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Theorem divalglem6 14143
Description: Lemma for divalg 14148. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem6.1  |-  A  e.  NN
divalglem6.2  |-  X  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )
divalglem6.3  |-  K  e.  ZZ
Assertion
Ref Expression
divalglem6  |-  ( K  =/=  0  ->  -.  ( X  +  ( K  x.  A )
)  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )

Proof of Theorem divalglem6
StepHypRef Expression
1 divalglem6.3 . . . 4  |-  K  e.  ZZ
21zrei 10866 . . 3  |-  K  e.  RR
3 0re 9585 . . 3  |-  0  e.  RR
42, 3lttri2i 9687 . 2  |-  ( K  =/=  0  <->  ( K  <  0  \/  0  < 
K ) )
5 divalglem6.2 . . . . . . . . 9  |-  X  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )
6 0z 10871 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ZZ
7 divalglem6.1 . . . . . . . . . . 11  |-  A  e.  NN
87nnzi 10884 . . . . . . . . . 10  |-  A  e.  ZZ
9 elfzm11 11753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( X  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  <-> 
( X  e.  ZZ  /\  0  <_  X  /\  X  <  A ) ) )
106, 8, 9mp2an 670 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  <->  ( X  e.  ZZ  /\  0  <_  X  /\  X  <  A
) )
115, 10mpbi 208 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  ZZ  /\  0  <_  X  /\  X  < 
A )
1211simp3i 1005 . . . . . . 7  |-  X  < 
A
1311simp1i 1003 . . . . . . . . 9  |-  X  e.  ZZ
1413zrei 10866 . . . . . . . 8  |-  X  e.  RR
157nnrei 10540 . . . . . . . 8  |-  A  e.  RR
162, 15remulcli 9599 . . . . . . . 8  |-  ( K  x.  A )  e.  RR
1714, 15, 16ltadd1i 10103 . . . . . . 7  |-  ( X  <  A  <->  ( X  +  ( K  x.  A ) )  < 
( A  +  ( K  x.  A ) ) )
1812, 17mpbi 208 . . . . . 6  |-  ( X  +  ( K  x.  A ) )  < 
( A  +  ( K  x.  A ) )
192renegcli 9871 . . . . . . . 8  |-  -u K  e.  RR
207nnnn0i 10799 . . . . . . . . . 10  |-  A  e. 
NN0
2120nn0ge0i 10819 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  A
22 lemulge12 10401 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  -u K  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  1  <_  -u K
) )  ->  A  <_  ( -u K  x.  A ) )
2322an4s 824 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( -u K  e.  RR  /\  1  <_  -u K ) )  ->  A  <_  ( -u K  x.  A ) )
2415, 21, 23mpanl12 680 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u K  e.  RR  /\  1  <_  -u K )  ->  A  <_  ( -u K  x.  A ) )
2519, 24mpan 668 . . . . . . 7  |-  ( 1  <_  -u K  ->  A  <_  ( -u K  x.  A ) )
26 lt0neg1 10054 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  RR  ->  ( K  <  0  <->  0  <  -u K ) )
272, 26ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( K  <  0  <->  0  <  -u K )
28 znegcl 10895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ZZ  ->  -u K  e.  ZZ )
291, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  -u K  e.  ZZ
30 zltp1le 10909 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  -u K  e.  ZZ )  ->  ( 0  <  -u K  <->  ( 0  +  1 )  <_  -u K
) )
316, 29, 30mp2an 670 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  <  -u K  <->  ( 0  +  1 )  <_  -u K )
32 0p1e1 10643 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3332breq1i 4446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  +  1 )  <_  -u K  <->  1  <_  -u K )
3431, 33bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( 0  <  -u K  <->  1  <_  -u K )
3527, 34bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( K  <  0  <->  1  <_  -u K )
362recni 9597 . . . . . . . . . . . 12  |-  K  e.  CC
3715recni 9597 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  e.  CC
3836, 37mulneg1i 9998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u K  x.  A )  =  -u ( K  x.  A )
3938oveq2i 6281 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  -  ( -u K  x.  A ) )  =  ( A  -  -u ( K  x.  A )
)
4016recni 9597 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  x.  A )  e.  CC
4137, 40subnegi 9889 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  -  -u ( K  x.  A ) )  =  ( A  +  ( K  x.  A ) )
4239, 41eqtri 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( A  -  ( -u K  x.  A ) )  =  ( A  +  ( K  x.  A ) )
4342breq1i 4446 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  -  ( -u K  x.  A )
)  <_  0  <->  ( A  +  ( K  x.  A ) )  <_ 
0 )
4419, 15remulcli 9599 . . . . . . . . 9  |-  ( -u K  x.  A )  e.  RR
45 suble0 10062 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( -u K  x.  A
)  e.  RR )  ->  ( ( A  -  ( -u K  x.  A ) )  <_ 
0  <->  A  <_  ( -u K  x.  A )
) )
4615, 44, 45mp2an 670 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  -  ( -u K  x.  A )
)  <_  0  <->  A  <_  (
-u K  x.  A
) )
4743, 46bitr3i 251 . . . . . . 7  |-  ( ( A  +  ( K  x.  A ) )  <_  0  <->  A  <_  (
-u K  x.  A
) )
4825, 35, 473imtr4i 266 . . . . . 6  |-  ( K  <  0  ->  ( A  +  ( K  x.  A ) )  <_ 
0 )
4914, 16readdcli 9598 . . . . . . 7  |-  ( X  +  ( K  x.  A ) )  e.  RR
5015, 16readdcli 9598 . . . . . . 7  |-  ( A  +  ( K  x.  A ) )  e.  RR
5149, 50, 3ltletri 9701 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  +  ( K  x.  A ) )  <  ( A  +  ( K  x.  A ) )  /\  ( A  +  ( K  x.  A )
)  <_  0 )  ->  ( X  +  ( K  x.  A
) )  <  0
)
5218, 48, 51sylancr 661 . . . . 5  |-  ( K  <  0  ->  ( X  +  ( K  x.  A ) )  <  0 )
5349, 3ltnlei 9694 . . . . 5  |-  ( ( X  +  ( K  x.  A ) )  <  0  <->  -.  0  <_  ( X  +  ( K  x.  A ) ) )
5452, 53sylib 196 . . . 4  |-  ( K  <  0  ->  -.  0  <_  ( X  +  ( K  x.  A
) ) )
55 elfzle1 11692 . . . 4  |-  ( ( X  +  ( K  x.  A ) )  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  ->  0  <_  ( X  +  ( K  x.  A ) ) )
5654, 55nsyl 121 . . 3  |-  ( K  <  0  ->  -.  ( X  +  ( K  x.  A )
)  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )
57 zltp1le 10909 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 0  <  K  <->  ( 0  +  1 )  <_  K ) )
586, 1, 57mp2an 670 . . . . . . . 8  |-  ( 0  <  K  <->  ( 0  +  1 )  <_  K )
5932breq1i 4446 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  +  1 )  <_  K  <->  1  <_  K )
6058, 59bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( 0  <  K  <->  1  <_  K )
61 lemulge12 10401 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  K  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  1  <_  K
) )  ->  A  <_  ( K  x.  A
) )
6215, 2, 61mpanl12 680 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  <_  A  /\  1  <_  K )  ->  A  <_  ( K  x.  A ) )
6321, 62mpan 668 . . . . . . 7  |-  ( 1  <_  K  ->  A  <_  ( K  x.  A
) )
6460, 63sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( 0  <  K  ->  A  <_  ( K  x.  A
) )
6511simp2i 1004 . . . . . . 7  |-  0  <_  X
66 addge02 10059 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  x.  A
)  e.  RR  /\  X  e.  RR )  ->  ( 0  <_  X  <->  ( K  x.  A )  <_  ( X  +  ( K  x.  A
) ) ) )
6716, 14, 66mp2an 670 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  X  <->  ( K  x.  A )  <_  ( X  +  ( K  x.  A ) ) )
6865, 67mpbi 208 . . . . . 6  |-  ( K  x.  A )  <_ 
( X  +  ( K  x.  A ) )
6915, 16, 49letri 9702 . . . . . 6  |-  ( ( A  <_  ( K  x.  A )  /\  ( K  x.  A )  <_  ( X  +  ( K  x.  A ) ) )  ->  A  <_  ( X  +  ( K  x.  A ) ) )
7064, 68, 69sylancl 660 . . . . 5  |-  ( 0  <  K  ->  A  <_  ( X  +  ( K  x.  A ) ) )
7115, 49lenlti 9693 . . . . 5  |-  ( A  <_  ( X  +  ( K  x.  A
) )  <->  -.  ( X  +  ( K  x.  A ) )  < 
A )
7270, 71sylib 196 . . . 4  |-  ( 0  <  K  ->  -.  ( X  +  ( K  x.  A )
)  <  A )
73 elfzm11 11753 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( X  +  ( K  x.  A
) )  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  <-> 
( ( X  +  ( K  x.  A
) )  e.  ZZ  /\  0  <_  ( X  +  ( K  x.  A ) )  /\  ( X  +  ( K  x.  A )
)  <  A )
) )
746, 8, 73mp2an 670 . . . . 5  |-  ( ( X  +  ( K  x.  A ) )  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  <->  ( ( X  +  ( K  x.  A ) )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( X  +  ( K  x.  A ) )  /\  ( X  +  ( K  x.  A ) )  < 
A ) )
7574simp3bi 1011 . . . 4  |-  ( ( X  +  ( K  x.  A ) )  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  ->  ( X  +  ( K  x.  A ) )  < 
A )
7672, 75nsyl 121 . . 3  |-  ( 0  <  K  ->  -.  ( X  +  ( K  x.  A )
)  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )
7756, 76jaoi 377 . 2  |-  ( ( K  <  0  \/  0  <  K )  ->  -.  ( X  +  ( K  x.  A ) )  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) ) )
784, 77sylbi 195 1  |-  ( K  =/=  0  ->  -.  ( X  +  ( K  x.  A )
)  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971    e. wcel 1823    =/= wne 2649   class class class wbr 4439  (class class class)co 6270   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796   -ucneg 9797   NNcn 10531   ZZcz 10860   ...cfz 11675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676
This theorem is referenced by:  divalglem7  14144
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