MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem9 Structured version   Unicode version

Theorem divalglem9 13935
Description: Lemma for divalg 13937. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem8.1  |-  N  e.  ZZ
divalglem8.2  |-  D  e.  ZZ
divalglem8.3  |-  D  =/=  0
divalglem8.4  |-  S  =  { r  e.  NN0  |  D  ||  ( N  -  r ) }
divalglem9.5  |-  R  =  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )
Assertion
Ref Expression
divalglem9  |-  E! x  e.  S  x  <  ( abs `  D )
Distinct variable groups:    D, r, x    N, r, x    x, S    x, R
Allowed substitution hints:    R( r)    S( r)

Proof of Theorem divalglem9
Dummy variables  k 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem9.5 . . . 4  |-  R  =  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )
2 divalglem8.1 . . . . 5  |-  N  e.  ZZ
3 divalglem8.2 . . . . 5  |-  D  e.  ZZ
4 divalglem8.3 . . . . 5  |-  D  =/=  0
5 divalglem8.4 . . . . 5  |-  S  =  { r  e.  NN0  |  D  ||  ( N  -  r ) }
62, 3, 4, 5divalglem2 13929 . . . 4  |-  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  S
71, 6eqeltri 2551 . . 3  |-  R  e.  S
82, 3, 4, 5, 1divalglem5 13931 . . . 4  |-  ( 0  <_  R  /\  R  <  ( abs `  D
) )
98simpri 462 . . 3  |-  R  < 
( abs `  D
)
10 breq1 4456 . . . 4  |-  ( x  =  R  ->  (
x  <  ( abs `  D )  <->  R  <  ( abs `  D ) ) )
1110rspcev 3219 . . 3  |-  ( ( R  e.  S  /\  R  <  ( abs `  D
) )  ->  E. x  e.  S  x  <  ( abs `  D ) )
127, 9, 11mp2an 672 . 2  |-  E. x  e.  S  x  <  ( abs `  D )
13 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  x  ->  ( N  -  r )  =  ( N  -  x ) )
1413breq2d 4465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  x  ->  ( D  ||  ( N  -  r )  <->  D  ||  ( N  -  x )
) )
1514, 5elrab2 3268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  S  <->  ( x  e.  NN0  /\  D  ||  ( N  -  x
) ) )
1615simplbi 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  S  ->  x  e.  NN0 )
1716nn0zd 10976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  S  ->  x  e.  ZZ )
18 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  y  ->  ( N  -  r )  =  ( N  -  y ) )
1918breq2d 4465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  y  ->  ( D  ||  ( N  -  r )  <->  D  ||  ( N  -  y )
) )
2019, 5elrab2 3268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  S  <->  ( y  e.  NN0  /\  D  ||  ( N  -  y
) ) )
2120simplbi 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  S  ->  y  e.  NN0 )
2221nn0zd 10976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  S  ->  y  e.  ZZ )
23 zsubcl 10917 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( N  -  x
)  e.  ZZ )
242, 23mpan 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ZZ  ->  ( N  -  x )  e.  ZZ )
25 zsubcl 10917 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( N  -  y
)  e.  ZZ )
262, 25mpan 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( N  -  y )  e.  ZZ )
2724, 26anim12i 566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  x )  e.  ZZ  /\  ( N  -  y
)  e.  ZZ ) )
2817, 22, 27syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( ( N  -  x )  e.  ZZ  /\  ( N  -  y
)  e.  ZZ ) )
2915simprbi 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  S  ->  D  ||  ( N  -  x
) )
3020simprbi 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  S  ->  D  ||  ( N  -  y
) )
3129, 30anim12i 566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( D  ||  ( N  -  x )  /\  D  ||  ( N  -  y ) ) )
32 dvds2sub 13894 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  ( N  -  x
)  e.  ZZ  /\  ( N  -  y
)  e.  ZZ )  ->  ( ( D 
||  ( N  -  x )  /\  D  ||  ( N  -  y
) )  ->  D  ||  ( ( N  -  x )  -  ( N  -  y )
) ) )
333, 32mp3an1 1311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  -  x
)  e.  ZZ  /\  ( N  -  y
)  e.  ZZ )  ->  ( ( D 
||  ( N  -  x )  /\  D  ||  ( N  -  y
) )  ->  D  ||  ( ( N  -  x )  -  ( N  -  y )
) ) )
3428, 31, 33sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  D  ||  ( ( N  -  x )  -  ( N  -  y ) ) )
35 zcn 10881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
36 zcn 10881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  CC )
372zrei 10882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  N  e.  RR
3837recni 9620 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  N  e.  CC
3938subidi 9902 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  -  N )  =  0
4039oveq1i 6305 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  -  N )  -  ( x  -  y ) )  =  ( 0  -  (
x  -  y ) )
41 0cn 9600 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  CC
42 subsub2 9859 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  (
0  -  ( x  -  y ) )  =  ( 0  +  ( y  -  x
) ) )
4341, 42mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 0  -  (
x  -  y ) )  =  ( 0  +  ( y  -  x ) ) )
4440, 43syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( N  -  N )  -  (
x  -  y ) )  =  ( 0  +  ( y  -  x ) ) )
45 sub4 9876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  CC  /\  N  e.  CC )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( ( N  -  N )  -  (
x  -  y ) )  =  ( ( N  -  x )  -  ( N  -  y ) ) )
4638, 38, 45mpanl12 682 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( N  -  N )  -  (
x  -  y ) )  =  ( ( N  -  x )  -  ( N  -  y ) ) )
47 subcl 9831 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( y  -  x
)  e.  CC )
4847ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( y  -  x
)  e.  CC )
4948addid2d 9792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 0  +  ( y  -  x ) )  =  ( y  -  x ) )
5044, 46, 493eqtr3d 2516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( N  -  x )  -  ( N  -  y )
)  =  ( y  -  x ) )
5135, 36, 50syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  x )  -  ( N  -  y )
)  =  ( y  -  x ) )
5217, 22, 51syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( ( N  -  x )  -  ( N  -  y )
)  =  ( y  -  x ) )
5352breq2d 4465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( D  ||  (
( N  -  x
)  -  ( N  -  y ) )  <-> 
D  ||  ( y  -  x ) ) )
5434, 53mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  D  ||  ( y  -  x ) )
55 zsubcl 10917 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( y  -  x
)  e.  ZZ )
5655ancoms 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( y  -  x
)  e.  ZZ )
57 absdvdsb 13880 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  ( y  -  x
)  e.  ZZ )  ->  ( D  ||  ( y  -  x
)  <->  ( abs `  D
)  ||  ( y  -  x ) ) )
583, 56, 57sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( D  ||  (
y  -  x )  <-> 
( abs `  D
)  ||  ( y  -  x ) ) )
5917, 22, 58syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( D  ||  (
y  -  x )  <-> 
( abs `  D
)  ||  ( y  -  x ) ) )
6054, 59mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  D
)  ||  ( y  -  x ) )
61 nnabscl 13138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  D  =/=  0 )  -> 
( abs `  D
)  e.  NN )
623, 4, 61mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs `  D )  e.  NN
6362nnzi 10900 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  D )  e.  ZZ
64 divides 13866 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  D
)  e.  ZZ  /\  ( y  -  x
)  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  D )  ||  (
y  -  x )  <->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  ( abs `  D ) )  =  ( y  -  x ) ) )
6563, 56, 64sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  D
)  ||  ( y  -  x )  <->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  ( abs `  D
) )  =  ( y  -  x ) ) )
6617, 22, 65syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( ( abs `  D
)  ||  ( y  -  x )  <->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  ( abs `  D
) )  =  ( y  -  x ) ) )
6760, 66mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  ( abs `  D ) )  =  ( y  -  x ) )
6867adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S
)  /\  ( x  <  ( abs `  D
)  /\  y  <  ( abs `  D ) ) )  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  ( abs `  D
) )  =  ( y  -  x ) )
692, 3, 4, 5divalglem8 13934 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S
)  /\  ( x  <  ( abs `  D
)  /\  y  <  ( abs `  D ) ) )  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( ( k  x.  ( abs `  D ) )  =  ( y  -  x )  ->  x  =  y ) ) )
7069rexlimdv 2957 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S
)  /\  ( x  <  ( abs `  D
)  /\  y  <  ( abs `  D ) ) )  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( k  x.  ( abs `  D ) )  =  ( y  -  x )  ->  x  =  y ) )
7168, 70mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S
)  /\  ( x  <  ( abs `  D
)  /\  y  <  ( abs `  D ) ) )  ->  x  =  y )
7271ex 434 . . 3  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( ( x  < 
( abs `  D
)  /\  y  <  ( abs `  D ) )  ->  x  =  y ) )
7372rgen2a 2894 . 2  |-  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( (
x  <  ( abs `  D )  /\  y  <  ( abs `  D
) )  ->  x  =  y )
74 breq1 4456 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <  ( abs `  D )  <->  y  <  ( abs `  D ) ) )
7574reu4 3302 . 2  |-  ( E! x  e.  S  x  <  ( abs `  D
)  <->  ( E. x  e.  S  x  <  ( abs `  D )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( ( x  <  ( abs `  D
)  /\  y  <  ( abs `  D ) )  ->  x  =  y ) ) )
7612, 73, 75mpbir2an 918 1  |-  E! x  e.  S  x  <  ( abs `  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818   E!wreu 2819   {crab 2821   class class class wbr 4453   `'ccnv 5004   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   supcsup 7912   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504    + caddc 9507    x. cmul 9509    < clt 9640    <_ cle 9641    - cmin 9817   NNcn 10548   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   abscabs 13047    || cdivides 13864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-dvds 13865
This theorem is referenced by:  divalglem10  13936
  Copyright terms: Public domain W3C validator