Theorem divcan3d 10332

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	|- ( ph -> A e. CC )
divcld.2	|- ( ph -> B e. CC )
divcld.3	|- ( ph -> B =/= 0 )

Assertion

Ref	Expression
divcan3d	|- ( ph -> ( ( B x. A ) / B ) = A )

Proof of Theorem divcan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		divcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		divcld.3	. 2 |- ( ph -> B =/= 0 )
4		divcan3 10238	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B =/= 0 ) -> ( ( B x. A ) / B ) = A )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1229	1 |- ( ph -> ( ( B x. A ) / B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1383   e. wcel 1804   =/= wne 2638  (class class class)co 6281   CCcc 9493   0cc0 9495   x. cmul 9500   / cdiv 10213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214

This theorem is referenced by:  prodgt0  10394  mulge0b  10419  ltdivmul  10424  ledivmul  10425  zneo  10952  quoremz  11964  quoremnn0ALT  11966  moddiffl  11989  zesq  12271  discr  12285  bcn1  12373  crre  12929  abslem2  13154  sinhval  13871  eirrlem  13919  sqr2irrlem  13963  bitsp1e  14064  bitsp1o  14065  iserodd  14341  fldivp1  14398  4sqlem17  14461  gexexlem  16837  abv1z  17460  gzrngunit  18462  ovolunlem1a  21885  itg1mulc  22089  dvrec  22336  elqaalem3  22695  eff1olem  22913  logf1o2  23009  isosctrlem2  23131  heron  23147  dcubic2  23153  mcubic  23156  cubic2  23157  dquartlem1  23160  dquartlem2  23161  dquart  23162  cosasin  23213  efiatan2  23226  tanatan  23228  dvatan  23244  atantayl3  23248  jensen  23296  basellem3  23334  basellem5  23336  basellem8  23339  logfacrlim  23477  perfectlem2  23483  lgsquadlem1  23607  lgsquadlem2  23608  dchrvmasumlem1  23658  mudivsum  23693  vmalogdivsum2  23701  logsqvma  23705  selberglem2  23709  selberglem3  23710  selberg  23711  selbergr  23731  selberg3r  23732  selberg4r  23733  selberg34r  23734  pntsval2  23739  pntpbnd1a  23748  pntibndlem2  23754  axsegconlem9  24206  cdj1i  27330  subfacval2  28609  circum  29018  fallfacval4  29141  areacirclem1  30083  areacirclem4  30086  hashnzfzclim  31203  dmmcand  31471  sumnnodd  31590  sinmulcos  31619  itgsinexp  31707  itgcoscmulx  31722  itgsincmulx  31727  stirlinglem7  31816  dirkertrigeqlem3  31836  dirkeritg  31838  dirkercncflem2  31840  fourierdlem79  31922  fourierdlem83  31926  fourierdlem95  31938  fouriercnp  31963  fourierswlem  31967  etransclem24  31995  etransclem41  32012  sinhpcosh  33004