MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  div1 Structured version   Unicode version

Theorem div1 10301
Description: A number divided by 1 is itself. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
div1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  /  1 )  =  A )

Proof of Theorem div1
StepHypRef Expression
1 mulid2 9643 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  x.  A )  =  A )
2 ax-1cn 9599 . . . . 5  |-  1  e.  CC
3 ax-1ne0 9610 . . . . 5  |-  1  =/=  0
42, 3pm3.2i 457 . . . 4  |-  ( 1  e.  CC  /\  1  =/=  0 )
5 divmul 10275 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  (
1  e.  CC  /\  1  =/=  0 ) )  ->  ( ( A  /  1 )  =  A  <->  ( 1  x.  A )  =  A ) )
64, 5mp3an3 1350 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( A  / 
1 )  =  A  <-> 
( 1  x.  A
)  =  A ) )
76anidms 650 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  /  1
)  =  A  <->  ( 1  x.  A )  =  A ) )
81, 7mpbird 236 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  /  1 )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869    =/= wne 2619  (class class class)co 6303   CCcc 9539   0cc0 9541   1c1 9542    x. cmul 9546    / cdiv 10271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272
This theorem is referenced by:  1div1e1  10302  divdiv1  10320  divdiv2  10321  div1i  10337  div1d  10377  ef4p  14160  efgt1p2  14161  efgt1p  14162  dveflem  22923  logneg2  23556
  Copyright terms: Public domain W3C validator