MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  div23d Structured version   Unicode version

Theorem div23d 10353
Description: A commutative/associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divmuld.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
divassd.4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
div23d  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  x.  B ) )

Proof of Theorem div23d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divmuld.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 divassd.4 . 2  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
5 div23 10222 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )  -> 
( ( A  x.  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  x.  B ) )
61, 2, 3, 4, 5syl112anc 1232 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  x.  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662  (class class class)co 6282   CCcc 9486   0cc0 9488    x. cmul 9493    / cdiv 10202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203
This theorem is referenced by:  bcpasc  12363  abslem2  13131  geolim  13638  efaddlem  13686  eftlub  13701  bitsinv1lem  13946  pjthlem1  21587  itg2monolem3  21894  dvmulbr  22077  dvtaylp  22499  itgulm  22537  tanregt0  22659  logtayl2  22771  cxpeq  22859  heron  22897  dcubic2  22903  cubic2  22907  dquartlem1  22910  dquartlem2  22911  dquart  22912  quart1lem  22914  quart1  22915  dvatan  22994  atantayl  22996  jensenlem2  23045  ftalem2  23075  bclbnd  23283  bposlem9  23295  lgseisenlem4  23355  lgsquadlem1  23357  lgsquadlem2  23358  dchrvmasumlem1  23408  mulog2sumlem2  23448  2vmadivsumlem  23453  selberg3lem1  23470  selberg4lem1  23473  selberg4  23474  selberg3r  23482  pntrlog2bndlem4  23493  pntrlog2bndlem5  23494  pntibndlem2  23504  pntlemo  23520  brbtwn2  23884  colinearalg  23889  axsegconlem10  23905  axpaschlem  23919  axcontlem8  23950  pjhthlem1  25985  lgamgulmlem2  28212  lgamgulmlem3  28213  sinccvglem  28513  bpolydiflem  29393  dvtan  29642  dvrecg  31240  dvmptdiv  31247  itgsinexp  31272  stirlinglem3  31376  stirlinglem4  31377  dirkertrigeqlem3  31400  fourierdlem95  31502  bj-bary1lem  33751
  Copyright terms: Public domain W3C validator