MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan2d Structured version   Unicode version

Theorem divcan2d 10221
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divcan2d  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A  /  B ) )  =  A )

Proof of Theorem divcan2d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divcan2 10114 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( B  x.  ( A  /  B ) )  =  A )
51, 2, 3, 4syl3anc 1219 1  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A  /  B ) )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648  (class class class)co 6201   CCcc 9392   0cc0 9394    x. cmul 9399    / cdiv 10105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106
This theorem is referenced by:  nneo  10837  zeo2  10840  intfracq  11816  discr  12119  hashf1  12329  caurcvgr  13270  iseralt  13281  mertenslem1  13463  tanadd  13570  bitsmod  13751  mulgcd  13849  prmind2  13893  qredeq  13911  qredeu  13912  isprm5  13917  pythagtriplem19  14019  pcprendvds2  14027  pcpremul  14029  pcadd  14070  prmreclem1  14096  4sqlem19  14143  ablfac1lem  16692  pgpfac1lem3  16701  prmirredlem  18043  prmirredlemOLD  18046  znrrg  18124  metnrmlem3  20570  lebnumlem3  20668  pcoass  20729  ipcau2  20882  minveclem3  21049  sca2rab  21128  ovolscalem1  21129  uniioombllem4  21200  uniioombl  21203  itg1mulc  21316  itg2const2  21353  dvrec  21563  dveflem  21585  lhop1  21620  vieta1  21912  elqaalem3  21921  abelthlem8  22038  tangtx  22101  tanregt0  22129  eff1olem  22138  eflogeq  22184  argregt0  22193  argrege0  22194  argimgt0  22195  cxpeq  22329  ang180lem5  22343  lawcoslem1  22345  isosctrlem2  22351  isosctrlem3  22352  heron  22367  dcubic1lem  22372  dcubic2  22373  dcubic1  22374  mcubic  22376  dquartlem1  22380  dquart  22382  quart1lem  22384  quart1  22385  quart  22390  atantayl2  22467  birthdaylem2  22480  ftalem5  22548  basellem3  22554  basellem4  22555  dvdsdivcl  22655  fsumdvdsdiaglem  22657  logexprlim  22698  mersenne  22700  perfectlem2  22703  perfect  22704  bposlem9  22765  lgsqrlem2  22815  lgseisenlem1  22822  lgseisenlem3  22824  lgsquadlem1  22827  lgsquad2lem1  22831  m1lgs  22835  2sqlem8  22845  rplogsumlem1  22867  dchrvmasumiflem2  22885  dchrisum0flblem2  22892  dchrisum0fno1  22894  dchrisum0lem1  22899  mulog2sumlem3  22919  selberglem2  22929  selberg3lem1  22940  selberg4lem1  22943  selberg3r  22952  selberg4r  22953  pntrlog2bndlem2  22961  pntlemg  22981  axsegconlem10  23325  axeuclidlem  23361  oddpwdc  26882  subfacval2  27220  circum  27464  faclimlem1  27694  bpoly4  28347  areacirclem1  28633  areacirclem4  28636  nn0prpwlem  28666  cntotbnd  28844  irrapxlem5  29316  pellexlem2  29320  jm2.22  29493  jm2.20nn  29495  stoweidlem62  30006  stirlinglem1  30018
  Copyright terms: Public domain W3C validator