MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan3 Structured version   Unicode version

Theorem divcan3 10271
Description: A cancellation law for division. (Contributed by NM, 3-Feb-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
divcan3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( B  x.  A
)  /  B )  =  A )

Proof of Theorem divcan3
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . 2  |-  ( B  x.  A )  =  ( B  x.  A
)
2 simp2 998 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  CC )
3 simp1 997 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  A  e.  CC )
42, 3mulcld 9645 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( B  x.  A )  e.  CC )
5 3simpc 996 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )
6 divmul 10250 . . 3  |-  ( ( ( B  x.  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( B  x.  A )  /  B )  =  A  <-> 
( B  x.  A
)  =  ( B  x.  A ) ) )
74, 3, 5, 6syl3anc 1230 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( ( B  x.  A )  /  B
)  =  A  <->  ( B  x.  A )  =  ( B  x.  A ) ) )
81, 7mpbiri 233 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( B  x.  A
)  /  B )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598  (class class class)co 6277   CCcc 9519   0cc0 9521    x. cmul 9526    / cdiv 10246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247
This theorem is referenced by:  divcan4  10272  divmuldiv  10284  divcan3zi  10323  divcan3d  10365  ltdiv23  10475  lediv23  10476  2halves  10807  halfaddsub  10812  zdiv  10973  reim  13089  crim  13095  cnpart  13220  absmax  13309  efival  14094  cosadd  14107  cosmul  14115  pythagtriplem12  14557  pythagtriplem14  14559  pythagtriplem15  14560  pythagtriplem16  14561  pythagtriplem17  14562  ovolunlem1a  22197  ovolunlem1  22198  efif1olem2  23220  cxpsqrtlem  23375  leibpilem1  23594  leibpilem2  23595  bcmax  23932  logdivsum  24097  ipidsq  26023  subdivcomb1  29920  cos2h  31398  dvtanlemOLD  31417  isbnd2  31541  lhe4.4ex1a  36062  2zrngnmrid  38248  dpfrac1  38793
  Copyright terms: Public domain W3C validator