Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem9 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem divalglem9 14381
 Description: Lemma for divalg 14384. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by AV, 2-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem8.1
divalglem8.2
divalglem8.3
divalglem8.4
divalglem9.5 inf
Assertion
Ref Expression
divalglem9
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem divalglem9
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem9.5 . . . 4 inf
2 divalglem8.1 . . . . 5
3 divalglem8.2 . . . . 5
4 divalglem8.3 . . . . 5
5 divalglem8.4 . . . . 5
62, 3, 4, 5divalglem2 14373 . . . 4 inf
71, 6eqeltri 2525 . . 3
82, 3, 4, 5, 1divalglem5 14377 . . . 4
98simpri 464 . . 3
10 breq1 4405 . . . 4
1110rspcev 3150 . . 3
127, 9, 11mp2an 678 . 2
13 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . . 15
1413breq2d 4414 . . . . . . . . . . . . . 14
1514, 5elrab2 3198 . . . . . . . . . . . . 13
1615simplbi 462 . . . . . . . . . . . 12
1716nn0zd 11038 . . . . . . . . . . 11
18 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . . 15
1918breq2d 4414 . . . . . . . . . . . . . 14
2019, 5elrab2 3198 . . . . . . . . . . . . 13
2120simplbi 462 . . . . . . . . . . . 12
2221nn0zd 11038 . . . . . . . . . . 11
23 zsubcl 10979 . . . . . . . . . . . . 13
242, 23mpan 676 . . . . . . . . . . . 12
25 zsubcl 10979 . . . . . . . . . . . . 13
262, 25mpan 676 . . . . . . . . . . . 12
2724, 26anim12i 570 . . . . . . . . . . 11
2817, 22, 27syl2an 480 . . . . . . . . . 10
2915simprbi 466 . . . . . . . . . . 11
3020simprbi 466 . . . . . . . . . . 11
3129, 30anim12i 570 . . . . . . . . . 10
32 dvds2sub 14335 . . . . . . . . . . 11
333, 32mp3an1 1351 . . . . . . . . . 10
3428, 31, 33sylc 62 . . . . . . . . 9
35 zcn 10942 . . . . . . . . . . . 12
36 zcn 10942 . . . . . . . . . . . 12
372zrei 10943 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3837recni 9655 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3938subidi 9945 . . . . . . . . . . . . . . 15
4039oveq1i 6300 . . . . . . . . . . . . . 14
41 0cn 9635 . . . . . . . . . . . . . . 15
42 subsub2 9902 . . . . . . . . . . . . . . 15
4341, 42mp3an1 1351 . . . . . . . . . . . . . 14
4440, 43syl5eq 2497 . . . . . . . . . . . . 13
45 sub4 9919 . . . . . . . . . . . . . 14
4638, 38, 45mpanl12 688 . . . . . . . . . . . . 13
47 subcl 9874 . . . . . . . . . . . . . . 15
4847ancoms 455 . . . . . . . . . . . . . 14
4948addid2d 9834 . . . . . . . . . . . . 13
5044, 46, 493eqtr3d 2493 . . . . . . . . . . . 12
5135, 36, 50syl2an 480 . . . . . . . . . . 11
5217, 22, 51syl2an 480 . . . . . . . . . 10
5352breq2d 4414 . . . . . . . . 9
5434, 53mpbid 214 . . . . . . . 8
55 zsubcl 10979 . . . . . . . . . . 11
5655ancoms 455 . . . . . . . . . 10
57 absdvdsb 14321 . . . . . . . . . 10
583, 56, 57sylancr 669 . . . . . . . . 9
5917, 22, 58syl2an 480 . . . . . . . 8
6054, 59mpbid 214 . . . . . . 7
61 nnabscl 13388 . . . . . . . . . . 11
623, 4, 61mp2an 678 . . . . . . . . . 10
6362nnzi 10961 . . . . . . . . 9
64 divides 14307 . . . . . . . . 9
6563, 56, 64sylancr 669 . . . . . . . 8
6617, 22, 65syl2an 480 . . . . . . 7
6760, 66mpbid 214 . . . . . 6
6867adantr 467 . . . . 5
692, 3, 4, 5divalglem8 14380 . . . . . 6
7069rexlimdv 2877 . . . . 5
7168, 70mpd 15 . . . 4
7271ex 436 . . 3
7372rgen2a 2815 . 2
74 breq1 4405 . . 3
7574reu4 3232 . 2
7612, 73, 75mpbir2an 931 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1444   wcel 1887   wne 2622  wral 2737  wrex 2738  wreu 2739  crab 2741   class class class wbr 4402  cfv 5582  (class class class)co 6290  infcinf 7955  cc 9537  cr 9538  cc0 9539   caddc 9542   cmul 9544   clt 9675   cle 9676   cmin 9860  cn 10609  cn0 10869  cz 10937  cabs 13297   cdvds 14305 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-dvds 14306 This theorem is referenced by:  divalglem10  14383
 Copyright terms: Public domain W3C validator