MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan2d Structured version   Unicode version

Theorem divcan2d 10311
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divcan2d  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A  /  B ) )  =  A )

Proof of Theorem divcan2d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divcan2 10204 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( B  x.  ( A  /  B ) )  =  A )
51, 2, 3, 4syl3anc 1223 1  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A  /  B ) )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655  (class class class)co 6275   CCcc 9479   0cc0 9481    x. cmul 9486    / cdiv 10195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196
This theorem is referenced by:  nneo  10933  zeo2  10936  intfracq  11942  discr  12258  hashf1  12459  caurcvgr  13445  iseralt  13456  mertenslem1  13645  tanadd  13752  bitsmod  13934  mulgcd  14032  prmind2  14076  qredeq  14095  qredeu  14096  isprm5  14101  pythagtriplem19  14205  pcprendvds2  14213  pcpremul  14215  pcadd  14256  prmreclem1  14282  4sqlem19  14329  ablfac1lem  16902  pgpfac1lem3  16911  prmirredlem  18283  prmirredlemOLD  18286  znrrg  18364  metnrmlem3  21093  lebnumlem3  21191  pcoass  21252  ipcau2  21405  minveclem3  21572  sca2rab  21651  ovolscalem1  21652  uniioombllem4  21723  uniioombl  21726  itg1mulc  21839  itg2const2  21876  dvrec  22086  dveflem  22108  lhop1  22143  vieta1  22435  elqaalem3  22444  abelthlem8  22561  tangtx  22624  tanregt0  22652  eff1olem  22661  eflogeq  22707  argregt0  22716  argrege0  22717  argimgt0  22718  cxpeq  22852  ang180lem5  22866  lawcoslem1  22868  isosctrlem2  22874  isosctrlem3  22875  heron  22890  dcubic1lem  22895  dcubic2  22896  dcubic1  22897  mcubic  22899  dquartlem1  22903  dquart  22905  quart1lem  22907  quart1  22908  quart  22913  atantayl2  22990  birthdaylem2  23003  ftalem5  23071  basellem3  23077  basellem4  23078  dvdsdivcl  23178  fsumdvdsdiaglem  23180  logexprlim  23221  mersenne  23223  perfectlem2  23226  perfect  23227  bposlem9  23288  lgsqrlem2  23338  lgseisenlem1  23345  lgseisenlem3  23347  lgsquadlem1  23350  lgsquad2lem1  23354  m1lgs  23358  2sqlem8  23368  rplogsumlem1  23390  dchrvmasumiflem2  23408  dchrisum0flblem2  23415  dchrisum0fno1  23417  dchrisum0lem1  23422  mulog2sumlem3  23442  selberglem2  23452  selberg3lem1  23463  selberg4lem1  23466  selberg3r  23475  selberg4r  23476  pntrlog2bndlem2  23484  pntlemg  23504  axsegconlem10  23898  axeuclidlem  23934  oddpwdc  27919  subfacval2  28257  circum  28501  faclimlem1  28731  bpoly4  29384  areacirclem1  29671  areacirclem4  29674  nn0prpwlem  29704  cntotbnd  29882  irrapxlem5  30353  pellexlem2  30357  jm2.22  30530  jm2.20nn  30532  oddfl  30991  sumnnodd  31127  limclner  31148  stoweidlem62  31317  stirlinglem1  31329  dirkertrigeqlem2  31354  dirkertrigeqlem3  31355  dirkercncflem2  31359  fourierdlem66  31428  fourierdlem73  31435  fourierdlem87  31449
  Copyright terms: Public domain W3C validator