Theorem divalglem1 13697

Description: Lemma for divalg 13706.

Hypotheses

Ref	Expression
divalglem0.1	|- N e. ZZ
divalglem0.2	|- D e. ZZ
divalglem1.3	|- D =/= 0

Assertion

Ref	Expression
divalglem1	|- 0 <_ (N + (abs` (N x. D)))

Proof of Theorem divalglem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglem0.1	. . . . 5 |- N e. ZZ
2	1	zrei 7350	. . . 4 |- N e. RR
3		0re 6603	. . . 4 |- 0 e. RR
4	2, 3	letrii 6759	. . 3 |- (N <_ 0 \/ 0 <_ N)
5		divalglem0.2	. . . . . . . 8 |- D e. ZZ
6		divalglem1.3	. . . . . . . 8 |- D =/= 0
7		nnabscl 13601	. . . . . . . 8 |- ((D e. ZZ /\ D =/= 0) -> (abs` D) e. NN)
8	5, 6, 7	mp2an 761	. . . . . . 7 |- (abs` D) e. NN
9		nnge1 7126	. . . . . . 7 |- ((abs` D) e. NN -> 1 <_ (abs` D))
10	8, 9	ax-mp 7	. . . . . 6 |- 1 <_ (abs` D)
11	2	renegcli 6576	. . . . . . . 8 |- -uN e. RR
12	5	zrei 7350	. . . . . . . . . 10 |- D e. RR
13	12	recni 6467	. . . . . . . . 9 |- D e. CC
14	13	abscli 8090	. . . . . . . 8 |- (abs` D) e. RR
15		lemulge11 7030	. . . . . . . 8 |- (((-uN e. RR /\ (abs` D) e. RR) /\ (0 <_ -uN /\ 1 <_ (abs` D))) -> -uN <_ (-uN x. (abs` D)))
16	11, 14, 15	mpanl12 773	. . . . . . 7 |- ((0 <_ -uN /\ 1 <_ (abs` D)) -> -uN <_ (-uN x. (abs` D)))
17		le0neg1 6859	. . . . . . . 8 |- (N e. RR -> (N <_ 0 <-> 0 <_ -uN))
18	2, 17	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (N <_ 0 <-> 0 <_ -uN)
19	16, 18	sylanb 498	. . . . . 6 |- ((N <_ 0 /\ 1 <_ (abs` D)) -> -uN <_ (-uN x. (abs` D)))
20	10, 19	mpan2 760	. . . . 5 |- (N <_ 0 -> -uN <_ (-uN x. (abs` D)))
21	2	absnidi 8123	. . . . . . 7 |- (N <_ 0 -> (abs` N) = -uN)
22	21	opreq1d 4897	. . . . . 6 |- (N <_ 0 -> ((abs` N) x. (abs` D)) = (-uN x. (abs` D)))
23	2	recni 6467	. . . . . . 7 |- N e. CC
24	23, 13	absmuli 8098	. . . . . 6 |- (abs` (N x. D)) = ((abs` N) x. (abs` D))
25	22, 24	syl5eq 1940	. . . . 5 |- (N <_ 0 -> (abs` (N x. D)) = (-uN x. (abs` D)))
26	20, 25	breqtrrd 3363	. . . 4 |- (N <_ 0 -> -uN <_ (abs` (N x. D)))
27		le0neg2 6860	. . . . . 6 |- (N e. RR -> (0 <_ N <-> -uN <_ 0))
28	2, 27	ax-mp 7	. . . . 5 |- (0 <_ N <-> -uN <_ 0)
29	2, 12	remulcli 6488	. . . . . . . 8 |- (N x. D) e. RR
30	29	recni 6467	. . . . . . 7 |- (N x. D) e. CC
31		absge0 8105	. . . . . . 7 |- ((N x. D) e. CC -> 0 <_ (abs` (N x. D)))
32	30, 31	ax-mp 7	. . . . . 6 |- 0 <_ (abs` (N x. D))
33	30	abscli 8090	. . . . . . 7 |- (abs` (N x. D)) e. RR
34	11, 3, 33	letri 6763	. . . . . 6 |- ((-uN <_ 0 /\ 0 <_ (abs` (N x. D))) -> -uN <_ (abs` (N x. D)))
35	32, 34	mpan2 760	. . . . 5 |- (-uN <_ 0 -> -uN <_ (abs` (N x. D)))
36	28, 35	sylbi 216	. . . 4 |- (0 <_ N -> -uN <_ (abs` (N x. D)))
37	26, 36	jaoi 368	. . 3 |- ((N <_ 0 \/ 0 <_ N) -> -uN <_ (abs` (N x. D)))
38	4, 37	ax-mp 7	. 2 |- -uN <_ (abs` (N x. D))
39		df-neg 6513	. . . 4 |- -uN = (0 - N)
40	39	breq1i 3345	. . 3 |- (-uN <_ (abs` (N x. D)) <-> (0 - N) <_ (abs` (N x. D)))
41	3, 2, 33	lesubadd2i 6822	. . 3 |- ((0 - N) <_ (abs` (N x. D)) <-> 0 <_ (N + (abs` (N x. D))))
42	40, 41	bitri 190	. 2 |- (-uN <_ (abs` (N x. D)) <-> 0 <_ (N + (abs` (N x. D))))
43	38, 42	mpbi 206	1 |- 0 <_ (N + (abs` (N x. D)))

Syntax hints:   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   e. wcel 1300   =/= wne 2017   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445  -ucneg 6446   <_ cle 6448  NNcn 6449  ZZcz 6451  abscabs 8000

This theorem is referenced by:  divalglem2 13698

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004

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