426  discr  12440  bcn1  12529  crre  13225  abslem2  13450  fallfacval4  14144  sinhval  14256  eirrlem  14304  sqr2irrlem  14348  bitsp1e  14453  bitsp1o  14454  iserodd  14833  fldivp1  14890  4sqlem17OLD  14953  4sqlem17  14959  gexexlem  17538  abv1z  18108  gzrngunit  19081  ovolunlem1a  22497  itg1mulc  22710  dvrec  22957  elqaalem3  23322  elqaalem3OLD  23325  eff1olem  23545  logf1o2  23643  isosctrlem2  23796  heron  23812  dcubic2  23818  mcubic  23821  cubic2  23822  dquartlem1  23825  dquartlem2  23826  dquart  23827  cosasin  23878  efiatan2  23891  tanatan  23893  dvatan  23909  atantayl3  23913  jensen  23962  basellem3  24057  basellem5  24059  basellem8  24062  logfacrlim  24200  perfectlem2  24206  lgsquadlem1  24330  lgsquadlem2  24331  dchrvmasumlem1  24381  mudivsum  24416  vmalogdivsum2  24424  logsqvma  24428  selberglem2  24432  selberglem3  24433  selberg  24434  selbergr  24454  selberg3r  24455  selberg4r  24456  selberg34r  24457  pntsval2  24462  pntpbnd1a  24471  pntibndlem2  24477  axsegconlem9  25003  cdj1i  28134  subfacval2  29958  circum  30366  areacirclem1  32076  areacirclem4  32079  hashnzfzclim  36714  dmmcand  37571  sumnnodd  37747  sinmulcos  37777  itgsinexp  37868  itgcoscmulx  37883  itgsincmulx  37888  stirlinglem7  37979  dirkertrigeqlem3  37999  dirkeritg  38001  dirkercncflem2  38003  fourierdlem79  38086  fourierdlem83  38090  fourierdlem95  38102  fouriercnp  38127  fourierswlem  38131  etransclem24  38160  etransclem41  38177  dfodd6  38804  dfeven4  38805  perfectALTVlem2  38881  sinhpcosh  40732