Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem5 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem divalglem5 14456
 Description: Lemma for divalg 14463. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by AV, 2-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem0.1
divalglem0.2
divalglem1.3
divalglem2.4
divalglem5.5 inf
Assertion
Ref Expression
divalglem5
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem divalglem5
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem5.5 . . . . . 6 inf
2 divalglem0.1 . . . . . . 7
3 divalglem0.2 . . . . . . 7
4 divalglem1.3 . . . . . . 7
5 divalglem2.4 . . . . . . 7
62, 3, 4, 5divalglem2 14452 . . . . . 6 inf
71, 6eqeltri 2545 . . . . 5
8 oveq2 6316 . . . . . . 7
98breq2d 4407 . . . . . 6
10 oveq2 6316 . . . . . . . . 9
1110breq2d 4407 . . . . . . . 8
1211cbvrabv 3030 . . . . . . 7
135, 12eqtri 2493 . . . . . 6
149, 13elrab2 3186 . . . . 5
157, 14mpbi 213 . . . 4
1615simpli 465 . . 3
1716nn0ge0i 10921 . 2
18 nnabscl 13465 . . . . . . 7
193, 4, 18mp2an 686 . . . . . 6
2019nngt0i 10665 . . . . 5
21 0re 9661 . . . . . 6
22 zcn 10966 . . . . . . . 8
233, 22ax-mp 5 . . . . . . 7
2423abscli 13534 . . . . . 6
2521, 24ltnlei 9773 . . . . 5
2620, 25mpbi 213 . . . 4
27 ssrab2 3500 . . . . . . . . 9
285, 27eqsstri 3448 . . . . . . . 8
29 nn0uz 11217 . . . . . . . 8
3028, 29sseqtri 3450 . . . . . . 7
31 nn0abscl 13452 . . . . . . . . . 10
323, 31ax-mp 5 . . . . . . . . 9
33 nn0sub2 11021 . . . . . . . . 9
3432, 16, 33mp3an12 1380 . . . . . . . 8
3515a1i 11 . . . . . . . . 9
36 nn0z 10984 . . . . . . . . . . 11
37 1z 10991 . . . . . . . . . . . . 13
382, 3divalglem0 14450 . . . . . . . . . . . . 13
3937, 38mpan2 685 . . . . . . . . . . . 12
4024recni 9673 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4140mulid2i 9664 . . . . . . . . . . . . . . 15
4241oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . . 14
4342oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . 13
4443breq2i 4403 . . . . . . . . . . . 12
4539, 44syl6ib 234 . . . . . . . . . . 11
4636, 45syl 17 . . . . . . . . . 10
4746imp 436 . . . . . . . . 9
4835, 47syl 17 . . . . . . . 8
49 oveq2 6316 . . . . . . . . . 10
5049breq2d 4407 . . . . . . . . 9
5150, 13elrab2 3186 . . . . . . . 8
5234, 48, 51sylanbrc 677 . . . . . . 7
53 infssuzle 11267 . . . . . . 7 inf
5430, 52, 53sylancr 676 . . . . . 6 inf
551, 54syl5eqbr 4429 . . . . 5
5635simpld 466 . . . . . . . 8
57 nn0re 10902 . . . . . . . 8
5856, 57syl 17 . . . . . . 7
59 lesub 10114 . . . . . . . 8
6024, 59mp3an3 1379 . . . . . . 7
6158, 58, 60syl2anc 673 . . . . . 6
6258recnd 9687 . . . . . . . 8
6362subidd 9993 . . . . . . 7
6463breq2d 4407 . . . . . 6
6561, 64bitrd 261 . . . . 5
6655, 65mpbid 215 . . . 4
6726, 66mto 181 . . 3
6816, 57ax-mp 5 . . . 4
6968, 24ltnlei 9773 . . 3
7067, 69mpbir 214 . 2
7117, 70pm3.2i 462 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  crab 2760   wss 3390   class class class wbr 4395  cfv 5589  (class class class)co 6308  infcinf 7973  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   cmul 9562   clt 9693   cle 9694   cmin 9880  cn 10631  cn0 10893  cz 10961  cuz 11182  cabs 13374   cdvds 14382 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-dvds 14383 This theorem is referenced by:  divalglem9  14460
 Copyright terms: Public domain W3C validator