Theorem div1 10276

Description: A number divided by 1 is itself. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
div1	|- ( A e. CC -> ( A / 1 ) = A )

Proof of Theorem div1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulid2 9623	. 2 |- ( A e. CC -> ( 1 x. A ) = A )
2		ax-1cn 9579	. . . . 5 |- 1 e. CC
3		ax-1ne0 9590	. . . . 5 |- 1 =/= 0
4	2, 3	pm3.2i 453	. . . 4 |- ( 1 e. CC /\ 1 =/= 0 )
5		divmul 10250	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A e. CC /\ ( 1 e. CC /\ 1 =/= 0 ) ) -> ( ( A / 1 ) = A <-> ( 1 x. A ) = A ) )
6	4, 5	mp3an3 1315	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( A / 1 ) = A <-> ( 1 x. A ) = A ) )
7	6	anidms 643	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( A / 1 ) = A <-> ( 1 x. A ) = A ) )
8	1, 7	mpbird 232	1 |- ( A e. CC -> ( A / 1 ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   =/= wne 2598  (class class class)co 6277   CCcc 9519   0cc0 9521   1c1 9522   x. cmul 9526   / cdiv 10246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247

This theorem is referenced by:  1div1e1  10277  divdiv1  10295  divdiv2  10296  div1i  10312  div1d  10352  ef4p  14055  efgt1p2  14056  efgt1p  14057  dveflem  22670  logneg2  23292