Theorem div1 10227

Description: A number divided by 1 is itself. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
div1	|- ( A e. CC -> ( A / 1 ) = A )

Proof of Theorem div1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulid2 9585	. 2 |- ( A e. CC -> ( 1 x. A ) = A )
2		ax-1cn 9541	. . . . 5 |- 1 e. CC
3		ax-1ne0 9552	. . . . 5 |- 1 =/= 0
4	2, 3	pm3.2i 455	. . . 4 |- ( 1 e. CC /\ 1 =/= 0 )
5		divmul 10201	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A e. CC /\ ( 1 e. CC /\ 1 =/= 0 ) ) -> ( ( A / 1 ) = A <-> ( 1 x. A ) = A ) )
6	4, 5	mp3an3 1308	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( A / 1 ) = A <-> ( 1 x. A ) = A ) )
7	6	anidms 645	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( A / 1 ) = A <-> ( 1 x. A ) = A ) )
8	1, 7	mpbird 232	1 |- ( A e. CC -> ( A / 1 ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   =/= wne 2657  (class class class)co 6277   CCcc 9481   0cc0 9483   1c1 9484   x. cmul 9488   / cdiv 10197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198

This theorem is referenced by:  1div1e1  10228  divdiv1  10246  divdiv2  10247  div1i  10263  div1d  10303  ef4p  13700  efgt1p2  13701  efgt1p  13702  dveflem  22110  logneg2  22723  elogb  32127