Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalgmod Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem divalgmod 14387
 Description: The result of the operator satisfies the requirements for the remainder in the division algorithm for a positive divisor (compare divalg2 14386 and divalgb 14385). This demonstration theorem justifies the use of to yield an explicit remainder from this point forward. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
divalgmod
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem divalgmod
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zre 10941 . . . . . . . 8
2 nnrp 11311 . . . . . . . 8
3 modlt 12107 . . . . . . . 8
41, 2, 3syl2an 480 . . . . . . 7
5 nnre 10616 . . . . . . . . . . 11
6 nnne0 10642 . . . . . . . . . . 11
7 redivcl 10326 . . . . . . . . . . 11
81, 5, 6, 7syl3an 1310 . . . . . . . . . 10
983anidm23 1327 . . . . . . . . 9
109flcld 12034 . . . . . . . 8
11 nnz 10959 . . . . . . . . 9
1211adantl 468 . . . . . . . 8
13 zmodcl 12116 . . . . . . . . . 10
1413nn0zd 11038 . . . . . . . . 9
15 zsubcl 10979 . . . . . . . . 9
1614, 15syldan 473 . . . . . . . 8
17 nncn 10617 . . . . . . . . . . 11
1817adantl 468 . . . . . . . . . 10
1910zcnd 11041 . . . . . . . . . 10
2018, 19mulcomd 9664 . . . . . . . . 9
21 modval 12098 . . . . . . . . . . 11
221, 2, 21syl2an 480 . . . . . . . . . 10
23 zcn 10942 . . . . . . . . . . . . 13
2423adantr 467 . . . . . . . . . . . 12
25 zmulcl 10985 . . . . . . . . . . . . . . 15
2611, 10, 25syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . 14
2726anabss7 830 . . . . . . . . . . . . 13
2827zcnd 11041 . . . . . . . . . . . 12
2913nn0cnd 10927 . . . . . . . . . . . 12
30 subsub23 9880 . . . . . . . . . . . 12
3124, 28, 29, 30syl3anc 1268 . . . . . . . . . . 11
32 eqcom 2458 . . . . . . . . . . 11
33 eqcom 2458 . . . . . . . . . . 11
3431, 32, 333bitr3g 291 . . . . . . . . . 10
3522, 34mpbid 214 . . . . . . . . 9
3620, 35eqtr3d 2487 . . . . . . . 8
37 dvds0lem 14313 . . . . . . . 8
3810, 12, 16, 36, 37syl31anc 1271 . . . . . . 7
39 divalg2 14386 . . . . . . . 8
40 breq1 4405 . . . . . . . . . 10
41 oveq2 6298 . . . . . . . . . . 11
4241breq2d 4414 . . . . . . . . . 10
4340, 42anbi12d 717 . . . . . . . . 9
4443riota2 6274 . . . . . . . 8
4513, 39, 44syl2anc 667 . . . . . . 7
464, 38, 45mpbi2and 932 . . . . . 6
4746eqcomd 2457 . . . . 5
4847sneqd 3980 . . . 4
49 snriota 6281 . . . . 5
5039, 49syl 17 . . . 4
5148, 50eqtr4d 2488 . . 3
5251eleq2d 2514 . 2
53 elsn 3982 . 2
54 breq1 4405 . . . 4
55 oveq2 6298 . . . . 5
5655breq2d 4414 . . . 4
5754, 56anbi12d 717 . . 3
5857elrab 3196 . 2
5952, 53, 583bitr3g 291 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1444   wcel 1887   wne 2622  wreu 2739  crab 2741  csn 3968   class class class wbr 4402  cfv 5582  crio 6251  (class class class)co 6290  cc 9537  cr 9538  cc0 9539   cmul 9544   clt 9675   cmin 9860   cdiv 10269  cn 10609  cn0 10869  cz 10937  crp 11302  cfl 12026   cmo 12096   cdvds 14305 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-dvds 14306 This theorem is referenced by:  divalgmodcl  35842
 Copyright terms: Public domain W3C validator