MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan2d Structured version   Unicode version

Theorem divcan2d 10318
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divcan2d  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A  /  B ) )  =  A )

Proof of Theorem divcan2d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divcan2 10211 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( B  x.  ( A  /  B ) )  =  A )
51, 2, 3, 4syl3anc 1226 1  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A  /  B ) )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649  (class class class)co 6270   CCcc 9479   0cc0 9481    x. cmul 9486    / cdiv 10202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203
This theorem is referenced by:  nneo  10942  zeo2  10945  intfracq  11968  discr  12285  hashf1  12490  caurcvgr  13578  iseralt  13589  mertenslem1  13775  tanadd  13984  bitsmod  14170  mulgcd  14268  prmind2  14312  qredeq  14331  qredeu  14332  isprm5  14337  pythagtriplem19  14441  pcprendvds2  14449  pcpremul  14451  pcadd  14492  prmreclem1  14518  4sqlem19  14565  ablfac1lem  17314  pgpfac1lem3  17323  prmirredlem  18705  znrrg  18777  metnrmlem3  21531  lebnumlem3  21629  pcoass  21690  ipcau2  21843  minveclem3  22010  sca2rab  22089  ovolscalem1  22090  uniioombllem4  22161  uniioombl  22164  itg1mulc  22277  itg2const2  22314  dvrec  22524  dveflem  22546  lhop1  22581  vieta1  22874  elqaalem3  22883  abelthlem8  23000  tangtx  23064  tanregt0  23092  eff1olem  23101  eflogeq  23155  argregt0  23163  argrege0  23164  argimgt0  23165  cxpeq  23299  ang180lem5  23344  lawcoslem1  23346  isosctrlem2  23350  isosctrlem3  23351  heron  23366  dcubic1lem  23371  dcubic2  23372  dcubic1  23373  mcubic  23375  dquartlem1  23379  dquart  23381  quart1lem  23383  quart1  23384  quart  23389  atantayl2  23466  birthdaylem2  23480  ftalem5  23548  basellem3  23554  basellem4  23555  dvdsdivcl  23655  fsumdvdsdiaglem  23657  logexprlim  23698  mersenne  23700  perfectlem2  23703  perfect  23704  bposlem9  23765  lgsqrlem2  23815  lgseisenlem1  23822  lgseisenlem3  23824  lgsquadlem1  23827  lgsquad2lem1  23831  m1lgs  23835  2sqlem8  23845  rplogsumlem1  23867  dchrvmasumiflem2  23885  dchrisum0flblem2  23892  dchrisum0fno1  23894  dchrisum0lem1  23899  mulog2sumlem3  23919  selberglem2  23929  selberg3lem1  23940  selberg4lem1  23943  selberg3r  23952  selberg4r  23953  pntrlog2bndlem2  23961  pntlemg  23981  axsegconlem10  24431  axeuclidlem  24467  oddpwdc  28557  subfacval2  28895  circum  29304  faclimlem1  29409  bpoly4  30049  areacirclem1  30347  areacirclem4  30350  nn0prpwlem  30380  cntotbnd  30532  irrapxlem5  31001  pellexlem2  31005  jm2.22  31176  jm2.20nn  31178  nzss  31463  binomcxplemnotnn0  31502  oddfl  31699  fprodle  31843  sumnnodd  31875  limclner  31896  stoweidlem62  32083  stirlinglem1  32095  dirkertrigeqlem2  32120  dirkertrigeqlem3  32121  fourierdlem66  32194  fourierdlem73  32201  fourierdlem87  32215  mod2eq1n2dvds  32534  elmod2  32535  dfeven4  32553  oddflALTV  32574  nn0onn0exALTV  32604  nn0onn0ex  33395
  Copyright terms: Public domain W3C validator