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Theorem divalglem6 13598
Description: Lemma for divalg 13603. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem6.1  |-  A  e.  NN
divalglem6.2  |-  X  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )
divalglem6.3  |-  K  e.  ZZ
Assertion
Ref Expression
divalglem6  |-  ( K  =/=  0  ->  -.  ( X  +  ( K  x.  A )
)  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )

Proof of Theorem divalglem6
StepHypRef Expression
1 divalglem6.3 . . . 4  |-  K  e.  ZZ
21zrei 10648 . . 3  |-  K  e.  RR
3 0re 9382 . . 3  |-  0  e.  RR
42, 3lttri2i 9484 . 2  |-  ( K  =/=  0  <->  ( K  <  0  \/  0  < 
K ) )
5 divalglem6.2 . . . . . . . . 9  |-  X  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )
6 0z 10653 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ZZ
7 divalglem6.1 . . . . . . . . . . 11  |-  A  e.  NN
87nnzi 10666 . . . . . . . . . 10  |-  A  e.  ZZ
9 elfzm11 11524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( X  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  <-> 
( X  e.  ZZ  /\  0  <_  X  /\  X  <  A ) ) )
106, 8, 9mp2an 667 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  <->  ( X  e.  ZZ  /\  0  <_  X  /\  X  <  A
) )
115, 10mpbi 208 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  ZZ  /\  0  <_  X  /\  X  < 
A )
1211simp3i 994 . . . . . . 7  |-  X  < 
A
1311simp1i 992 . . . . . . . . 9  |-  X  e.  ZZ
1413zrei 10648 . . . . . . . 8  |-  X  e.  RR
157nnrei 10327 . . . . . . . 8  |-  A  e.  RR
162, 15remulcli 9396 . . . . . . . 8  |-  ( K  x.  A )  e.  RR
1714, 15, 16ltadd1i 9890 . . . . . . 7  |-  ( X  <  A  <->  ( X  +  ( K  x.  A ) )  < 
( A  +  ( K  x.  A ) ) )
1812, 17mpbi 208 . . . . . 6  |-  ( X  +  ( K  x.  A ) )  < 
( A  +  ( K  x.  A ) )
192renegcli 9666 . . . . . . . 8  |-  -u K  e.  RR
207nnnn0i 10583 . . . . . . . . . 10  |-  A  e. 
NN0
2120nn0ge0i 10603 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  A
22 lemulge12 10188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  -u K  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  1  <_  -u K
) )  ->  A  <_  ( -u K  x.  A ) )
2322an4s 817 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( -u K  e.  RR  /\  1  <_  -u K ) )  ->  A  <_  ( -u K  x.  A ) )
2415, 21, 23mpanl12 677 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u K  e.  RR  /\  1  <_  -u K )  ->  A  <_  ( -u K  x.  A ) )
2519, 24mpan 665 . . . . . . 7  |-  ( 1  <_  -u K  ->  A  <_  ( -u K  x.  A ) )
26 lt0neg1 9841 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  RR  ->  ( K  <  0  <->  0  <  -u K ) )
272, 26ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( K  <  0  <->  0  <  -u K )
28 znegcl 10676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ZZ  ->  -u K  e.  ZZ )
291, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  -u K  e.  ZZ
30 zltp1le 10690 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  -u K  e.  ZZ )  ->  ( 0  <  -u K  <->  ( 0  +  1 )  <_  -u K
) )
316, 29, 30mp2an 667 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  <  -u K  <->  ( 0  +  1 )  <_  -u K )
32 0p1e1 10429 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3332breq1i 4296 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  +  1 )  <_  -u K  <->  1  <_  -u K )
3431, 33bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( 0  <  -u K  <->  1  <_  -u K )
3527, 34bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( K  <  0  <->  1  <_  -u K )
362recni 9394 . . . . . . . . . . . 12  |-  K  e.  CC
3715recni 9394 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  e.  CC
3836, 37mulneg1i 9786 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u K  x.  A )  =  -u ( K  x.  A )
3938oveq2i 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  -  ( -u K  x.  A ) )  =  ( A  -  -u ( K  x.  A )
)
4016recni 9394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  x.  A )  e.  CC
4137, 40subnegi 9683 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  -  -u ( K  x.  A ) )  =  ( A  +  ( K  x.  A ) )
4239, 41eqtri 2461 . . . . . . . . 9  |-  ( A  -  ( -u K  x.  A ) )  =  ( A  +  ( K  x.  A ) )
4342breq1i 4296 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  -  ( -u K  x.  A )
)  <_  0  <->  ( A  +  ( K  x.  A ) )  <_ 
0 )
4419, 15remulcli 9396 . . . . . . . . 9  |-  ( -u K  x.  A )  e.  RR
45 suble0 9849 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( -u K  x.  A
)  e.  RR )  ->  ( ( A  -  ( -u K  x.  A ) )  <_ 
0  <->  A  <_  ( -u K  x.  A )
) )
4615, 44, 45mp2an 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  -  ( -u K  x.  A )
)  <_  0  <->  A  <_  (
-u K  x.  A
) )
4743, 46bitr3i 251 . . . . . . 7  |-  ( ( A  +  ( K  x.  A ) )  <_  0  <->  A  <_  (
-u K  x.  A
) )
4825, 35, 473imtr4i 266 . . . . . 6  |-  ( K  <  0  ->  ( A  +  ( K  x.  A ) )  <_ 
0 )
4914, 16readdcli 9395 . . . . . . 7  |-  ( X  +  ( K  x.  A ) )  e.  RR
5015, 16readdcli 9395 . . . . . . 7  |-  ( A  +  ( K  x.  A ) )  e.  RR
5149, 50, 3ltletri 9498 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  +  ( K  x.  A ) )  <  ( A  +  ( K  x.  A ) )  /\  ( A  +  ( K  x.  A )
)  <_  0 )  ->  ( X  +  ( K  x.  A
) )  <  0
)
5218, 48, 51sylancr 658 . . . . 5  |-  ( K  <  0  ->  ( X  +  ( K  x.  A ) )  <  0 )
5349, 3ltnlei 9491 . . . . 5  |-  ( ( X  +  ( K  x.  A ) )  <  0  <->  -.  0  <_  ( X  +  ( K  x.  A ) ) )
5452, 53sylib 196 . . . 4  |-  ( K  <  0  ->  -.  0  <_  ( X  +  ( K  x.  A
) ) )
55 elfzle1 11450 . . . 4  |-  ( ( X  +  ( K  x.  A ) )  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  ->  0  <_  ( X  +  ( K  x.  A ) ) )
5654, 55nsyl 121 . . 3  |-  ( K  <  0  ->  -.  ( X  +  ( K  x.  A )
)  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )
57 zltp1le 10690 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 0  <  K  <->  ( 0  +  1 )  <_  K ) )
586, 1, 57mp2an 667 . . . . . . . 8  |-  ( 0  <  K  <->  ( 0  +  1 )  <_  K )
5932breq1i 4296 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  +  1 )  <_  K  <->  1  <_  K )
6058, 59bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( 0  <  K  <->  1  <_  K )
61 lemulge12 10188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  K  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  1  <_  K
) )  ->  A  <_  ( K  x.  A
) )
6215, 2, 61mpanl12 677 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  <_  A  /\  1  <_  K )  ->  A  <_  ( K  x.  A ) )
6321, 62mpan 665 . . . . . . 7  |-  ( 1  <_  K  ->  A  <_  ( K  x.  A
) )
6460, 63sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( 0  <  K  ->  A  <_  ( K  x.  A
) )
6511simp2i 993 . . . . . . 7  |-  0  <_  X
66 addge02 9846 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  x.  A
)  e.  RR  /\  X  e.  RR )  ->  ( 0  <_  X  <->  ( K  x.  A )  <_  ( X  +  ( K  x.  A
) ) ) )
6716, 14, 66mp2an 667 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  X  <->  ( K  x.  A )  <_  ( X  +  ( K  x.  A ) ) )
6865, 67mpbi 208 . . . . . 6  |-  ( K  x.  A )  <_ 
( X  +  ( K  x.  A ) )
6915, 16, 49letri 9499 . . . . . 6  |-  ( ( A  <_  ( K  x.  A )  /\  ( K  x.  A )  <_  ( X  +  ( K  x.  A ) ) )  ->  A  <_  ( X  +  ( K  x.  A ) ) )
7064, 68, 69sylancl 657 . . . . 5  |-  ( 0  <  K  ->  A  <_  ( X  +  ( K  x.  A ) ) )
7115, 49lenlti 9490 . . . . 5  |-  ( A  <_  ( X  +  ( K  x.  A
) )  <->  -.  ( X  +  ( K  x.  A ) )  < 
A )
7270, 71sylib 196 . . . 4  |-  ( 0  <  K  ->  -.  ( X  +  ( K  x.  A )
)  <  A )
73 elfzm11 11524 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( X  +  ( K  x.  A
) )  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  <-> 
( ( X  +  ( K  x.  A
) )  e.  ZZ  /\  0  <_  ( X  +  ( K  x.  A ) )  /\  ( X  +  ( K  x.  A )
)  <  A )
) )
746, 8, 73mp2an 667 . . . . 5  |-  ( ( X  +  ( K  x.  A ) )  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  <->  ( ( X  +  ( K  x.  A ) )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( X  +  ( K  x.  A ) )  /\  ( X  +  ( K  x.  A ) )  < 
A ) )
7574simp3bi 1000 . . . 4  |-  ( ( X  +  ( K  x.  A ) )  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  ->  ( X  +  ( K  x.  A ) )  < 
A )
7672, 75nsyl 121 . . 3  |-  ( 0  <  K  ->  -.  ( X  +  ( K  x.  A )
)  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )
7756, 76jaoi 379 . 2  |-  ( ( K  <  0  \/  0  <  K )  ->  -.  ( X  +  ( K  x.  A ) )  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) ) )
784, 77sylbi 195 1  |-  ( K  =/=  0  ->  -.  ( X  +  ( K  x.  A )
)  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 960    e. wcel 1761    =/= wne 2604   class class class wbr 4289  (class class class)co 6090   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591   -ucneg 9592   NNcn 10318   ZZcz 10642   ...cfz 11433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434
This theorem is referenced by:  divalglem7  13599
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