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Theorem divalglem9 13604
Description: Lemma for divalg 13606. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem8.1  |-  N  e.  ZZ
divalglem8.2  |-  D  e.  ZZ
divalglem8.3  |-  D  =/=  0
divalglem8.4  |-  S  =  { r  e.  NN0  |  D  ||  ( N  -  r ) }
divalglem9.5  |-  R  =  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )
Assertion
Ref Expression
divalglem9  |-  E! x  e.  S  x  <  ( abs `  D )
Distinct variable groups:    D, r, x    N, r, x    x, S    x, R
Allowed substitution hints:    R( r)    S( r)

Proof of Theorem divalglem9
Dummy variables  k 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem9.5 . . . 4  |-  R  =  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )
2 divalglem8.1 . . . . 5  |-  N  e.  ZZ
3 divalglem8.2 . . . . 5  |-  D  e.  ZZ
4 divalglem8.3 . . . . 5  |-  D  =/=  0
5 divalglem8.4 . . . . 5  |-  S  =  { r  e.  NN0  |  D  ||  ( N  -  r ) }
62, 3, 4, 5divalglem2 13598 . . . 4  |-  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  S
71, 6eqeltri 2512 . . 3  |-  R  e.  S
82, 3, 4, 5, 1divalglem5 13600 . . . 4  |-  ( 0  <_  R  /\  R  <  ( abs `  D
) )
98simpri 462 . . 3  |-  R  < 
( abs `  D
)
10 breq1 4294 . . . 4  |-  ( x  =  R  ->  (
x  <  ( abs `  D )  <->  R  <  ( abs `  D ) ) )
1110rspcev 3072 . . 3  |-  ( ( R  e.  S  /\  R  <  ( abs `  D
) )  ->  E. x  e.  S  x  <  ( abs `  D ) )
127, 9, 11mp2an 672 . 2  |-  E. x  e.  S  x  <  ( abs `  D )
13 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  x  ->  ( N  -  r )  =  ( N  -  x ) )
1413breq2d 4303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  x  ->  ( D  ||  ( N  -  r )  <->  D  ||  ( N  -  x )
) )
1514, 5elrab2 3118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  S  <->  ( x  e.  NN0  /\  D  ||  ( N  -  x
) ) )
1615simplbi 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  S  ->  x  e.  NN0 )
1716nn0zd 10744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  S  ->  x  e.  ZZ )
18 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  y  ->  ( N  -  r )  =  ( N  -  y ) )
1918breq2d 4303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  y  ->  ( D  ||  ( N  -  r )  <->  D  ||  ( N  -  y )
) )
2019, 5elrab2 3118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  S  <->  ( y  e.  NN0  /\  D  ||  ( N  -  y
) ) )
2120simplbi 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  S  ->  y  e.  NN0 )
2221nn0zd 10744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  S  ->  y  e.  ZZ )
23 zsubcl 10686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( N  -  x
)  e.  ZZ )
242, 23mpan 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ZZ  ->  ( N  -  x )  e.  ZZ )
25 zsubcl 10686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( N  -  y
)  e.  ZZ )
262, 25mpan 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( N  -  y )  e.  ZZ )
2724, 26anim12i 566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  x )  e.  ZZ  /\  ( N  -  y
)  e.  ZZ ) )
2817, 22, 27syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( ( N  -  x )  e.  ZZ  /\  ( N  -  y
)  e.  ZZ ) )
2915simprbi 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  S  ->  D  ||  ( N  -  x
) )
3020simprbi 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  S  ->  D  ||  ( N  -  y
) )
3129, 30anim12i 566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( D  ||  ( N  -  x )  /\  D  ||  ( N  -  y ) ) )
32 dvds2sub 13564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  ( N  -  x
)  e.  ZZ  /\  ( N  -  y
)  e.  ZZ )  ->  ( ( D 
||  ( N  -  x )  /\  D  ||  ( N  -  y
) )  ->  D  ||  ( ( N  -  x )  -  ( N  -  y )
) ) )
333, 32mp3an1 1301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  -  x
)  e.  ZZ  /\  ( N  -  y
)  e.  ZZ )  ->  ( ( D 
||  ( N  -  x )  /\  D  ||  ( N  -  y
) )  ->  D  ||  ( ( N  -  x )  -  ( N  -  y )
) ) )
3428, 31, 33sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  D  ||  ( ( N  -  x )  -  ( N  -  y ) ) )
35 zcn 10650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
36 zcn 10650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  CC )
372zrei 10651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  N  e.  RR
3837recni 9397 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  N  e.  CC
3938subidi 9678 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  -  N )  =  0
4039oveq1i 6100 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  -  N )  -  ( x  -  y ) )  =  ( 0  -  (
x  -  y ) )
41 0cn 9377 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  CC
42 subsub2 9636 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  (
0  -  ( x  -  y ) )  =  ( 0  +  ( y  -  x
) ) )
4341, 42mp3an1 1301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 0  -  (
x  -  y ) )  =  ( 0  +  ( y  -  x ) ) )
4440, 43syl5eq 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( N  -  N )  -  (
x  -  y ) )  =  ( 0  +  ( y  -  x ) ) )
45 sub4 9653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  CC  /\  N  e.  CC )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( ( N  -  N )  -  (
x  -  y ) )  =  ( ( N  -  x )  -  ( N  -  y ) ) )
4638, 38, 45mpanl12 682 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( N  -  N )  -  (
x  -  y ) )  =  ( ( N  -  x )  -  ( N  -  y ) ) )
47 subcl 9608 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( y  -  x
)  e.  CC )
4847ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( y  -  x
)  e.  CC )
4948addid2d 9569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 0  +  ( y  -  x ) )  =  ( y  -  x ) )
5044, 46, 493eqtr3d 2482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( N  -  x )  -  ( N  -  y )
)  =  ( y  -  x ) )
5135, 36, 50syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  x )  -  ( N  -  y )
)  =  ( y  -  x ) )
5217, 22, 51syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( ( N  -  x )  -  ( N  -  y )
)  =  ( y  -  x ) )
5352breq2d 4303 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( D  ||  (
( N  -  x
)  -  ( N  -  y ) )  <-> 
D  ||  ( y  -  x ) ) )
5434, 53mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  D  ||  ( y  -  x ) )
55 zsubcl 10686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( y  -  x
)  e.  ZZ )
5655ancoms 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( y  -  x
)  e.  ZZ )
57 absdvdsb 13550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  ( y  -  x
)  e.  ZZ )  ->  ( D  ||  ( y  -  x
)  <->  ( abs `  D
)  ||  ( y  -  x ) ) )
583, 56, 57sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( D  ||  (
y  -  x )  <-> 
( abs `  D
)  ||  ( y  -  x ) ) )
5917, 22, 58syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( D  ||  (
y  -  x )  <-> 
( abs `  D
)  ||  ( y  -  x ) ) )
6054, 59mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  D
)  ||  ( y  -  x ) )
61 nnabscl 12812 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  D  =/=  0 )  -> 
( abs `  D
)  e.  NN )
623, 4, 61mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs `  D )  e.  NN
6362nnzi 10669 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  D )  e.  ZZ
64 divides 13536 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  D
)  e.  ZZ  /\  ( y  -  x
)  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  D )  ||  (
y  -  x )  <->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  ( abs `  D ) )  =  ( y  -  x ) ) )
6563, 56, 64sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  D
)  ||  ( y  -  x )  <->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  ( abs `  D
) )  =  ( y  -  x ) ) )
6617, 22, 65syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( ( abs `  D
)  ||  ( y  -  x )  <->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  ( abs `  D
) )  =  ( y  -  x ) ) )
6760, 66mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  ( abs `  D ) )  =  ( y  -  x ) )
6867adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S
)  /\  ( x  <  ( abs `  D
)  /\  y  <  ( abs `  D ) ) )  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  ( abs `  D
) )  =  ( y  -  x ) )
692, 3, 4, 5divalglem8 13603 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S
)  /\  ( x  <  ( abs `  D
)  /\  y  <  ( abs `  D ) ) )  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( ( k  x.  ( abs `  D ) )  =  ( y  -  x )  ->  x  =  y ) ) )
7069rexlimdv 2839 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S
)  /\  ( x  <  ( abs `  D
)  /\  y  <  ( abs `  D ) ) )  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( k  x.  ( abs `  D ) )  =  ( y  -  x )  ->  x  =  y ) )
7168, 70mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S
)  /\  ( x  <  ( abs `  D
)  /\  y  <  ( abs `  D ) ) )  ->  x  =  y )
7271ex 434 . . 3  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( ( x  < 
( abs `  D
)  /\  y  <  ( abs `  D ) )  ->  x  =  y ) )
7372rgen2a 2781 . 2  |-  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( (
x  <  ( abs `  D )  /\  y  <  ( abs `  D
) )  ->  x  =  y )
74 breq1 4294 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <  ( abs `  D )  <->  y  <  ( abs `  D ) ) )
7574reu4 3152 . 2  |-  ( E! x  e.  S  x  <  ( abs `  D
)  <->  ( E. x  e.  S  x  <  ( abs `  D )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( ( x  <  ( abs `  D
)  /\  y  <  ( abs `  D ) )  ->  x  =  y ) ) )
7612, 73, 75mpbir2an 911 1  |-  E! x  e.  S  x  <  ( abs `  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2605   A.wral 2714   E.wrex 2715   E!wreu 2716   {crab 2718   class class class wbr 4291   `'ccnv 4838   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   supcsup 7689   CCcc 9279   RRcr 9280   0cc0 9281    + caddc 9284    x. cmul 9286    < clt 9417    <_ cle 9418    - cmin 9594   NNcn 10321   NN0cn0 10578   ZZcz 10645   abscabs 12722    || cdivides 13534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-sup 7690  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-rp 10991  df-fz 11437  df-seq 11806  df-exp 11865  df-cj 12587  df-re 12588  df-im 12589  df-sqr 12723  df-abs 12724  df-dvds 13535
This theorem is referenced by:  divalglem10  13605
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