MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan2d Structured version   Unicode version

Theorem divcan2d 10101
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divcan2d  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A  /  B ) )  =  A )

Proof of Theorem divcan2d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divcan2 9994 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( B  x.  ( A  /  B ) )  =  A )
51, 2, 3, 4syl3anc 1218 1  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A  /  B ) )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601  (class class class)co 6086   CCcc 9272   0cc0 9274    x. cmul 9279    / cdiv 9985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986
This theorem is referenced by:  nneo  10717  zeo2  10720  intfracq  11690  discr  11993  hashf1  12202  caurcvgr  13143  iseralt  13154  mertenslem1  13336  tanadd  13443  bitsmod  13624  mulgcd  13722  prmind2  13766  qredeq  13784  qredeu  13785  isprm5  13790  pythagtriplem19  13892  pcprendvds2  13900  pcpremul  13902  pcadd  13943  prmreclem1  13969  4sqlem19  14016  ablfac1lem  16557  pgpfac1lem3  16566  prmirredlem  17892  prmirredlemOLD  17895  znrrg  17973  metnrmlem3  20412  lebnumlem3  20510  pcoass  20571  ipcau2  20724  minveclem3  20891  sca2rab  20970  ovolscalem1  20971  uniioombllem4  21041  uniioombl  21044  itg1mulc  21157  itg2const2  21194  dvrec  21404  dveflem  21426  lhop1  21461  vieta1  21753  elqaalem3  21762  abelthlem8  21879  tangtx  21942  tanregt0  21970  eff1olem  21979  eflogeq  22025  argregt0  22034  argrege0  22035  argimgt0  22036  cxpeq  22170  ang180lem5  22184  lawcoslem1  22186  isosctrlem2  22192  isosctrlem3  22193  heron  22208  dcubic1lem  22213  dcubic2  22214  dcubic1  22215  mcubic  22217  dquartlem1  22221  dquart  22223  quart1lem  22225  quart1  22226  quart  22231  atantayl2  22308  birthdaylem2  22321  ftalem5  22389  basellem3  22395  basellem4  22396  dvdsdivcl  22496  fsumdvdsdiaglem  22498  logexprlim  22539  mersenne  22541  perfectlem2  22544  perfect  22545  bposlem9  22606  lgsqrlem2  22656  lgseisenlem1  22663  lgseisenlem3  22665  lgsquadlem1  22668  lgsquad2lem1  22672  m1lgs  22676  2sqlem8  22686  rplogsumlem1  22708  dchrvmasumiflem2  22726  dchrisum0flblem2  22733  dchrisum0fno1  22735  dchrisum0lem1  22740  mulog2sumlem3  22760  selberglem2  22770  selberg3lem1  22781  selberg4lem1  22784  selberg3r  22793  selberg4r  22794  pntrlog2bndlem2  22802  pntlemg  22822  axsegconlem10  23123  axeuclidlem  23159  oddpwdc  26689  subfacval2  27027  circum  27270  faclimlem1  27500  bpoly4  28153  areacirclem1  28437  areacirclem4  28440  nn0prpwlem  28470  cntotbnd  28648  irrapxlem5  29120  pellexlem2  29124  jm2.22  29297  jm2.20nn  29299  stoweidlem62  29810  stirlinglem1  29822
  Copyright terms: Public domain W3C validator