Theorem div1 10306

Description: A number divided by 1 is itself. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
div1	|- ( A e. CC -> ( A / 1 ) = A )

Proof of Theorem div1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulid2 9646	. 2 |- ( A e. CC -> ( 1 x. A ) = A )
2		ax-1cn 9602	. . . . 5 |- 1 e. CC
3		ax-1ne0 9613	. . . . 5 |- 1 =/= 0
4	2, 3	pm3.2i 457	. . . 4 |- ( 1 e. CC /\ 1 =/= 0 )
5		divmul 10280	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A e. CC /\ ( 1 e. CC /\ 1 =/= 0 ) ) -> ( ( A / 1 ) = A <-> ( 1 x. A ) = A ) )
6	4, 5	mp3an3 1355	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( A / 1 ) = A <-> ( 1 x. A ) = A ) )
7	6	anidms 651	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( A / 1 ) = A <-> ( 1 x. A ) = A ) )
8	1, 7	mpbird 236	1 |- ( A e. CC -> ( A / 1 ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   =/= wne 2624  (class class class)co 6295   CCcc 9542   0cc0 9544   1c1 9545   x. cmul 9549   / cdiv 10276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277

This theorem is referenced by:  1div1e1  10307  divdiv1  10325  divdiv2  10326  div1i  10342  div1d  10382  ef4p  14179  efgt1p2  14180  efgt1p  14181  dveflem  22943  logneg2  23576