Theorem divalglem9 14381

Description: Lemma for divalg 14384. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by AV, 2-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglem8.1	|- N e. ZZ
divalglem8.2	|- D e. ZZ
divalglem8.3	|- D =/= 0
divalglem8.4	|- S = { r e. NN0 | D || ( N - r ) }
divalglem9.5	|- R = inf ( S , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
divalglem9	|- E! x e. S x < ( abs ` D )

Distinct variable groups:   D, r, x   N, r, x   x, S   x, R

Allowed substitution hints:   R( r)   S( r)

Proof of Theorem divalglem9

Dummy variables k y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglem9.5	. . . 4 |- R = inf ( S , RR , < )
2		divalglem8.1	. . . . 5 |- N e. ZZ
3		divalglem8.2	. . . . 5 |- D e. ZZ
4		divalglem8.3	. . . . 5 |- D =/= 0
5		divalglem8.4	. . . . 5 |- S = { r e. NN0 | D || ( N - r ) }
6	2, 3, 4, 5	divalglem2 14373	. . . 4 |- inf ( S , RR , < ) e. S
7	1, 6	eqeltri 2525	. . 3 |- R e. S
8	2, 3, 4, 5, 1	divalglem5 14377	. . . 4 |- ( 0 <_ R /\ R < ( abs ` D ) )
9	8	simpri 464	. . 3 |- R < ( abs ` D )
10		breq1 4405	. . . 4 |- ( x = R -> ( x < ( abs ` D ) <-> R < ( abs ` D ) ) )
11	10	rspcev 3150	. . 3 |- ( ( R e. S /\ R < ( abs ` D ) ) -> E. x e. S x < ( abs ` D ) )
12	7, 9, 11	mp2an 678	. 2 |- E. x e. S x < ( abs ` D )
13		oveq2 6298	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( r = x -> ( N - r ) = ( N - x ) )
14	13	breq2d 4414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r = x -> ( D || ( N - r ) <-> D || ( N - x ) ) )
15	14, 5	elrab2 3198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. S <-> ( x e. NN0 /\ D || ( N - x ) ) )
16	15	simplbi 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. S -> x e. NN0 )
17	16	nn0zd 11038	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. S -> x e. ZZ )
18		oveq2 6298	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( r = y -> ( N - r ) = ( N - y ) )
19	18	breq2d 4414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r = y -> ( D || ( N - r ) <-> D || ( N - y ) ) )
20	19, 5	elrab2 3198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. S <-> ( y e. NN0 /\ D || ( N - y ) ) )
21	20	simplbi 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. S -> y e. NN0 )
22	21	nn0zd 11038	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. S -> y e. ZZ )
23		zsubcl 10979	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( N - x ) e. ZZ )
24	2, 23	mpan 676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ZZ -> ( N - x ) e. ZZ )
25		zsubcl 10979	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( N - y ) e. ZZ )
26	2, 25	mpan 676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ZZ -> ( N - y ) e. ZZ )
27	24, 26	anim12i 570	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( N - x ) e. ZZ /\ ( N - y ) e. ZZ ) )
28	17, 22, 27	syl2an 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> ( ( N - x ) e. ZZ /\ ( N - y ) e. ZZ ) )
29	15	simprbi 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. S -> D || ( N - x ) )
30	20	simprbi 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. S -> D || ( N - y ) )
31	29, 30	anim12i 570	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> ( D || ( N - x ) /\ D || ( N - y ) ) )
32		dvds2sub 14335	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ZZ /\ ( N - x ) e. ZZ /\ ( N - y ) e. ZZ ) -> ( ( D || ( N - x ) /\ D || ( N - y ) ) -> D || ( ( N - x ) - ( N - y ) ) ) )
33	3, 32	mp3an1 1351	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N - x ) e. ZZ /\ ( N - y ) e. ZZ ) -> ( ( D || ( N - x ) /\ D || ( N - y ) ) -> D || ( ( N - x ) - ( N - y ) ) ) )
34	28, 31, 33	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> D || ( ( N - x ) - ( N - y ) ) )
35		zcn 10942	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
36		zcn 10942	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ZZ -> y e. CC )
37	2	zrei 10943	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- N e. RR
38	37	recni 9655	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- N e. CC
39	38	subidi 9945	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N - N ) = 0
40	39	oveq1i 6300	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N - N ) - ( x - y ) ) = ( 0 - ( x - y ) )
41		0cn 9635	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. CC
42		subsub2 9902	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. CC /\ x e. CC /\ y e. CC ) -> ( 0 - ( x - y ) ) = ( 0 + ( y - x ) ) )
43	41, 42	mp3an1 1351	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( 0 - ( x - y ) ) = ( 0 + ( y - x ) ) )
44	40, 43	syl5eq 2497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( N - N ) - ( x - y ) ) = ( 0 + ( y - x ) ) )
45		sub4 9919	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. CC /\ N e. CC ) /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( N - N ) - ( x - y ) ) = ( ( N - x ) - ( N - y ) ) )
46	38, 38, 45	mpanl12 688	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( N - N ) - ( x - y ) ) = ( ( N - x ) - ( N - y ) ) )
47		subcl 9874	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. CC /\ x e. CC ) -> ( y - x ) e. CC )
48	47	ancoms 455	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( y - x ) e. CC )
49	48	addid2d 9834	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( 0 + ( y - x ) ) = ( y - x ) )
50	44, 46, 49	3eqtr3d 2493	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( N - x ) - ( N - y ) ) = ( y - x ) )
51	35, 36, 50	syl2an 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( N - x ) - ( N - y ) ) = ( y - x ) )
52	17, 22, 51	syl2an 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> ( ( N - x ) - ( N - y ) ) = ( y - x ) )
53	52	breq2d 4414	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> ( D || ( ( N - x ) - ( N - y ) ) <-> D || ( y - x ) ) )
54	34, 53	mpbid 214	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> D || ( y - x ) )
55		zsubcl 10979	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( y - x ) e. ZZ )
56	55	ancoms 455	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( y - x ) e. ZZ )
57		absdvdsb 14321	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ZZ /\ ( y - x ) e. ZZ ) -> ( D || ( y - x ) <-> ( abs ` D ) || ( y - x ) ) )
58	3, 56, 57	sylancr 669	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( D || ( y - x ) <-> ( abs ` D ) || ( y - x ) ) )
59	17, 22, 58	syl2an 480	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> ( D || ( y - x ) <-> ( abs ` D ) || ( y - x ) ) )
60	54, 59	mpbid 214	. . . . . . 7 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> ( abs ` D ) || ( y - x ) )
61		nnabscl 13388	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ZZ /\ D =/= 0 ) -> ( abs ` D ) e. NN )
62	3, 4, 61	mp2an 678	. . . . . . . . . 10 |- ( abs ` D ) e. NN
63	62	nnzi 10961	. . . . . . . . 9 |- ( abs ` D ) e. ZZ
64		divides 14307	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` D ) e. ZZ /\ ( y - x ) e. ZZ ) -> ( ( abs ` D ) || ( y - x ) <-> E. k e. ZZ ( k x. ( abs ` D ) ) = ( y - x ) ) )
65	63, 56, 64	sylancr 669	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( abs ` D ) || ( y - x ) <-> E. k e. ZZ ( k x. ( abs ` D ) ) = ( y - x ) ) )
66	17, 22, 65	syl2an 480	. . . . . . 7 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> ( ( abs ` D ) || ( y - x ) <-> E. k e. ZZ ( k x. ( abs ` D ) ) = ( y - x ) ) )
67	60, 66	mpbid 214	. . . . . 6 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> E. k e. ZZ ( k x. ( abs ` D ) ) = ( y - x ) )
68	67	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ( x e. S /\ y e. S ) /\ ( x < ( abs ` D ) /\ y < ( abs ` D ) ) ) -> E. k e. ZZ ( k x. ( abs ` D ) ) = ( y - x ) )
69	2, 3, 4, 5	divalglem8 14380	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. S /\ y e. S ) /\ ( x < ( abs ` D ) /\ y < ( abs ` D ) ) ) -> ( k e. ZZ -> ( ( k x. ( abs ` D ) ) = ( y - x ) -> x = y ) ) )
70	69	rexlimdv 2877	. . . . 5 |- ( ( ( x e. S /\ y e. S ) /\ ( x < ( abs ` D ) /\ y < ( abs ` D ) ) ) -> ( E. k e. ZZ ( k x. ( abs ` D ) ) = ( y - x ) -> x = y ) )
71	68, 70	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ( x e. S /\ y e. S ) /\ ( x < ( abs ` D ) /\ y < ( abs ` D ) ) ) -> x = y )
72	71	ex 436	. . 3 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> ( ( x < ( abs ` D ) /\ y < ( abs ` D ) ) -> x = y ) )
73	72	rgen2a 2815	. 2 |- A. x e. S A. y e. S ( ( x < ( abs ` D ) /\ y < ( abs ` D ) ) -> x = y )
74		breq1 4405	. . 3 |- ( x = y -> ( x < ( abs ` D ) <-> y < ( abs ` D ) ) )
75	74	reu4 3232	. 2 |- ( E! x e. S x < ( abs ` D ) <-> ( E. x e. S x < ( abs ` D ) /\ A. x e. S A. y e. S ( ( x < ( abs ` D ) /\ y < ( abs ` D ) ) -> x = y ) ) )
76	12, 73, 75	mpbir2an 931	1 |- E! x e. S x < ( abs ` D )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   E!wreu 2739   {crab 2741   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290  infcinf 7955   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   + caddc 9542   x. cmul 9544   < clt 9675   <_ cle 9676   - cmin 9860   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   abscabs 13297   || cdvds 14305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-dvds 14306

This theorem is referenced by:  divalglem10  14383