MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan2 Structured version   Unicode version

Theorem divcan2 10211
Description: A cancellation law for division. (Contributed by NM, 3-Feb-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
divcan2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( B  x.  ( A  /  B ) )  =  A )

Proof of Theorem divcan2
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . 2  |-  ( A  /  B )  =  ( A  /  B
)
2 simp1 994 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  A  e.  CC )
3 divcl 10209 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  CC )
4 3simpc 993 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )
5 divmul 10206 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( A  /  B
)  e.  CC  /\  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )  ->  ( ( A  /  B )  =  ( A  /  B
)  <->  ( B  x.  ( A  /  B
) )  =  A ) )
62, 3, 4, 5syl3anc 1226 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  /  B
)  =  ( A  /  B )  <->  ( B  x.  ( A  /  B
) )  =  A ) )
71, 6mpbii 211 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( B  x.  ( A  /  B ) )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649  (class class class)co 6270   CCcc 9479   0cc0 9481    x. cmul 9486    / cdiv 10202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203
This theorem is referenced by:  divcan1  10212  recid  10217  div11  10229  divmuldiv  10240  dmdcan  10250  divcan2zi  10277  divcan2d  10318  zdiv  10929  modlt  11989  addcj  13066  sqrlem7  13167  efgt0  13923  sin02gt0  14012  pythagtriplem16  14441  sinq12gt0  23069  coseq1  23084  efeq1  23085  basellem3  23557  chtub  23688  4ipval2  25819  4ipval3  25823  rexdiv  27859  bpoly2  30050  bpoly3  30051  sin2h  30288  cos2h  30289  mblfinlem3  30296  dvtanlem  30307  itg2addnclem3  30311  ftc1anclem6  30338  dfodd6  32555  nn0enn0exALTV  32613  nn0enn0ex  33415  blennn0em1  33485
  Copyright terms: Public domain W3C validator