MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan2 Structured version   Unicode version

Theorem divcan2 10204
Description: A cancellation law for division. (Contributed by NM, 3-Feb-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
divcan2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( B  x.  ( A  /  B ) )  =  A )

Proof of Theorem divcan2
StepHypRef Expression
1 eqid 2460 . 2  |-  ( A  /  B )  =  ( A  /  B
)
2 simp1 991 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  A  e.  CC )
3 divcl 10202 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  CC )
4 3simpc 990 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )
5 divmul 10199 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( A  /  B
)  e.  CC  /\  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )  ->  ( ( A  /  B )  =  ( A  /  B
)  <->  ( B  x.  ( A  /  B
) )  =  A ) )
62, 3, 4, 5syl3anc 1223 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  /  B
)  =  ( A  /  B )  <->  ( B  x.  ( A  /  B
) )  =  A ) )
71, 6mpbii 211 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( B  x.  ( A  /  B ) )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655  (class class class)co 6275   CCcc 9479   0cc0 9481    x. cmul 9486    / cdiv 10195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196
This theorem is referenced by:  divcan1  10205  recid  10210  div11  10222  divmuldiv  10233  dmdcan  10243  divcan2zi  10270  divcan2d  10311  zdiv  10920  modlt  11962  addcj  12931  sqrlem7  13032  efgt0  13688  sin02gt0  13777  pythagtriplem16  14202  sinq12gt0  22626  coseq1  22641  efeq1  22642  basellem3  23077  chtub  23208  4ipval2  25280  4ipval3  25284  rexdiv  27276  bpoly2  29382  bpoly3  29383  sin2h  29609  cos2h  29610  mblfinlem3  29617  dvtanlem  29628  itg2addnclem3  29632  ftc1anclem6  29659
  Copyright terms: Public domain W3C validator