Theorem divalglem9 14143

Description: Lemma for divalg 14145. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglem8.1	|- N e. ZZ
divalglem8.2	|- D e. ZZ
divalglem8.3	|- D =/= 0
divalglem8.4	|- S = { r e. NN0 | D || ( N - r ) }
divalglem9.5	|- R = sup ( S , RR , `' < )

Assertion

Ref	Expression
divalglem9	|- E! x e. S x < ( abs ` D )

Distinct variable groups:   D, r, x   N, r, x   x, S   x, R

Allowed substitution hints:   R( r)   S( r)

Proof of Theorem divalglem9

Dummy variables k y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglem9.5	. . . 4 |- R = sup ( S , RR , `' < )
2		divalglem8.1	. . . . 5 |- N e. ZZ
3		divalglem8.2	. . . . 5 |- D e. ZZ
4		divalglem8.3	. . . . 5 |- D =/= 0
5		divalglem8.4	. . . . 5 |- S = { r e. NN0 | D || ( N - r ) }
6	2, 3, 4, 5	divalglem2 14137	. . . 4 |- sup ( S , RR , `' < ) e. S
7	1, 6	eqeltri 2538	. . 3 |- R e. S
8	2, 3, 4, 5, 1	divalglem5 14139	. . . 4 |- ( 0 <_ R /\ R < ( abs ` D ) )
9	8	simpri 460	. . 3 |- R < ( abs ` D )
10		breq1 4442	. . . 4 |- ( x = R -> ( x < ( abs ` D ) <-> R < ( abs ` D ) ) )
11	10	rspcev 3207	. . 3 |- ( ( R e. S /\ R < ( abs ` D ) ) -> E. x e. S x < ( abs ` D ) )
12	7, 9, 11	mp2an 670	. 2 |- E. x e. S x < ( abs ` D )
13		oveq2 6278	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( r = x -> ( N - r ) = ( N - x ) )
14	13	breq2d 4451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r = x -> ( D || ( N - r ) <-> D || ( N - x ) ) )
15	14, 5	elrab2 3256	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. S <-> ( x e. NN0 /\ D || ( N - x ) ) )
16	15	simplbi 458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. S -> x e. NN0 )
17	16	nn0zd 10963	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. S -> x e. ZZ )
18		oveq2 6278	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( r = y -> ( N - r ) = ( N - y ) )
19	18	breq2d 4451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r = y -> ( D || ( N - r ) <-> D || ( N - y ) ) )
20	19, 5	elrab2 3256	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. S <-> ( y e. NN0 /\ D || ( N - y ) ) )
21	20	simplbi 458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. S -> y e. NN0 )
22	21	nn0zd 10963	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. S -> y e. ZZ )
23		zsubcl 10902	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( N - x ) e. ZZ )
24	2, 23	mpan 668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ZZ -> ( N - x ) e. ZZ )
25		zsubcl 10902	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( N - y ) e. ZZ )
26	2, 25	mpan 668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ZZ -> ( N - y ) e. ZZ )
27	24, 26	anim12i 564	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( N - x ) e. ZZ /\ ( N - y ) e. ZZ ) )
28	17, 22, 27	syl2an 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> ( ( N - x ) e. ZZ /\ ( N - y ) e. ZZ ) )
29	15	simprbi 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. S -> D || ( N - x ) )
30	20	simprbi 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. S -> D || ( N - y ) )
31	29, 30	anim12i 564	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> ( D || ( N - x ) /\ D || ( N - y ) ) )
32		dvds2sub 14100	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ZZ /\ ( N - x ) e. ZZ /\ ( N - y ) e. ZZ ) -> ( ( D || ( N - x ) /\ D || ( N - y ) ) -> D || ( ( N - x ) - ( N - y ) ) ) )
33	3, 32	mp3an1 1309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N - x ) e. ZZ /\ ( N - y ) e. ZZ ) -> ( ( D || ( N - x ) /\ D || ( N - y ) ) -> D || ( ( N - x ) - ( N - y ) ) ) )
34	28, 31, 33	sylc 60	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> D || ( ( N - x ) - ( N - y ) ) )
35		zcn 10865	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
36		zcn 10865	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ZZ -> y e. CC )
37	2	zrei 10866	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- N e. RR
38	37	recni 9597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- N e. CC
39	38	subidi 9881	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N - N ) = 0
40	39	oveq1i 6280	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N - N ) - ( x - y ) ) = ( 0 - ( x - y ) )
41		0cn 9577	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. CC
42		subsub2 9838	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. CC /\ x e. CC /\ y e. CC ) -> ( 0 - ( x - y ) ) = ( 0 + ( y - x ) ) )
43	41, 42	mp3an1 1309	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( 0 - ( x - y ) ) = ( 0 + ( y - x ) ) )
44	40, 43	syl5eq 2507	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( N - N ) - ( x - y ) ) = ( 0 + ( y - x ) ) )
45		sub4 9855	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. CC /\ N e. CC ) /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( N - N ) - ( x - y ) ) = ( ( N - x ) - ( N - y ) ) )
46	38, 38, 45	mpanl12 680	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( N - N ) - ( x - y ) ) = ( ( N - x ) - ( N - y ) ) )
47		subcl 9810	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. CC /\ x e. CC ) -> ( y - x ) e. CC )
48	47	ancoms 451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( y - x ) e. CC )
49	48	addid2d 9770	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( 0 + ( y - x ) ) = ( y - x ) )
50	44, 46, 49	3eqtr3d 2503	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( N - x ) - ( N - y ) ) = ( y - x ) )
51	35, 36, 50	syl2an 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( N - x ) - ( N - y ) ) = ( y - x ) )
52	17, 22, 51	syl2an 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> ( ( N - x ) - ( N - y ) ) = ( y - x ) )
53	52	breq2d 4451	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> ( D || ( ( N - x ) - ( N - y ) ) <-> D || ( y - x ) ) )
54	34, 53	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> D || ( y - x ) )
55		zsubcl 10902	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( y - x ) e. ZZ )
56	55	ancoms 451	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( y - x ) e. ZZ )
57		absdvdsb 14086	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ZZ /\ ( y - x ) e. ZZ ) -> ( D || ( y - x ) <-> ( abs ` D ) || ( y - x ) ) )
58	3, 56, 57	sylancr 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( D || ( y - x ) <-> ( abs ` D ) || ( y - x ) ) )
59	17, 22, 58	syl2an 475	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> ( D || ( y - x ) <-> ( abs ` D ) || ( y - x ) ) )
60	54, 59	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> ( abs ` D ) || ( y - x ) )
61		nnabscl 13240	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ZZ /\ D =/= 0 ) -> ( abs ` D ) e. NN )
62	3, 4, 61	mp2an 670	. . . . . . . . . 10 |- ( abs ` D ) e. NN
63	62	nnzi 10884	. . . . . . . . 9 |- ( abs ` D ) e. ZZ
64		divides 14072	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` D ) e. ZZ /\ ( y - x ) e. ZZ ) -> ( ( abs ` D ) || ( y - x ) <-> E. k e. ZZ ( k x. ( abs ` D ) ) = ( y - x ) ) )
65	63, 56, 64	sylancr 661	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( abs ` D ) || ( y - x ) <-> E. k e. ZZ ( k x. ( abs ` D ) ) = ( y - x ) ) )
66	17, 22, 65	syl2an 475	. . . . . . 7 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> ( ( abs ` D ) || ( y - x ) <-> E. k e. ZZ ( k x. ( abs ` D ) ) = ( y - x ) ) )
67	60, 66	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> E. k e. ZZ ( k x. ( abs ` D ) ) = ( y - x ) )
68	67	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ( x e. S /\ y e. S ) /\ ( x < ( abs ` D ) /\ y < ( abs ` D ) ) ) -> E. k e. ZZ ( k x. ( abs ` D ) ) = ( y - x ) )
69	2, 3, 4, 5	divalglem8 14142	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. S /\ y e. S ) /\ ( x < ( abs ` D ) /\ y < ( abs ` D ) ) ) -> ( k e. ZZ -> ( ( k x. ( abs ` D ) ) = ( y - x ) -> x = y ) ) )
70	69	rexlimdv 2944	. . . . 5 |- ( ( ( x e. S /\ y e. S ) /\ ( x < ( abs ` D ) /\ y < ( abs ` D ) ) ) -> ( E. k e. ZZ ( k x. ( abs ` D ) ) = ( y - x ) -> x = y ) )
71	68, 70	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ( x e. S /\ y e. S ) /\ ( x < ( abs ` D ) /\ y < ( abs ` D ) ) ) -> x = y )
72	71	ex 432	. . 3 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> ( ( x < ( abs ` D ) /\ y < ( abs ` D ) ) -> x = y ) )
73	72	rgen2a 2881	. 2 |- A. x e. S A. y e. S ( ( x < ( abs ` D ) /\ y < ( abs ` D ) ) -> x = y )
74		breq1 4442	. . 3 |- ( x = y -> ( x < ( abs ` D ) <-> y < ( abs ` D ) ) )
75	74	reu4 3290	. 2 |- ( E! x e. S x < ( abs ` D ) <-> ( E. x e. S x < ( abs ` D ) /\ A. x e. S A. y e. S ( ( x < ( abs ` D ) /\ y < ( abs ` D ) ) -> x = y ) ) )
76	12, 73, 75	mpbir2an 918	1 |- E! x e. S x < ( abs ` D )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   E!wreu 2806   {crab 2808   class class class wbr 4439   `'ccnv 4987   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   supcsup 7892   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   + caddc 9484   x. cmul 9486   < clt 9617   <_ cle 9618   - cmin 9796   NNcn 10531   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   abscabs 13149   || cdvds 14070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-dvds 14071

This theorem is referenced by:  divalglem10  14144