Theorem div1 9663

Description: A number divided by 1 is itself. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
div1	|- ( A e. CC -> ( A / 1 ) = A )

Proof of Theorem div1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulid2 9045	. 2 |- ( A e. CC -> ( 1 x. A ) = A )
2		ax-1cn 9004	. . . . 5 |- 1 e. CC
3		ax-1ne0 9015	. . . . 5 |- 1 =/= 0
4	2, 3	pm3.2i 442	. . . 4 |- ( 1 e. CC /\ 1 =/= 0 )
5		divmul 9637	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A e. CC /\ ( 1 e. CC /\ 1 =/= 0 ) ) -> ( ( A / 1 ) = A <-> ( 1 x. A ) = A ) )
6	4, 5	mp3an3 1268	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( A / 1 ) = A <-> ( 1 x. A ) = A ) )
7	6	anidms 627	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( A / 1 ) = A <-> ( 1 x. A ) = A ) )
8	1, 7	mpbird 224	1 |- ( A e. CC -> ( A / 1 ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947   x. cmul 8951   / cdiv 9633

This theorem is referenced by:  recdiv  9676  divdiv1  9681  divdiv2  9682  div1i  9698  div1d  9738  ef4p  12669  efgt1p2  12670  efgt1p  12671  dveflem  19816  logneg2  20463  elogb  28246

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634