MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan2d Unicode version

Theorem divcan2d 9748
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divcan2d  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A  /  B ) )  =  A )

Proof of Theorem divcan2d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divcan2 9642 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( B  x.  ( A  /  B ) )  =  A )
51, 2, 3, 4syl3anc 1184 1  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A  /  B ) )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946    x. cmul 8951    / cdiv 9633
This theorem is referenced by:  nneo  10309  zeo2  10312  intfracq  11195  discr  11471  hashf1  11661  caurcvgr  12422  iseralt  12433  mertenslem1  12616  tanadd  12723  bitsmod  12903  mulgcd  13001  prmind2  13045  qredeq  13061  qredeu  13062  isprm5  13067  pythagtriplem19  13162  pcprendvds2  13170  pcpremul  13172  pcadd  13213  prmreclem1  13239  4sqlem19  13286  ablfac1lem  15581  pgpfac1lem3  15590  prmirredlem  16728  znrrg  16801  metnrmlem3  18844  lebnumlem3  18941  pcoass  19002  ipcau2  19144  minveclem3  19283  sca2rab  19361  ovolscalem1  19362  uniioombllem4  19431  uniioombl  19434  itg1mulc  19549  itg2const2  19586  dvrec  19794  dveflem  19816  lhop1  19851  vieta1  20182  elqaalem3  20191  abelthlem8  20308  tangtx  20366  tanregt0  20394  eff1olem  20403  eflogeq  20449  argregt0  20458  argrege0  20459  argimgt0  20460  cxpeq  20594  ang180lem5  20608  lawcoslem1  20610  isosctrlem2  20616  isosctrlem3  20617  dcubic1lem  20636  dcubic2  20637  dcubic1  20638  mcubic  20640  dquartlem1  20644  dquart  20646  quart1lem  20648  quart1  20649  quart  20654  atantayl2  20731  birthdaylem2  20744  ftalem5  20812  basellem3  20818  basellem4  20819  dvdsdivcl  20919  fsumdvdsdiaglem  20921  logexprlim  20962  mersenne  20964  perfectlem2  20967  perfect  20968  bposlem9  21029  lgsqrlem2  21079  lgseisenlem1  21086  lgseisenlem3  21088  lgsquadlem1  21091  lgsquad2lem1  21095  m1lgs  21099  2sqlem8  21109  rplogsumlem1  21131  dchrvmasumiflem2  21149  dchrisum0flblem2  21156  dchrisum0fno1  21158  dchrisum0lem1  21163  mulog2sumlem3  21183  selberglem2  21193  selberg3lem1  21204  selberg4lem1  21207  selberg3r  21216  selberg4r  21217  pntrlog2bndlem2  21225  pntlemg  21245  subfacval2  24826  circum  25064  faclimlem1  25310  axsegconlem10  25769  axeuclidlem  25805  bpoly4  26009  areacirclem2  26181  areacirclem5  26185  nn0prpwlem  26215  cntotbnd  26395  irrapxlem5  26779  pellexlem2  26783  jm2.22  26956  jm2.20nn  26958  stoweidlem62  27678  stirlinglem1  27690
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634
  Copyright terms: Public domain W3C validator