MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan2d Structured version   Unicode version

Theorem divcan2d 10097
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divcan2d  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A  /  B ) )  =  A )

Proof of Theorem divcan2d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divcan2 9990 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( B  x.  ( A  /  B ) )  =  A )
51, 2, 3, 4syl3anc 1211 1  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A  /  B ) )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596  (class class class)co 6080   CCcc 9268   0cc0 9270    x. cmul 9275    / cdiv 9981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982
This theorem is referenced by:  nneo  10713  zeo2  10716  intfracq  11682  discr  11985  hashf1  12194  caurcvgr  13135  iseralt  13146  mertenslem1  13327  tanadd  13434  bitsmod  13615  mulgcd  13713  prmind2  13757  qredeq  13775  qredeu  13776  isprm5  13781  pythagtriplem19  13883  pcprendvds2  13891  pcpremul  13893  pcadd  13934  prmreclem1  13960  4sqlem19  14007  ablfac1lem  16543  pgpfac1lem3  16552  prmirredlem  17759  prmirredlemOLD  17762  znrrg  17840  metnrmlem3  20279  lebnumlem3  20377  pcoass  20438  ipcau2  20591  minveclem3  20758  sca2rab  20837  ovolscalem1  20838  uniioombllem4  20908  uniioombl  20911  itg1mulc  21024  itg2const2  21061  dvrec  21271  dveflem  21293  lhop1  21328  vieta1  21663  elqaalem3  21672  abelthlem8  21789  tangtx  21852  tanregt0  21880  eff1olem  21889  eflogeq  21935  argregt0  21944  argrege0  21945  argimgt0  21946  cxpeq  22080  ang180lem5  22094  lawcoslem1  22096  isosctrlem2  22102  isosctrlem3  22103  heron  22118  dcubic1lem  22123  dcubic2  22124  dcubic1  22125  mcubic  22127  dquartlem1  22131  dquart  22133  quart1lem  22135  quart1  22136  quart  22141  atantayl2  22218  birthdaylem2  22231  ftalem5  22299  basellem3  22305  basellem4  22306  dvdsdivcl  22406  fsumdvdsdiaglem  22408  logexprlim  22449  mersenne  22451  perfectlem2  22454  perfect  22455  bposlem9  22516  lgsqrlem2  22566  lgseisenlem1  22573  lgseisenlem3  22575  lgsquadlem1  22578  lgsquad2lem1  22582  m1lgs  22586  2sqlem8  22596  rplogsumlem1  22618  dchrvmasumiflem2  22636  dchrisum0flblem2  22643  dchrisum0fno1  22645  dchrisum0lem1  22650  mulog2sumlem3  22670  selberglem2  22680  selberg3lem1  22691  selberg4lem1  22694  selberg3r  22703  selberg4r  22704  pntrlog2bndlem2  22712  pntlemg  22732  axsegconlem10  22995  axeuclidlem  23031  oddpwdc  26585  subfacval2  26923  circum  27166  faclimlem1  27396  bpoly4  28049  areacirclem1  28328  areacirclem4  28331  nn0prpwlem  28361  cntotbnd  28539  irrapxlem5  29012  pellexlem2  29016  jm2.22  29189  jm2.20nn  29191  stoweidlem62  29703  stirlinglem1  29715
  Copyright terms: Public domain W3C validator