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Theorem divalglem9 14381
Description: Lemma for divalg 14384. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by AV, 2-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem8.1  |-  N  e.  ZZ
divalglem8.2  |-  D  e.  ZZ
divalglem8.3  |-  D  =/=  0
divalglem8.4  |-  S  =  { r  e.  NN0  |  D  ||  ( N  -  r ) }
divalglem9.5  |-  R  = inf ( S ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
divalglem9  |-  E! x  e.  S  x  <  ( abs `  D )
Distinct variable groups:    D, r, x    N, r, x    x, S    x, R
Allowed substitution hints:    R( r)    S( r)

Proof of Theorem divalglem9
Dummy variables  k 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem9.5 . . . 4  |-  R  = inf ( S ,  RR ,  <  )
2 divalglem8.1 . . . . 5  |-  N  e.  ZZ
3 divalglem8.2 . . . . 5  |-  D  e.  ZZ
4 divalglem8.3 . . . . 5  |-  D  =/=  0
5 divalglem8.4 . . . . 5  |-  S  =  { r  e.  NN0  |  D  ||  ( N  -  r ) }
62, 3, 4, 5divalglem2 14373 . . . 4  |- inf ( S ,  RR ,  <  )  e.  S
71, 6eqeltri 2525 . . 3  |-  R  e.  S
82, 3, 4, 5, 1divalglem5 14377 . . . 4  |-  ( 0  <_  R  /\  R  <  ( abs `  D
) )
98simpri 464 . . 3  |-  R  < 
( abs `  D
)
10 breq1 4405 . . . 4  |-  ( x  =  R  ->  (
x  <  ( abs `  D )  <->  R  <  ( abs `  D ) ) )
1110rspcev 3150 . . 3  |-  ( ( R  e.  S  /\  R  <  ( abs `  D
) )  ->  E. x  e.  S  x  <  ( abs `  D ) )
127, 9, 11mp2an 678 . 2  |-  E. x  e.  S  x  <  ( abs `  D )
13 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  x  ->  ( N  -  r )  =  ( N  -  x ) )
1413breq2d 4414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  x  ->  ( D  ||  ( N  -  r )  <->  D  ||  ( N  -  x )
) )
1514, 5elrab2 3198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  S  <->  ( x  e.  NN0  /\  D  ||  ( N  -  x
) ) )
1615simplbi 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  S  ->  x  e.  NN0 )
1716nn0zd 11038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  S  ->  x  e.  ZZ )
18 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  y  ->  ( N  -  r )  =  ( N  -  y ) )
1918breq2d 4414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  y  ->  ( D  ||  ( N  -  r )  <->  D  ||  ( N  -  y )
) )
2019, 5elrab2 3198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  S  <->  ( y  e.  NN0  /\  D  ||  ( N  -  y
) ) )
2120simplbi 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  S  ->  y  e.  NN0 )
2221nn0zd 11038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  S  ->  y  e.  ZZ )
23 zsubcl 10979 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( N  -  x
)  e.  ZZ )
242, 23mpan 676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ZZ  ->  ( N  -  x )  e.  ZZ )
25 zsubcl 10979 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( N  -  y
)  e.  ZZ )
262, 25mpan 676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( N  -  y )  e.  ZZ )
2724, 26anim12i 570 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  x )  e.  ZZ  /\  ( N  -  y
)  e.  ZZ ) )
2817, 22, 27syl2an 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( ( N  -  x )  e.  ZZ  /\  ( N  -  y
)  e.  ZZ ) )
2915simprbi 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  S  ->  D  ||  ( N  -  x
) )
3020simprbi 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  S  ->  D  ||  ( N  -  y
) )
3129, 30anim12i 570 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( D  ||  ( N  -  x )  /\  D  ||  ( N  -  y ) ) )
32 dvds2sub 14335 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  ( N  -  x
)  e.  ZZ  /\  ( N  -  y
)  e.  ZZ )  ->  ( ( D 
||  ( N  -  x )  /\  D  ||  ( N  -  y
) )  ->  D  ||  ( ( N  -  x )  -  ( N  -  y )
) ) )
333, 32mp3an1 1351 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  -  x
)  e.  ZZ  /\  ( N  -  y
)  e.  ZZ )  ->  ( ( D 
||  ( N  -  x )  /\  D  ||  ( N  -  y
) )  ->  D  ||  ( ( N  -  x )  -  ( N  -  y )
) ) )
3428, 31, 33sylc 62 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  D  ||  ( ( N  -  x )  -  ( N  -  y ) ) )
35 zcn 10942 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
36 zcn 10942 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  CC )
372zrei 10943 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  N  e.  RR
3837recni 9655 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  N  e.  CC
3938subidi 9945 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  -  N )  =  0
4039oveq1i 6300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  -  N )  -  ( x  -  y ) )  =  ( 0  -  (
x  -  y ) )
41 0cn 9635 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  CC
42 subsub2 9902 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  (
0  -  ( x  -  y ) )  =  ( 0  +  ( y  -  x
) ) )
4341, 42mp3an1 1351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 0  -  (
x  -  y ) )  =  ( 0  +  ( y  -  x ) ) )
4440, 43syl5eq 2497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( N  -  N )  -  (
x  -  y ) )  =  ( 0  +  ( y  -  x ) ) )
45 sub4 9919 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  CC  /\  N  e.  CC )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( ( N  -  N )  -  (
x  -  y ) )  =  ( ( N  -  x )  -  ( N  -  y ) ) )
4638, 38, 45mpanl12 688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( N  -  N )  -  (
x  -  y ) )  =  ( ( N  -  x )  -  ( N  -  y ) ) )
47 subcl 9874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( y  -  x
)  e.  CC )
4847ancoms 455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( y  -  x
)  e.  CC )
4948addid2d 9834 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 0  +  ( y  -  x ) )  =  ( y  -  x ) )
5044, 46, 493eqtr3d 2493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( N  -  x )  -  ( N  -  y )
)  =  ( y  -  x ) )
5135, 36, 50syl2an 480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  x )  -  ( N  -  y )
)  =  ( y  -  x ) )
5217, 22, 51syl2an 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( ( N  -  x )  -  ( N  -  y )
)  =  ( y  -  x ) )
5352breq2d 4414 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( D  ||  (
( N  -  x
)  -  ( N  -  y ) )  <-> 
D  ||  ( y  -  x ) ) )
5434, 53mpbid 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  D  ||  ( y  -  x ) )
55 zsubcl 10979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( y  -  x
)  e.  ZZ )
5655ancoms 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( y  -  x
)  e.  ZZ )
57 absdvdsb 14321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  ( y  -  x
)  e.  ZZ )  ->  ( D  ||  ( y  -  x
)  <->  ( abs `  D
)  ||  ( y  -  x ) ) )
583, 56, 57sylancr 669 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( D  ||  (
y  -  x )  <-> 
( abs `  D
)  ||  ( y  -  x ) ) )
5917, 22, 58syl2an 480 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( D  ||  (
y  -  x )  <-> 
( abs `  D
)  ||  ( y  -  x ) ) )
6054, 59mpbid 214 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  D
)  ||  ( y  -  x ) )
61 nnabscl 13388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  D  =/=  0 )  -> 
( abs `  D
)  e.  NN )
623, 4, 61mp2an 678 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs `  D )  e.  NN
6362nnzi 10961 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  D )  e.  ZZ
64 divides 14307 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  D
)  e.  ZZ  /\  ( y  -  x
)  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  D )  ||  (
y  -  x )  <->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  ( abs `  D ) )  =  ( y  -  x ) ) )
6563, 56, 64sylancr 669 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  D
)  ||  ( y  -  x )  <->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  ( abs `  D
) )  =  ( y  -  x ) ) )
6617, 22, 65syl2an 480 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( ( abs `  D
)  ||  ( y  -  x )  <->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  ( abs `  D
) )  =  ( y  -  x ) ) )
6760, 66mpbid 214 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  ( abs `  D ) )  =  ( y  -  x ) )
6867adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S
)  /\  ( x  <  ( abs `  D
)  /\  y  <  ( abs `  D ) ) )  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  ( abs `  D
) )  =  ( y  -  x ) )
692, 3, 4, 5divalglem8 14380 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S
)  /\  ( x  <  ( abs `  D
)  /\  y  <  ( abs `  D ) ) )  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( ( k  x.  ( abs `  D ) )  =  ( y  -  x )  ->  x  =  y ) ) )
7069rexlimdv 2877 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S
)  /\  ( x  <  ( abs `  D
)  /\  y  <  ( abs `  D ) ) )  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( k  x.  ( abs `  D ) )  =  ( y  -  x )  ->  x  =  y ) )
7168, 70mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S
)  /\  ( x  <  ( abs `  D
)  /\  y  <  ( abs `  D ) ) )  ->  x  =  y )
7271ex 436 . . 3  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( ( x  < 
( abs `  D
)  /\  y  <  ( abs `  D ) )  ->  x  =  y ) )
7372rgen2a 2815 . 2  |-  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( (
x  <  ( abs `  D )  /\  y  <  ( abs `  D
) )  ->  x  =  y )
74 breq1 4405 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <  ( abs `  D )  <->  y  <  ( abs `  D ) ) )
7574reu4 3232 . 2  |-  ( E! x  e.  S  x  <  ( abs `  D
)  <->  ( E. x  e.  S  x  <  ( abs `  D )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( ( x  <  ( abs `  D
)  /\  y  <  ( abs `  D ) )  ->  x  =  y ) ) )
7612, 73, 75mpbir2an 931 1  |-  E! x  e.  S  x  <  ( abs `  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   E!wreu 2739   {crab 2741   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290  infcinf 7955   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539    + caddc 9542    x. cmul 9544    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   abscabs 13297    || cdvds 14305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-dvds 14306
This theorem is referenced by:  divalglem10  14383
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