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Theorem divalglem8 13609
Description: Lemma for divalg 13612. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem8.1  |-  N  e.  ZZ
divalglem8.2  |-  D  e.  ZZ
divalglem8.3  |-  D  =/=  0
divalglem8.4  |-  S  =  { r  e.  NN0  |  D  ||  ( N  -  r ) }
Assertion
Ref Expression
divalglem8  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  /\  ( X  <  ( abs `  D
)  /\  Y  <  ( abs `  D ) ) )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X )  ->  X  =  Y ) ) )
Distinct variable groups:    D, r    N, r
Allowed substitution hints:    S( r)    K( r)    X( r)    Y( r)

Proof of Theorem divalglem8
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem8.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  { r  e.  NN0  |  D  ||  ( N  -  r ) }
2 ssrab2 3442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { r  e.  NN0  |  D  ||  ( N  -  r
) }  C_  NN0
31, 2eqsstri 3391 . . . . . . . . . . . 12  |-  S  C_  NN0
4 nn0sscn 10589 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  C_  CC
53, 4sstri 3370 . . . . . . . . . . 11  |-  S  C_  CC
65sseli 3357 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  S  ->  Y  e.  CC )
75sseli 3357 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  S  ->  X  e.  CC )
8 divalglem8.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  e.  ZZ
9 divalglem8.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  =/=  0
10 nnabscl 12818 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  D  =/=  0 )  -> 
( abs `  D
)  e.  NN )
118, 9, 10mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( abs `  D )  e.  NN
1211nnzi 10675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs `  D )  e.  ZZ
13 zmulcl 10698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( abs `  D )  e.  ZZ )  -> 
( K  x.  ( abs `  D ) )  e.  ZZ )
1412, 13mpan2 671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  x.  ( abs `  D ) )  e.  ZZ )
1514zcnd 10753 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  x.  ( abs `  D ) )  e.  CC )
16 subadd 9618 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  CC  /\  X  e.  CC  /\  ( K  x.  ( abs `  D ) )  e.  CC )  ->  (
( Y  -  X
)  =  ( K  x.  ( abs `  D
) )  <->  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  =  Y ) )
176, 7, 15, 16syl3an 1260 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  S  /\  X  e.  S  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( Y  -  X )  =  ( K  x.  ( abs `  D ) )  <->  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  =  Y ) )
18173com12 1191 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  S  /\  Y  e.  S  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( Y  -  X )  =  ( K  x.  ( abs `  D ) )  <->  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  =  Y ) )
19 eqcom 2445 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  -  X )  =  ( K  x.  ( abs `  D ) )  <->  ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X ) )
20 eqcom 2445 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D
) ) )  =  Y  <->  Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D
) ) ) )
2118, 19, 203bitr3g 287 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  S  /\  Y  e.  S  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X )  <->  Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) ) ) )
22213adant1r 1211 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  Y  e.  S  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X )  <->  Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) ) ) )
23223adant2r 1213 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X )  <->  Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) ) ) )
24 breq1 4300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  Y  ->  (
z  <  ( abs `  D )  <->  Y  <  ( abs `  D ) ) )
25 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  Y  ->  (
z  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) )  <->  Y  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) ) ) )
2624, 25imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  Y  ->  (
( z  <  ( abs `  D )  -> 
z  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) ) )  <->  ( Y  <  ( abs `  D
)  ->  Y  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) ) ) ) )
273sseli 3357 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  S  ->  z  e.  NN0 )
28 elnn0z 10664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  NN0  <->  ( z  e.  ZZ  /\  0  <_ 
z ) )
2927, 28sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  S  ->  (
z  e.  ZZ  /\  0  <_  z ) )
3029anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  S  /\  z  <  ( abs `  D
) )  ->  (
( z  e.  ZZ  /\  0  <_  z )  /\  z  <  ( abs `  D ) ) )
31 df-3an 967 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  0  <_  z  /\  z  <  ( abs `  D
) )  <->  ( (
z  e.  ZZ  /\  0  <_  z )  /\  z  <  ( abs `  D
) ) )
3230, 31sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  S  /\  z  <  ( abs `  D
) )  ->  (
z  e.  ZZ  /\  0  <_  z  /\  z  <  ( abs `  D
) ) )
33 0z 10662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  ZZ
34 elfzm11 11533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( abs `  D )  e.  ZZ )  -> 
( z  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) )  <-> 
( z  e.  ZZ  /\  0  <_  z  /\  z  <  ( abs `  D
) ) ) )
3533, 12, 34mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D
)  -  1 ) )  <->  ( z  e.  ZZ  /\  0  <_ 
z  /\  z  <  ( abs `  D ) ) )
3632, 35sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  S  /\  z  <  ( abs `  D
) )  ->  z  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) ) )
3736ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  S  ->  (
z  <  ( abs `  D )  ->  z  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) ) ) )
3826, 37vtoclga 3041 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  S  ->  ( Y  <  ( abs `  D
)  ->  Y  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) ) ) )
39 eleq1 2503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  ->  ( Y  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) )  <->  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) ) ) )
4039biimpd 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  ->  ( Y  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) )  ->  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) ) ) )
4138, 40sylan9 657 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  S  /\  Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) ) )  -> 
( Y  <  ( abs `  D )  -> 
( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D
)  -  1 ) ) ) )
4241impancom 440 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D
) )  ->  ( Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  ->  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D
) ) )  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) ) ) )
43423ad2ant2 1010 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D
) ) )  -> 
( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D
)  -  1 ) ) ) )
44 breq1 4300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  X  ->  (
z  <  ( abs `  D )  <->  X  <  ( abs `  D ) ) )
45 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  X  ->  (
z  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) )  <->  X  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) ) ) )
4644, 45imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  X  ->  (
( z  <  ( abs `  D )  -> 
z  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) ) )  <->  ( X  <  ( abs `  D
)  ->  X  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) ) ) ) )
4746, 37vtoclga 3041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  S  ->  ( X  <  ( abs `  D
)  ->  X  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) ) ) )
4847imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D
) )  ->  X  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) ) )
498, 9divalglem7 13608 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  =/=  0  ->  -.  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D
)  -  1 ) ) ) )
5048, 49sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  =/=  0  ->  -.  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) ) ) )
51503adant2 1007 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  =/=  0  ->  -.  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) ) ) )
5251con2d 115 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) )  ->  -.  K  =/=  0 ) )
5343, 52syld 44 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D
) ) )  ->  -.  K  =/=  0
) )
54 df-ne 2613 . . . . . . 7  |-  ( K  =/=  0  <->  -.  K  =  0 )
5554con2bii 332 . . . . . 6  |-  ( K  =  0  <->  -.  K  =/=  0 )
5653, 55syl6ibr 227 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D
) ) )  ->  K  =  0 ) )
5723, 56sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X )  ->  K  =  0 ) )
58 oveq1 6103 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  =  0  ->  ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( 0  x.  ( abs `  D ) ) )
5911nncni 10337 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs `  D )  e.  CC
6059mul02i 9563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  x.  ( abs `  D
) )  =  0
6158, 60syl6eq 2491 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  =  0  ->  ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  0 )
6261eqeq1d 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( K  =  0  ->  (
( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X )  <->  0  =  ( Y  -  X
) ) )
6362biimpac 486 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X )  /\  K  =  0 )  -> 
0  =  ( Y  -  X ) )
64 subeq0 9640 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( ( Y  -  X )  =  0  <-> 
Y  =  X ) )
656, 7, 64syl2anr 478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( ( Y  -  X )  =  0  <-> 
Y  =  X ) )
66 eqcom 2445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  -  X )  =  0  <->  0  =  ( Y  -  X
) )
67 eqcom 2445 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  =  X  <->  X  =  Y )
6865, 66, 673bitr3g 287 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( 0  =  ( Y  -  X )  <-> 
X  =  Y ) )
6963, 68syl5ib 219 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( ( ( K  x.  ( abs `  D
) )  =  ( Y  -  X )  /\  K  =  0 )  ->  X  =  Y ) )
7069ad2ant2r 746 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) ) )  ->  ( ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X
)  /\  K  = 
0 )  ->  X  =  Y ) )
71703adant3 1008 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( K  x.  ( abs `  D
) )  =  ( Y  -  X )  /\  K  =  0 )  ->  X  =  Y ) )
7271expd 436 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X )  -> 
( K  =  0  ->  X  =  Y ) ) )
7357, 72mpdd 40 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X )  ->  X  =  Y )
)
74733expia 1189 . 2  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) ) )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X
)  ->  X  =  Y ) ) )
7574an4s 822 1  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  /\  ( X  <  ( abs `  D
)  /\  Y  <  ( abs `  D ) ) )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X )  ->  X  =  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   {crab 2724   class class class wbr 4297   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290    x. cmul 9292    < clt 9423    <_ cle 9424    - cmin 9600   NNcn 10327   NN0cn0 10584   ZZcz 10651   ...cfz 11442   abscabs 12728    || cdivides 13540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-rp 10997  df-fz 11443  df-seq 11812  df-exp 11871  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730
This theorem is referenced by:  divalglem9  13610
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