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Theorem divalglem9 14143
Description: Lemma for divalg 14145. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem8.1  |-  N  e.  ZZ
divalglem8.2  |-  D  e.  ZZ
divalglem8.3  |-  D  =/=  0
divalglem8.4  |-  S  =  { r  e.  NN0  |  D  ||  ( N  -  r ) }
divalglem9.5  |-  R  =  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )
Assertion
Ref Expression
divalglem9  |-  E! x  e.  S  x  <  ( abs `  D )
Distinct variable groups:    D, r, x    N, r, x    x, S    x, R
Allowed substitution hints:    R( r)    S( r)

Proof of Theorem divalglem9
Dummy variables  k 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem9.5 . . . 4  |-  R  =  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )
2 divalglem8.1 . . . . 5  |-  N  e.  ZZ
3 divalglem8.2 . . . . 5  |-  D  e.  ZZ
4 divalglem8.3 . . . . 5  |-  D  =/=  0
5 divalglem8.4 . . . . 5  |-  S  =  { r  e.  NN0  |  D  ||  ( N  -  r ) }
62, 3, 4, 5divalglem2 14137 . . . 4  |-  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  S
71, 6eqeltri 2538 . . 3  |-  R  e.  S
82, 3, 4, 5, 1divalglem5 14139 . . . 4  |-  ( 0  <_  R  /\  R  <  ( abs `  D
) )
98simpri 460 . . 3  |-  R  < 
( abs `  D
)
10 breq1 4442 . . . 4  |-  ( x  =  R  ->  (
x  <  ( abs `  D )  <->  R  <  ( abs `  D ) ) )
1110rspcev 3207 . . 3  |-  ( ( R  e.  S  /\  R  <  ( abs `  D
) )  ->  E. x  e.  S  x  <  ( abs `  D ) )
127, 9, 11mp2an 670 . 2  |-  E. x  e.  S  x  <  ( abs `  D )
13 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  x  ->  ( N  -  r )  =  ( N  -  x ) )
1413breq2d 4451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  x  ->  ( D  ||  ( N  -  r )  <->  D  ||  ( N  -  x )
) )
1514, 5elrab2 3256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  S  <->  ( x  e.  NN0  /\  D  ||  ( N  -  x
) ) )
1615simplbi 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  S  ->  x  e.  NN0 )
1716nn0zd 10963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  S  ->  x  e.  ZZ )
18 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  y  ->  ( N  -  r )  =  ( N  -  y ) )
1918breq2d 4451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  y  ->  ( D  ||  ( N  -  r )  <->  D  ||  ( N  -  y )
) )
2019, 5elrab2 3256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  S  <->  ( y  e.  NN0  /\  D  ||  ( N  -  y
) ) )
2120simplbi 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  S  ->  y  e.  NN0 )
2221nn0zd 10963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  S  ->  y  e.  ZZ )
23 zsubcl 10902 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( N  -  x
)  e.  ZZ )
242, 23mpan 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ZZ  ->  ( N  -  x )  e.  ZZ )
25 zsubcl 10902 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( N  -  y
)  e.  ZZ )
262, 25mpan 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( N  -  y )  e.  ZZ )
2724, 26anim12i 564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  x )  e.  ZZ  /\  ( N  -  y
)  e.  ZZ ) )
2817, 22, 27syl2an 475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( ( N  -  x )  e.  ZZ  /\  ( N  -  y
)  e.  ZZ ) )
2915simprbi 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  S  ->  D  ||  ( N  -  x
) )
3020simprbi 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  S  ->  D  ||  ( N  -  y
) )
3129, 30anim12i 564 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( D  ||  ( N  -  x )  /\  D  ||  ( N  -  y ) ) )
32 dvds2sub 14100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  ( N  -  x
)  e.  ZZ  /\  ( N  -  y
)  e.  ZZ )  ->  ( ( D 
||  ( N  -  x )  /\  D  ||  ( N  -  y
) )  ->  D  ||  ( ( N  -  x )  -  ( N  -  y )
) ) )
333, 32mp3an1 1309 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  -  x
)  e.  ZZ  /\  ( N  -  y
)  e.  ZZ )  ->  ( ( D 
||  ( N  -  x )  /\  D  ||  ( N  -  y
) )  ->  D  ||  ( ( N  -  x )  -  ( N  -  y )
) ) )
3428, 31, 33sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  D  ||  ( ( N  -  x )  -  ( N  -  y ) ) )
35 zcn 10865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
36 zcn 10865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  CC )
372zrei 10866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  N  e.  RR
3837recni 9597 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  N  e.  CC
3938subidi 9881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  -  N )  =  0
4039oveq1i 6280 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  -  N )  -  ( x  -  y ) )  =  ( 0  -  (
x  -  y ) )
41 0cn 9577 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  CC
42 subsub2 9838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  (
0  -  ( x  -  y ) )  =  ( 0  +  ( y  -  x
) ) )
4341, 42mp3an1 1309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 0  -  (
x  -  y ) )  =  ( 0  +  ( y  -  x ) ) )
4440, 43syl5eq 2507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( N  -  N )  -  (
x  -  y ) )  =  ( 0  +  ( y  -  x ) ) )
45 sub4 9855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  CC  /\  N  e.  CC )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( ( N  -  N )  -  (
x  -  y ) )  =  ( ( N  -  x )  -  ( N  -  y ) ) )
4638, 38, 45mpanl12 680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( N  -  N )  -  (
x  -  y ) )  =  ( ( N  -  x )  -  ( N  -  y ) ) )
47 subcl 9810 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( y  -  x
)  e.  CC )
4847ancoms 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( y  -  x
)  e.  CC )
4948addid2d 9770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 0  +  ( y  -  x ) )  =  ( y  -  x ) )
5044, 46, 493eqtr3d 2503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( N  -  x )  -  ( N  -  y )
)  =  ( y  -  x ) )
5135, 36, 50syl2an 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  x )  -  ( N  -  y )
)  =  ( y  -  x ) )
5217, 22, 51syl2an 475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( ( N  -  x )  -  ( N  -  y )
)  =  ( y  -  x ) )
5352breq2d 4451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( D  ||  (
( N  -  x
)  -  ( N  -  y ) )  <-> 
D  ||  ( y  -  x ) ) )
5434, 53mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  D  ||  ( y  -  x ) )
55 zsubcl 10902 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( y  -  x
)  e.  ZZ )
5655ancoms 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( y  -  x
)  e.  ZZ )
57 absdvdsb 14086 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  ( y  -  x
)  e.  ZZ )  ->  ( D  ||  ( y  -  x
)  <->  ( abs `  D
)  ||  ( y  -  x ) ) )
583, 56, 57sylancr 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( D  ||  (
y  -  x )  <-> 
( abs `  D
)  ||  ( y  -  x ) ) )
5917, 22, 58syl2an 475 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( D  ||  (
y  -  x )  <-> 
( abs `  D
)  ||  ( y  -  x ) ) )
6054, 59mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  D
)  ||  ( y  -  x ) )
61 nnabscl 13240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  D  =/=  0 )  -> 
( abs `  D
)  e.  NN )
623, 4, 61mp2an 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs `  D )  e.  NN
6362nnzi 10884 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  D )  e.  ZZ
64 divides 14072 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  D
)  e.  ZZ  /\  ( y  -  x
)  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  D )  ||  (
y  -  x )  <->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  ( abs `  D ) )  =  ( y  -  x ) ) )
6563, 56, 64sylancr 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  D
)  ||  ( y  -  x )  <->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  ( abs `  D
) )  =  ( y  -  x ) ) )
6617, 22, 65syl2an 475 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( ( abs `  D
)  ||  ( y  -  x )  <->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  ( abs `  D
) )  =  ( y  -  x ) ) )
6760, 66mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  ( abs `  D ) )  =  ( y  -  x ) )
6867adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S
)  /\  ( x  <  ( abs `  D
)  /\  y  <  ( abs `  D ) ) )  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  ( abs `  D
) )  =  ( y  -  x ) )
692, 3, 4, 5divalglem8 14142 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S
)  /\  ( x  <  ( abs `  D
)  /\  y  <  ( abs `  D ) ) )  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( ( k  x.  ( abs `  D ) )  =  ( y  -  x )  ->  x  =  y ) ) )
7069rexlimdv 2944 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S
)  /\  ( x  <  ( abs `  D
)  /\  y  <  ( abs `  D ) ) )  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( k  x.  ( abs `  D ) )  =  ( y  -  x )  ->  x  =  y ) )
7168, 70mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S
)  /\  ( x  <  ( abs `  D
)  /\  y  <  ( abs `  D ) ) )  ->  x  =  y )
7271ex 432 . . 3  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( ( x  < 
( abs `  D
)  /\  y  <  ( abs `  D ) )  ->  x  =  y ) )
7372rgen2a 2881 . 2  |-  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( (
x  <  ( abs `  D )  /\  y  <  ( abs `  D
) )  ->  x  =  y )
74 breq1 4442 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <  ( abs `  D )  <->  y  <  ( abs `  D ) ) )
7574reu4 3290 . 2  |-  ( E! x  e.  S  x  <  ( abs `  D
)  <->  ( E. x  e.  S  x  <  ( abs `  D )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( ( x  <  ( abs `  D
)  /\  y  <  ( abs `  D ) )  ->  x  =  y ) ) )
7612, 73, 75mpbir2an 918 1  |-  E! x  e.  S  x  <  ( abs `  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   E!wreu 2806   {crab 2808   class class class wbr 4439   `'ccnv 4987   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   supcsup 7892   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481    + caddc 9484    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796   NNcn 10531   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   abscabs 13149    || cdvds 14070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-dvds 14071
This theorem is referenced by:  divalglem10  14144
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