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Theorem divalglem8 14060
Description: Lemma for divalg 14063. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem8.1  |-  N  e.  ZZ
divalglem8.2  |-  D  e.  ZZ
divalglem8.3  |-  D  =/=  0
divalglem8.4  |-  S  =  { r  e.  NN0  |  D  ||  ( N  -  r ) }
Assertion
Ref Expression
divalglem8  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  /\  ( X  <  ( abs `  D
)  /\  Y  <  ( abs `  D ) ) )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X )  ->  X  =  Y ) ) )
Distinct variable groups:    D, r    N, r
Allowed substitution hints:    S( r)    K( r)    X( r)    Y( r)

Proof of Theorem divalglem8
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem8.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  { r  e.  NN0  |  D  ||  ( N  -  r ) }
2 ssrab2 3499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { r  e.  NN0  |  D  ||  ( N  -  r
) }  C_  NN0
31, 2eqsstri 3447 . . . . . . . . . . . 12  |-  S  C_  NN0
4 nn0sscn 10717 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  C_  CC
53, 4sstri 3426 . . . . . . . . . . 11  |-  S  C_  CC
65sseli 3413 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  S  ->  Y  e.  CC )
75sseli 3413 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  S  ->  X  e.  CC )
8 divalglem8.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  e.  ZZ
9 divalglem8.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  =/=  0
10 nnabscl 13160 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  D  =/=  0 )  -> 
( abs `  D
)  e.  NN )
118, 9, 10mp2an 670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( abs `  D )  e.  NN
1211nnzi 10805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs `  D )  e.  ZZ
13 zmulcl 10829 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( abs `  D )  e.  ZZ )  -> 
( K  x.  ( abs `  D ) )  e.  ZZ )
1412, 13mpan2 669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  x.  ( abs `  D ) )  e.  ZZ )
1514zcnd 10885 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  x.  ( abs `  D ) )  e.  CC )
16 subadd 9736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  CC  /\  X  e.  CC  /\  ( K  x.  ( abs `  D ) )  e.  CC )  ->  (
( Y  -  X
)  =  ( K  x.  ( abs `  D
) )  <->  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  =  Y ) )
176, 7, 15, 16syl3an 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  S  /\  X  e.  S  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( Y  -  X )  =  ( K  x.  ( abs `  D ) )  <->  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  =  Y ) )
18173com12 1198 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  S  /\  Y  e.  S  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( Y  -  X )  =  ( K  x.  ( abs `  D ) )  <->  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  =  Y ) )
19 eqcom 2391 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  -  X )  =  ( K  x.  ( abs `  D ) )  <->  ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X ) )
20 eqcom 2391 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D
) ) )  =  Y  <->  Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D
) ) ) )
2118, 19, 203bitr3g 287 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  S  /\  Y  e.  S  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X )  <->  Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) ) ) )
22213adant1r 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  Y  e.  S  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X )  <->  Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) ) ) )
23223adant2r 1221 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X )  <->  Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) ) ) )
24 breq1 4370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  Y  ->  (
z  <  ( abs `  D )  <->  Y  <  ( abs `  D ) ) )
25 eleq1 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  Y  ->  (
z  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) )  <->  Y  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) ) ) )
2624, 25imbi12d 318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  Y  ->  (
( z  <  ( abs `  D )  -> 
z  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) ) )  <->  ( Y  <  ( abs `  D
)  ->  Y  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) ) ) ) )
273sseli 3413 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  S  ->  z  e.  NN0 )
28 elnn0z 10794 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  NN0  <->  ( z  e.  ZZ  /\  0  <_ 
z ) )
2927, 28sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  S  ->  (
z  e.  ZZ  /\  0  <_  z ) )
3029anim1i 566 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  S  /\  z  <  ( abs `  D
) )  ->  (
( z  e.  ZZ  /\  0  <_  z )  /\  z  <  ( abs `  D ) ) )
31 df-3an 973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  0  <_  z  /\  z  <  ( abs `  D
) )  <->  ( (
z  e.  ZZ  /\  0  <_  z )  /\  z  <  ( abs `  D
) ) )
3230, 31sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  S  /\  z  <  ( abs `  D
) )  ->  (
z  e.  ZZ  /\  0  <_  z  /\  z  <  ( abs `  D
) ) )
33 0z 10792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  ZZ
34 elfzm11 11671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( abs `  D )  e.  ZZ )  -> 
( z  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) )  <-> 
( z  e.  ZZ  /\  0  <_  z  /\  z  <  ( abs `  D
) ) ) )
3533, 12, 34mp2an 670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D
)  -  1 ) )  <->  ( z  e.  ZZ  /\  0  <_ 
z  /\  z  <  ( abs `  D ) ) )
3632, 35sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  S  /\  z  <  ( abs `  D
) )  ->  z  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) ) )
3736ex 432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  S  ->  (
z  <  ( abs `  D )  ->  z  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) ) ) )
3826, 37vtoclga 3098 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  S  ->  ( Y  <  ( abs `  D
)  ->  Y  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) ) ) )
39 eleq1 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  ->  ( Y  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) )  <->  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) ) ) )
4039biimpd 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  ->  ( Y  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) )  ->  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) ) ) )
4138, 40sylan9 655 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  S  /\  Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) ) )  -> 
( Y  <  ( abs `  D )  -> 
( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D
)  -  1 ) ) ) )
4241impancom 438 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D
) )  ->  ( Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  ->  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D
) ) )  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) ) ) )
43423ad2ant2 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D
) ) )  -> 
( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D
)  -  1 ) ) ) )
44 breq1 4370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  X  ->  (
z  <  ( abs `  D )  <->  X  <  ( abs `  D ) ) )
45 eleq1 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  X  ->  (
z  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) )  <->  X  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) ) ) )
4644, 45imbi12d 318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  X  ->  (
( z  <  ( abs `  D )  -> 
z  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) ) )  <->  ( X  <  ( abs `  D
)  ->  X  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) ) ) ) )
4746, 37vtoclga 3098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  S  ->  ( X  <  ( abs `  D
)  ->  X  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) ) ) )
4847imp 427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D
) )  ->  X  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) ) )
498, 9divalglem7 14059 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  =/=  0  ->  -.  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D
)  -  1 ) ) ) )
5048, 49sylan 469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  =/=  0  ->  -.  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) ) ) )
51503adant2 1013 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  =/=  0  ->  -.  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) ) ) )
5251con2d 115 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) )  ->  -.  K  =/=  0 ) )
5343, 52syld 44 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D
) ) )  ->  -.  K  =/=  0
) )
54 df-ne 2579 . . . . . . 7  |-  ( K  =/=  0  <->  -.  K  =  0 )
5554con2bii 330 . . . . . 6  |-  ( K  =  0  <->  -.  K  =/=  0 )
5653, 55syl6ibr 227 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D
) ) )  ->  K  =  0 ) )
5723, 56sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X )  ->  K  =  0 ) )
58 oveq1 6203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  =  0  ->  ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( 0  x.  ( abs `  D ) ) )
5911nncni 10462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs `  D )  e.  CC
6059mul02i 9680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  x.  ( abs `  D
) )  =  0
6158, 60syl6eq 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  =  0  ->  ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  0 )
6261eqeq1d 2384 . . . . . . . . 9  |-  ( K  =  0  ->  (
( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X )  <->  0  =  ( Y  -  X
) ) )
6362biimpac 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X )  /\  K  =  0 )  -> 
0  =  ( Y  -  X ) )
64 subeq0 9758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( ( Y  -  X )  =  0  <-> 
Y  =  X ) )
656, 7, 64syl2anr 476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( ( Y  -  X )  =  0  <-> 
Y  =  X ) )
66 eqcom 2391 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  -  X )  =  0  <->  0  =  ( Y  -  X
) )
67 eqcom 2391 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  =  X  <->  X  =  Y )
6865, 66, 673bitr3g 287 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( 0  =  ( Y  -  X )  <-> 
X  =  Y ) )
6963, 68syl5ib 219 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( ( ( K  x.  ( abs `  D
) )  =  ( Y  -  X )  /\  K  =  0 )  ->  X  =  Y ) )
7069ad2ant2r 744 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) ) )  ->  ( ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X
)  /\  K  = 
0 )  ->  X  =  Y ) )
71703adant3 1014 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( K  x.  ( abs `  D
) )  =  ( Y  -  X )  /\  K  =  0 )  ->  X  =  Y ) )
7271expd 434 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X )  -> 
( K  =  0  ->  X  =  Y ) ) )
7357, 72mpdd 40 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X )  ->  X  =  Y )
)
74733expia 1196 . 2  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) ) )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X
)  ->  X  =  Y ) ) )
7574an4s 824 1  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  /\  ( X  <  ( abs `  D
)  /\  Y  <  ( abs `  D ) ) )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X )  ->  X  =  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   {crab 2736   class class class wbr 4367   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   CCcc 9401   0cc0 9403   1c1 9404    + caddc 9406    x. cmul 9408    < clt 9539    <_ cle 9540    - cmin 9718   NNcn 10452   NN0cn0 10712   ZZcz 10781   ...cfz 11593   abscabs 13069    || cdvds 13988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-rp 11140  df-fz 11594  df-seq 12011  df-exp 12070  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071
This theorem is referenced by:  divalglem9  14061
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