MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalgb Structured version   Unicode version

Theorem divalgb 14360
Description: Express the division algorithm as stated in divalg 14359 in terms of  ||. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
divalgb  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  =/=  0 )  ->  ( E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  E! r  e.  NN0  ( r  < 
( abs `  D
)  /\  D  ||  ( N  -  r )
) ) )
Distinct variable groups:    D, q,
r    N, q, r

Proof of Theorem divalgb
StepHypRef Expression
1 zsubcl 10979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( N  -  r
)  e.  ZZ )
2 divides 14285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  ( N  -  r
)  e.  ZZ )  ->  ( D  ||  ( N  -  r
)  <->  E. q  e.  ZZ  ( q  x.  D
)  =  ( N  -  r ) ) )
31, 2sylan2 476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ ) )  ->  ( D  ||  ( N  -  r
)  <->  E. q  e.  ZZ  ( q  x.  D
)  =  ( N  -  r ) ) )
433impb 1201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( D  ||  ( N  -  r )  <->  E. q  e.  ZZ  ( q  x.  D )  =  ( N  -  r ) ) )
543com12 1209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( D  ||  ( N  -  r )  <->  E. q  e.  ZZ  ( q  x.  D )  =  ( N  -  r ) ) )
6 zcn 10942 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
7 zcn 10942 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  e.  ZZ  ->  r  e.  CC )
8 zmulcl 10985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( q  x.  D
)  e.  ZZ )
98zcnd 11041 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( q  x.  D
)  e.  CC )
10 subadd 9877 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  CC  /\  r  e.  CC  /\  (
q  x.  D )  e.  CC )  -> 
( ( N  -  r )  =  ( q  x.  D )  <-> 
( r  +  ( q  x.  D ) )  =  N ) )
116, 7, 9, 10syl3an 1306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  (
q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )
)  ->  ( ( N  -  r )  =  ( q  x.  D )  <->  ( r  +  ( q  x.  D ) )  =  N ) )
12 addcom 9818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( r  e.  CC  /\  ( q  x.  D
)  e.  CC )  ->  ( r  +  ( q  x.  D
) )  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) )
137, 9, 12syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( r  e.  ZZ  /\  ( q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  ( r  +  ( q  x.  D ) )  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )
14133adant1 1023 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  (
q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )
)  ->  ( r  +  ( q  x.  D ) )  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )
1514eqeq1d 2431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  (
q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )
)  ->  ( (
r  +  ( q  x.  D ) )  =  N  <->  ( (
q  x.  D )  +  r )  =  N ) )
1611, 15bitrd 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  (
q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )
)  ->  ( ( N  -  r )  =  ( q  x.  D )  <->  ( (
q  x.  D )  +  r )  =  N ) )
17 eqcom 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  -  r )  =  ( q  x.  D )  <->  ( q  x.  D )  =  ( N  -  r ) )
18 eqcom 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( q  x.  D
)  +  r )  =  N  <->  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )
1916, 17, 183bitr3g 290 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  (
q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )
)  ->  ( (
q  x.  D )  =  ( N  -  r )  <->  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
20193expia 1207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( ( q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  (
( q  x.  D
)  =  ( N  -  r )  <->  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) ) )
2120expcomd 439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( D  e.  ZZ  ->  ( q  e.  ZZ  ->  ( ( q  x.  D )  =  ( N  -  r )  <-> 
N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) ) ) )
22213impia 1202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  (
q  e.  ZZ  ->  ( ( q  x.  D
)  =  ( N  -  r )  <->  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) ) )
2322imp 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  q  e.  ZZ )  ->  ( ( q  x.  D )  =  ( N  -  r
)  <->  N  =  (
( q  x.  D
)  +  r ) ) )
2423rexbidva 2943 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( E. q  e.  ZZ  ( q  x.  D
)  =  ( N  -  r )  <->  E. q  e.  ZZ  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) ) )
25243com23 1211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( E. q  e.  ZZ  ( q  x.  D
)  =  ( N  -  r )  <->  E. q  e.  ZZ  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) ) )
265, 25bitrd 256 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( D  ||  ( N  -  r )  <->  E. q  e.  ZZ  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) ) )
2726anbi2d 708 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  (
( ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D ) )  /\  D  ||  ( N  -  r
) )  <->  ( (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
) )  /\  E. q  e.  ZZ  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) ) )
28 df-3an 984 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  ( (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
) )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
2928rexbii 2934 . . . . . . . 8  |-  ( E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  E. q  e.  ZZ  ( ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
) )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
30 r19.42v 2990 . . . . . . . 8  |-  ( E. q  e.  ZZ  (
( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D ) )  /\  N  =  ( (
q  x.  D )  +  r ) )  <-> 
( ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D ) )  /\  E. q  e.  ZZ  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) ) )
3129, 30bitri 252 . . . . . . 7  |-  ( E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  ( (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
) )  /\  E. q  e.  ZZ  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
3227, 31syl6rbbr 267 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  ( (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
) )  /\  D  ||  ( N  -  r
) ) ) )
33 anass 653 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D ) )  /\  D  ||  ( N  -  r ) )  <->  ( 0  <_  r  /\  (
r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r
) ) ) )
3432, 33syl6bb 264 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  ( 0  <_  r  /\  (
r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r
) ) ) ) )
35343expa 1205 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) )  <->  ( 0  <_ 
r  /\  ( r  <  ( abs `  D
)  /\  D  ||  ( N  -  r )
) ) ) )
3635reubidva 3019 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) )  <->  E! r  e.  ZZ  ( 0  <_  r  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) ) ) )
37 elnn0z 10950 . . . . . . 7  |-  ( r  e.  NN0  <->  ( r  e.  ZZ  /\  0  <_ 
r ) )
3837anbi1i 699 . . . . . 6  |-  ( ( r  e.  NN0  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) )  <-> 
( ( r  e.  ZZ  /\  0  <_ 
r )  /\  (
r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r
) ) ) )
39 anass 653 . . . . . 6  |-  ( ( ( r  e.  ZZ  /\  0  <_  r )  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) )  <-> 
( r  e.  ZZ  /\  ( 0  <_  r  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) ) ) )
4038, 39bitri 252 . . . . 5  |-  ( ( r  e.  NN0  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) )  <-> 
( r  e.  ZZ  /\  ( 0  <_  r  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) ) ) )
4140eubii 2290 . . . 4  |-  ( E! r ( r  e. 
NN0  /\  ( r  <  ( abs `  D
)  /\  D  ||  ( N  -  r )
) )  <->  E! r
( r  e.  ZZ  /\  ( 0  <_  r  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) ) ) )
42 df-reu 2789 . . . 4  |-  ( E! r  e.  NN0  (
r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r
) )  <->  E! r
( r  e.  NN0  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) ) )
43 df-reu 2789 . . . 4  |-  ( E! r  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) )  <-> 
E! r ( r  e.  ZZ  /\  (
0  <_  r  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) ) ) )
4441, 42, 433bitr4ri 281 . . 3  |-  ( E! r  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) )  <-> 
E! r  e.  NN0  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) )
4536, 44syl6bb 264 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) )  <->  E! r  e.  NN0  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) ) )
46453adant3 1025 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  =/=  0 )  ->  ( E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  E! r  e.  NN0  ( r  < 
( abs `  D
)  /\  D  ||  ( N  -  r )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   E!weu 2266    =/= wne 2625   E.wrex 2783   E!wreu 2784   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   0cc0 9538    + caddc 9541    x. cmul 9543    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   abscabs 13276    || cdvds 14283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-dvds 14284
This theorem is referenced by:  divalg2  14361
  Copyright terms: Public domain W3C validator