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Theorem divalglem8 14429
Description: Lemma for divalg 14433. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem8.1  |-  N  e.  ZZ
divalglem8.2  |-  D  e.  ZZ
divalglem8.3  |-  D  =/=  0
divalglem8.4  |-  S  =  { r  e.  NN0  |  D  ||  ( N  -  r ) }
Assertion
Ref Expression
divalglem8  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  /\  ( X  <  ( abs `  D
)  /\  Y  <  ( abs `  D ) ) )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X )  ->  X  =  Y ) ) )
Distinct variable groups:    D, r    N, r
Allowed substitution hints:    S( r)    K( r)    X( r)    Y( r)

Proof of Theorem divalglem8
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem8.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  { r  e.  NN0  |  D  ||  ( N  -  r ) }
2 ssrab2 3526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { r  e.  NN0  |  D  ||  ( N  -  r
) }  C_  NN0
31, 2eqsstri 3474 . . . . . . . . . . . 12  |-  S  C_  NN0
4 nn0sscn 10903 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  C_  CC
53, 4sstri 3453 . . . . . . . . . . 11  |-  S  C_  CC
65sseli 3440 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  S  ->  Y  e.  CC )
75sseli 3440 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  S  ->  X  e.  CC )
8 divalglem8.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  e.  ZZ
9 divalglem8.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  =/=  0
10 nnabscl 13437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  D  =/=  0 )  -> 
( abs `  D
)  e.  NN )
118, 9, 10mp2an 683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( abs `  D )  e.  NN
1211nnzi 10990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs `  D )  e.  ZZ
13 zmulcl 11014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( abs `  D )  e.  ZZ )  -> 
( K  x.  ( abs `  D ) )  e.  ZZ )
1412, 13mpan2 682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  x.  ( abs `  D ) )  e.  ZZ )
1514zcnd 11070 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  x.  ( abs `  D ) )  e.  CC )
16 subadd 9904 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  CC  /\  X  e.  CC  /\  ( K  x.  ( abs `  D ) )  e.  CC )  ->  (
( Y  -  X
)  =  ( K  x.  ( abs `  D
) )  <->  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  =  Y ) )
176, 7, 15, 16syl3an 1318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  S  /\  X  e.  S  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( Y  -  X )  =  ( K  x.  ( abs `  D ) )  <->  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  =  Y ) )
18173com12 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  S  /\  Y  e.  S  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( Y  -  X )  =  ( K  x.  ( abs `  D ) )  <->  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  =  Y ) )
19 eqcom 2469 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  -  X )  =  ( K  x.  ( abs `  D ) )  <->  ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X ) )
20 eqcom 2469 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D
) ) )  =  Y  <->  Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D
) ) ) )
2118, 19, 203bitr3g 295 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  S  /\  Y  e.  S  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X )  <->  Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) ) ) )
22213adant1r 1269 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  Y  e.  S  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X )  <->  Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) ) ) )
23223adant2r 1271 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X )  <->  Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) ) ) )
24 breq1 4419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  Y  ->  (
z  <  ( abs `  D )  <->  Y  <  ( abs `  D ) ) )
25 eleq1 2528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  Y  ->  (
z  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) )  <->  Y  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) ) ) )
2624, 25imbi12d 326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  Y  ->  (
( z  <  ( abs `  D )  -> 
z  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) ) )  <->  ( Y  <  ( abs `  D
)  ->  Y  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) ) ) ) )
273sseli 3440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  S  ->  z  e.  NN0 )
28 elnn0z 10979 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  NN0  <->  ( z  e.  ZZ  /\  0  <_ 
z ) )
2927, 28sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  S  ->  (
z  e.  ZZ  /\  0  <_  z ) )
3029anim1i 576 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  S  /\  z  <  ( abs `  D
) )  ->  (
( z  e.  ZZ  /\  0  <_  z )  /\  z  <  ( abs `  D ) ) )
31 df-3an 993 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  0  <_  z  /\  z  <  ( abs `  D
) )  <->  ( (
z  e.  ZZ  /\  0  <_  z )  /\  z  <  ( abs `  D
) ) )
3230, 31sylibr 217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  S  /\  z  <  ( abs `  D
) )  ->  (
z  e.  ZZ  /\  0  <_  z  /\  z  <  ( abs `  D
) ) )
33 0z 10977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  ZZ
34 elfzm11 11894 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( abs `  D )  e.  ZZ )  -> 
( z  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) )  <-> 
( z  e.  ZZ  /\  0  <_  z  /\  z  <  ( abs `  D
) ) ) )
3533, 12, 34mp2an 683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D
)  -  1 ) )  <->  ( z  e.  ZZ  /\  0  <_ 
z  /\  z  <  ( abs `  D ) ) )
3632, 35sylibr 217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  S  /\  z  <  ( abs `  D
) )  ->  z  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) ) )
3736ex 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  S  ->  (
z  <  ( abs `  D )  ->  z  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) ) ) )
3826, 37vtoclga 3125 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  S  ->  ( Y  <  ( abs `  D
)  ->  Y  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) ) ) )
39 eleq1 2528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  ->  ( Y  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) )  <->  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) ) ) )
4039biimpd 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  ->  ( Y  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) )  ->  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) ) ) )
4138, 40sylan9 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  S  /\  Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) ) )  -> 
( Y  <  ( abs `  D )  -> 
( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D
)  -  1 ) ) ) )
4241impancom 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D
) )  ->  ( Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  ->  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D
) ) )  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) ) ) )
43423ad2ant2 1036 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D
) ) )  -> 
( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D
)  -  1 ) ) ) )
44 breq1 4419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  X  ->  (
z  <  ( abs `  D )  <->  X  <  ( abs `  D ) ) )
45 eleq1 2528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  X  ->  (
z  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) )  <->  X  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) ) ) )
4644, 45imbi12d 326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  X  ->  (
( z  <  ( abs `  D )  -> 
z  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) ) )  <->  ( X  <  ( abs `  D
)  ->  X  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) ) ) ) )
4746, 37vtoclga 3125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  S  ->  ( X  <  ( abs `  D
)  ->  X  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) ) ) )
4847imp 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D
) )  ->  X  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) ) )
498, 9divalglem7 14428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  =/=  0  ->  -.  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D
)  -  1 ) ) ) )
5048, 49sylan 478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  =/=  0  ->  -.  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) ) ) )
51503adant2 1033 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  =/=  0  ->  -.  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) ) ) )
5251con2d 120 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) )  ->  -.  K  =/=  0 ) )
5343, 52syld 45 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D
) ) )  ->  -.  K  =/=  0
) )
54 df-ne 2635 . . . . . . 7  |-  ( K  =/=  0  <->  -.  K  =  0 )
5554con2bii 338 . . . . . 6  |-  ( K  =  0  <->  -.  K  =/=  0 )
5653, 55syl6ibr 235 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D
) ) )  ->  K  =  0 ) )
5723, 56sylbid 223 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X )  ->  K  =  0 ) )
58 oveq1 6322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  =  0  ->  ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( 0  x.  ( abs `  D ) ) )
5911nncni 10647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs `  D )  e.  CC
6059mul02i 9848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  x.  ( abs `  D
) )  =  0
6158, 60syl6eq 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  =  0  ->  ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  0 )
6261eqeq1d 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( K  =  0  ->  (
( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X )  <->  0  =  ( Y  -  X
) ) )
6362biimpac 493 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X )  /\  K  =  0 )  -> 
0  =  ( Y  -  X ) )
64 subeq0 9926 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( ( Y  -  X )  =  0  <-> 
Y  =  X ) )
656, 7, 64syl2anr 485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( ( Y  -  X )  =  0  <-> 
Y  =  X ) )
66 eqcom 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  -  X )  =  0  <->  0  =  ( Y  -  X
) )
67 eqcom 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  =  X  <->  X  =  Y )
6865, 66, 673bitr3g 295 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( 0  =  ( Y  -  X )  <-> 
X  =  Y ) )
6963, 68syl5ib 227 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( ( ( K  x.  ( abs `  D
) )  =  ( Y  -  X )  /\  K  =  0 )  ->  X  =  Y ) )
7069ad2ant2r 758 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) ) )  ->  ( ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X
)  /\  K  = 
0 )  ->  X  =  Y ) )
71703adant3 1034 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( K  x.  ( abs `  D
) )  =  ( Y  -  X )  /\  K  =  0 )  ->  X  =  Y ) )
7271expd 442 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X )  -> 
( K  =  0  ->  X  =  Y ) ) )
7357, 72mpdd 41 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X )  ->  X  =  Y )
)
74733expia 1217 . 2  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) ) )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X
)  ->  X  =  Y ) ) )
7574an4s 840 1  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  /\  ( X  <  ( abs `  D
)  /\  Y  <  ( abs `  D ) ) )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X )  ->  X  =  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   {crab 2753   class class class wbr 4416   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   CCcc 9563   0cc0 9565   1c1 9566    + caddc 9568    x. cmul 9570    < clt 9701    <_ cle 9702    - cmin 9886   NNcn 10637   NN0cn0 10898   ZZcz 10966   ...cfz 11813   abscabs 13346    || cdvds 14354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642  ax-pre-sup 9643
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-sup 7982  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-div 10298  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-rp 11332  df-fz 11814  df-seq 12246  df-exp 12305  df-cj 13211  df-re 13212  df-im 13213  df-sqrt 13347  df-abs 13348
This theorem is referenced by:  divalglem9  14430  divalglem9OLD  14431
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