Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem divalglem2 14385
 Description: Lemma for divalg 14396. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by AV, 2-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem0.1
divalglem0.2
divalglem1.3
divalglem2.4
Assertion
Ref Expression
divalglem2 inf
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem divalglem2
StepHypRef Expression
1 divalglem2.4 . . . 4
2 ssrab2 3516 . . . 4
31, 2eqsstri 3464 . . 3
4 nn0uz 11200 . . 3
53, 4sseqtri 3466 . 2
6 divalglem0.1 . . . . . 6
7 divalglem0.2 . . . . . . . . 9
8 zmulcl 10992 . . . . . . . . 9
96, 7, 8mp2an 679 . . . . . . . 8
10 nn0abscl 13387 . . . . . . . 8
119, 10ax-mp 5 . . . . . . 7
1211nn0zi 10969 . . . . . 6
13 zaddcl 10984 . . . . . 6
146, 12, 13mp2an 679 . . . . 5
15 divalglem1.3 . . . . . 6
166, 7, 15divalglem1 14384 . . . . 5
17 elnn0z 10957 . . . . 5
1814, 16, 17mpbir2an 932 . . . 4
19 iddvds 14328 . . . . . . . 8
20 dvdsabsb 14334 . . . . . . . . 9
2120anidms 651 . . . . . . . 8
2219, 21mpbid 214 . . . . . . 7
237, 22ax-mp 5 . . . . . 6
24 nn0abscl 13387 . . . . . . . . 9
256, 24ax-mp 5 . . . . . . . 8
2625nn0negzi 10983 . . . . . . 7
27 nn0abscl 13387 . . . . . . . . 9
287, 27ax-mp 5 . . . . . . . 8
2928nn0zi 10969 . . . . . . 7
30 dvdsmultr2 14352 . . . . . . 7
317, 26, 29, 30mp3an 1366 . . . . . 6
3223, 31ax-mp 5 . . . . 5
33 zcn 10949 . . . . . . . . 9
346, 33ax-mp 5 . . . . . . . 8
35 zcn 10949 . . . . . . . . 9
367, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8
3734, 36absmuli 13478 . . . . . . 7
3837negeqi 9873 . . . . . 6
39 df-neg 9868 . . . . . . 7
4034subidi 9950 . . . . . . . 8
4140oveq1i 6305 . . . . . . 7
4211nn0cni 10888 . . . . . . . 8
43 subsub4 9912 . . . . . . . 8
4434, 34, 42, 43mp3an 1366 . . . . . . 7
4539, 41, 443eqtr2ri 2482 . . . . . 6
4634abscli 13469 . . . . . . . 8
4746recni 9660 . . . . . . 7
4836abscli 13469 . . . . . . . 8
4948recni 9660 . . . . . . 7
5047, 49mulneg1i 10071 . . . . . 6
5138, 45, 503eqtr4i 2485 . . . . 5
5232, 51breqtrri 4431 . . . 4
53 oveq2 6303 . . . . . 6
5453breq2d 4417 . . . . 5
5554, 1elrab2 3200 . . . 4
5618, 52, 55mpbir2an 932 . . 3
5756ne0ii 3740 . 2
58 infssuzcl 11252 . 2 inf
595, 57, 58mp2an 679 1 inf
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wceq 1446   wcel 1889   wne 2624  crab 2743   wss 3406  c0 3733   class class class wbr 4405  cfv 5585  (class class class)co 6295  infcinf 7960  cc 9542  cr 9543  cc0 9544   caddc 9547   cmul 9549   clt 9680   cle 9681   cmin 9865  cneg 9866  cn0 10876  cz 10944  cuz 11166  cabs 13309   cdvds 14317 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-sup 7961  df-inf 7962  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-seq 12221  df-exp 12280  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-dvds 14318 This theorem is referenced by:  divalglem5  14389  divalglem9  14393
 Copyright terms: Public domain W3C validator